第三章不等式单元综合测试

1、第三章不等式单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第1卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案、选择题(每小题5分，共60分)1 .不等式x2>2x的解集是()A. x|x> 2B. xX<2C. x|0W x< 2D. xRW0 或 x>2解析：原不等式化为x2- 2x> 0,则x< 0或x> 2.答案：D2 .若a、b、cCR, a>b,则下列不等式成立的是()11八 八A.-<-B. a2>b2a b一 a b。为>卡D. a|c|>b|c|解析：根据不等式的性质，知 C正确；若a&g

2、t;0>b,则,>1，A不正确；若a=1, b= 2, a b则B不正确；若c= 0,则D不正确，所以选 C.答案：C3 .若a, b, c是不全相等的正数.给出下列判断：(a-b)2+(b-c)2+(c- a)2w0；a>b与b<a及a= b中至少有一个成立； awc, bwc, awb不能同时成立.其中正确判断 的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D4 .直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是()A. (3,4)B. (3, -4)C. (0, - 3)D. ( 3,2)解析：当x= y=0时，3x+ 2y+5= 5&

3、gt;0 ,所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x+ 2y+5>0,可以验证，仅有点 (3,4)的坐标满足 3x+2y+5>0.答案：A5.已知 m, nC r+ ,且 m+ n=2,则 mn有（）A,最大值1 B,最大值2 C.最小值1 D,最小值2-+m+ n 9解析：m, n R , /. mn< (-) =1-答案：A6,设 M = 2a(a-2)+3, N = (a-1)(a-3), a R,则有()A. M>NB. M>NC. M<ND. N解析：M -N = 2a(a-2)+3-(a-1)(a-3) = a2>0,所以 M >N.

4、答案：B1 17.若一<二<0,则下列不等式： a bb a(Da+b<ab;|a|>|b|;a<b;一十：>2,其中正确的不等式是()a dA.B.C.D.1解析：由于一贝U b<a<0 ,则不正确；又a + b<0<ab,则正确；b2- a2= (b+ a)(b a d-a)>0,所以b2>a2,则|b|>|a|,所以不正确；->0, >0,且3，则皆告2,所以正确. a D a d a d答案：c1 18.设x, y>0,且x+2y=3,则，+，的最小值为()3A. 2B-C. 1+呼D. 3

5、+2正解析：*=照+力=；苗%岁+ 3)>(2V2+3) = |V2+1 ,当且仅当 x y o x y o ay o a y。d=-,即x=3取-3, y= 3%时取等号.x y2答案：Cx y+1> 09,若实数x, y满足x+y>0,则z=3x+2y的最小值是()x< 0A. 0B. 1C#D. 9解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以。(0,0) , A(0,1),1 1 B(2, 2)为顶点的二角形内部(含边界).当x=y=0时，x+ 2y取最小值0,所以z=3x+ 2y 的最小彳1是1.答案：B1 110.不等式ax2+bx+2>

6、0的斛集(-3),则ab等于()A. 10B. 14211斛析:, a=（2）=3=1一, ' b = 1 2, - a b= 6C. 4D. 10-,a=- 12.又-b=-1+1=6a 2 310.答案：D11.某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第 n层楼时，上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n层楼时，环境不满意度为n,则此人应选()A . 1楼B. 2楼C. 3楼D. 4楼解析：只需求不满意度n + &的最小值.由均值不等式得n+-8>4

7、J2,当且仅当n=8,nn 'n即n=2j2=3时，n+8取得最小值. n答案：C12.设函数f(x)=x3+x, xC R,若当0W长2寸,f(msin + f(1 m)>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A. (0,1)B.(巴 0)C. (-8, 1)D. (-OO, 1)解析：f(x) = x3 + x, xC R是奇函数且是增函数， f(msin。)+f(1 m)>0恒成立，即 一一一 1一一 兀1、.f(msin 0)>f(m 1), ，msinOm1, IP m<"；/长0 , "),"1, - m<1.1 s

8、in G2y,1 - sin 0答案：D第II卷(非选择题，共90分)、填空题(每小题5分，共20分)13 .不等式xx2>0的解集是 .解析：原不等式等价于 x2-x<0,解得0<x<1.答案:x|0<x<114 . x>0, y>0, x+ yw 4所围成的平面区域的周长是 解析：如下图1中阴影部分所示，围成的平面区域是RtAOAB.可求得 A(4,0), B(0,4),则 OA=OB=4, AB = 4-72,所以 RtOAB 的周长是 4+4+442=8+472.答案：8+4(215 .某种汽车，购车费用是 10万元，每年使用的保险费、养

9、路费、汽油费约为 0.9万 元，年维修费第一年是 0.2万元，以后逐年递增0.2万元.那么这种汽车使用 年时， 它的平均费用最少.解析：设使用x年平均费用最少，由年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增 0.2万元，可知汽车年维修费构成首项为0.2万元，公差为0.2万元的等差数列.因此，汽车使用x年0.2 02x总的维修费用为 2 x万兀，设汽车的年平均费用为y万兀，则有y =10+ 0.9x+0.2 0.2x2x10+x+0.1x2= 1 + 9+需1 + 2We=3.当且仅当詈言=10时，y取最小值.答案：1016 .若关于x的不等式4x- 2x+1a>0在区间1,2上恒成立，则实数

10、 a的取值范围为解析：设 y=4x2x+ 1=(2j22 2x= (2x1)21.由于 1WxