（整理版）导数知识诊断之概念与运算

1、导数知识诊断之概念与运算导数知识诊断之概念与运算问题问题 1 1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？知识诊断：知识诊断：导数的定义：一般的设函数在区间上有定义，当时，( )yf x( , )a b0( , )xa b0 x 比值趋近于常数，那么在点处可导，并称常00()()f xxf xyxxa( )yf x0 xx数为函数在点处的导数，记作。a( )yf x0 xx0()fx导函数：函数在区间上任一点都可导，那么在各点的导数称为导( )yf x( , )a b( )yf x函数简记为.( )fx典例分析典例分析; ; 例题 1：设函数在处可导，

2、那么等于 ( )f x0 xxxfxxfx)()(lim000a b c d)( 0 xf0()fx0()f x0()f x【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算解析.应选0000000()()()()limlim()()xxf xxf xf xxf xfxxx b【技巧指引】求解此题的关键是变换出定义式00()( )lim()xf xxf xfxx 导数的几何意义：曲线fx在某一点x0，y0处的导数是过点x0，y0的切0()fx线的斜率，对应的切线方程为。物理意义：假设物体运动方程000()()()yf xfxxx是s=st ，在点pi0，st0 处导数的意义是t=t0处的瞬时

3、速度。瞬时速度。注意：注意：曲线fx在某一点x0，y0处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。而且应明确点x0，y0不一定是切点。典例分析：典例分析：例题 1：如图，函数的图象在点p处的切线方程是)(xfy ，那么= .8xy)5()5(ff【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的pp切线的不同，后者的点不一定在曲线上. p 解析:观察图形,设,过 p 点的切线方程为(5,(5)pf即(5)(5)(5)yffx(5)(5)5(5)yfxff它与重合,比拟系数知:8xy(5)1,(5)3ff 故=2)5()5(ff例题 2：求在点和处的切线方程。322xy)5 , 1 (p)9 , 2(q【

4、解题思路】：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数ppy1x值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线切忌切忌直q接将，看作曲线上的点用导数求解。pq4.4, 3212xyxyxy即过点的切线的斜率为 4，故切线为：p14 xy设过点的切线的切点为，那么切线的斜率为，又，q),(00yxt04x2900 xykpq故，。00204262xxx3 , 1. 06820020 xxx即切线的斜率为 4 或 12，从而过点的切线为：qtq1512, 14xyxy【技巧指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点假设是，可以直接采用求导数的方法求；不是那么需设

5、出切点坐标例题 3：一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移：m，时间：s)，求小球在t=5 时的加速度.【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点( )yf x0 xx( )yf x处的导数.0 xx:解析：加速度v=tttststt22005)5(lim)5()5(lim (10+t)=10 m/s.0limt加速度v=2t=25=10 m/s.【技巧指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的根本步骤是( )yf x0 xx1. 计算00()()f xxf xyxx 2. 计算0limxyx 变式练习：变式练习：1.1. 曲线和在它们交点处的

6、两条切线与轴所围成的三角形面积是 .1yx2yxx解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=x+2xy12xy 和 y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.x43点拨:与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.2. 某质点的运动方程是，那么在 t=1s 时的瞬时速度为 2) 12(ttsa1b3c7d13解:b 点拨:计算即可0limx (1)(1)sststt3.3. 曲线c1:y=x2与c2:y=(x2)2,直线l与c1、c2都相切，求直线l的方程.解：设l与c1相切于点p(x1,x12),与c2相切于q(x2,(x22)

7、2)对于c1：y=2x,那么与c1相切于点p的切线方程为yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12对于c2：y=2(x2),与c2相切于点q的切线方程为y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224两切线重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2 或x1=2,x2=0直线l方程为y=0 或y=4x4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.问题问题 3 3：导数运算的根本法那么是什么？：导数运算的根本法那么是什么？知识诊断知识诊断; ; 1、几种常见函数的导数为常数 ； ；c 0c()nx 1nnxrn； (sin

8、)xcosx(cos )xsin x； ；(ln )x 1x(log)ax 1logaex；. ()xexe()xalnxaa2、导数的运算法那么：1、；.()uvuv()uvuvuvuv2uvuvv(0)v 2、复合函数的求导法那么：或( ( )xfx( )( )f uxxuxuyy典例分析：典例分析：例题例题 1 1：求以下函数的导数：1 2 3cosxyex2tanyxxln(1)yx【解题思路】按运算法那么进行解析 1 cos ,cos(cos )cossinxxxxxyexyexexexex2 2222sincossin ( sin )tan ,()2coscosxxxxyxxyxx

9、xx212cosxx311(1)11yxxx例题例题 2 2：. ,那么 .2)2cos1 (xy y【解题思路】复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的x2x同学无视了,导致错解为:.)2cos1 (2sin2xxy设,那么2uy xu2cos1)2()2sin(2)2cos1 (2xxuxuuyyxux.)2cos1 (2sin42)2sin(2xxxu)2cos1 (2sin4xxy【技巧指引】 注意复合函数的求导方法分解求导回代 ；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.xxeyxexy 例题例题 3 3：函数).(3232)(23rxxaxxxf1

10、假设，点 p 为曲线上的一个动点，求以点 p 为切点的切线斜率取最小1a)(xfy 值时的切线方程；2假设函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.), 0()(在xfy【解题思路】求导运算后求切线方程：求导运算后求切线方程：先按运算法那么求导,再按几何意义求切线方程.解析：1设切线的斜率为k，那么1) 1(2342)(22xxxxfk 又，所以所求切线的方程为： 即35) 1 (f135xy. 0233 yx【技巧指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.例题例题 4 4：某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为()y mm(min)t,那么在时刻的降雨强度为( )(

11、 )10yf tt40mint a. b. c. d. 20mm400mm1/min2mm1/min4mm【解题思路】求导运算后的小应用题：求导运算后的小应用题：先对 的求导,再代 的数值.tt解析:选 d1551( )10,(40)42 1010400f tftt【技巧指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.变式练习：1.1. 设函数，且，那么k ( )()(2 )(3 )f xx xkxkxk(0)6f a0 b-1 c3 d-6思路分析: 按导数乘积运算法那么先求导,然后由条件构造关于的方程求解.k解 : 先求导再将 0 代入故 又,故3(0)6fk (0)6f

12、1k 2.2. 设函数， 、 是两两不等的常数 ，( )()()()f xxa xb xcabc那么 )()()(cfcbfbafa解析:代入即得 0.( )()()()()()()fxxa xbxb xcxc xa3.3. 质量为的物体按的规律作直线运动,动能,那么物体在运10kg2( )34s ttt 212emv动后的动能是 4s解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提 3125j演练广场：演练广场：根底稳固训练根底稳固训练1.1. 是的导函数，那么的值是 ( )fx31( )213f xxx( 1)f 解析: 故=32( )2fxx( 1)f 2.2. 在处的导数值是_. cosyxx3

13、x解析：故填cossinyxxx13263. 直线x+2y4=0 与抛物线y2=4x相交于a、b两点，o是坐标原点，p 是抛物线的弧上求一点p，当pab面积最大时，p 点坐标为 .解析：|ab|为定值，pab面积最大，只要p到ab的距离最大，只要点p是抛物线的平行于ab的切线的切点，设px,y.由图可知，点p在x轴下方的图象上y=2,y=,kab=,xx121211xx=4,代入y2=4x(y0)得y=4. p(4,4)4.， ，直线 与函数、的图像都相切，( )lnf xx217( )22g xxmx0m l( )f x( )g x且与函数的图像的切点的横坐标为 1求直线 的方程及的值；(

14、)f xlm解：依题意知：直线 是函数在点处的切线，故其斜率，l( )lnf xx(1,0)1(1)11kf 所以直线 的方程为l1yx又因为直线 与的图像相切，所以由l( )g x，22119(1)0172222yxxmxyxmx得不合题意，舍去 ；2(1)902mm 4m 5.函数的图象都相切，)(),(),(21)(,ln)(2xgxflaaxxgxxf与函数直线为常数且l与函数图象的切点的横坐标为 1,求直线l的方程及a的值；)(xf解由，故直线l的斜率为 1，切点为1| )(1xxf)1 (, 1 (f即1，0 又1: xyl)21, 1 (, 1)(axxg切点为 即 1)21(:

15、xaylaxy21比拟和的系数得 21, 121aa综合拔高训练综合拔高训练6. 对于三次函数，定义：设是函数的导32( )(0)f xaxbxcxd a( )fx( )yf x函数的导数，假设有实数解，那么称点为函数( )yfx( )0fx0 x00(,()xf x的“拐点。现,请解答以下问题:( )yf x32( )322f xxxx1求函数的“拐点a 的坐标;( )f x2求证的图象关于“拐点a 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关( )f x“拐点的一个结论此结论不要求证明.解析1，.令得 2( )362fxxx( )66fxx( )660fxx ， .拐点1x 3(1)1322

16、2f (1, 2)a2设是图象上任意一点，那么，因为00(,)p xy( )yf x320000322yxxx关于的对称点为，把代入得00(,)p xy(1, 2)a00(2, 4)pxy p( )yf x左边,04y 32000322xxx 右边32000(2)3(2)2(2)2xxx32000322xxx 右边=右边在图象上关于 a 对称00(2, 4)pxy ( )yf x( )yf x，其中。设两曲线有公共221( )2, ( )3ln2f xxax g xaxb0a ( ),( )yf xyg x点，且在公共点处的切线相同。1假设，求的值；2用表示，并求的最大值。1a babb解：1

17、设与在公共点处的切线相同( )yf x( )(0)yg x x00(,)xy3( )2,( )fxxg xx由题意知，0000()(),()()f xg xfxg x200000123ln232xxxbxx由得，或舍去0032xx01x 03x 即有52b 2设与在公共点处的切线相同( )yf x( )(0)yg x x00(,)xy23( )2 ,( )afxxa g xx由题意知，0000()(),()()f xg xfxg x22000200123ln232xaxaxbaxax由得，或舍去20032axax0 xa03xa 即有222221523ln3ln22baaaaaaa令，那么，于

18、是225( )3ln (0)2h tttt t( )2 (1 3ln )h ttt当，即时，；2 (1 3ln )0tt130te ( )0h t 当，即时，2 (1 3ln )0tt13te( )0h t 故在的最大值为，故的最大值为( )h t(0,)12333()2h eeb2332e8. 设三次函数在处取得极值，其图象在32( )(),f xaxbxcxd abc1x 处的切线的斜率为。求证：；xm3a01ba解：()方法一、 .由题设，得 2( )32fxaxbxc(1)320fabc 2( )323fmambmca ，。abc6326aabcc0,0ac由代入得，23220ambm

19、b24240bab 得或 26( )0,bbaa6ba 0ba将代入中，得 32cab abc11ba 由、得；01ba方法二、同上可得：将1变为：代入2320132302abcm abmac（）（）32abc2可得：，所以，那么222220131()24m cm cbmmm0ab01ba方法三：同上可得：将1变为：代入2320132302abcm abmac（）（）32cab 2可得：，显然，所以232 (1)0amb m1m 231bmam因为图象的开口向下，且有一根为x1=12( )32fxaxbxc由韦达定理得,123cxxa2103cxxa,所以，即，那么，由得：( )30fma (

20、,1)3cma1m 2301bmamabc1ba所以：01ba高考真题再现1、 全国卷全国卷 2 2 理数理数假设曲线12yx在点12, a a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，那么a a64 b32 c16 d8 【解析】332211,22yxka ，切线方程是13221()2yaaxa ，令0 x ，1232ya，令0y ，3xa，三角形的面积是121331822saa，解得64a .应选 a.2、 辽宁文数辽宁文数点p在曲线41xye上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，那么的取值范围是 (a)0,4) (b),)4 2 c 3(,24 (d) 3, )4解析：选 d.2441212xxxxxeyeeee ，12,10 xxeye ，即1tan0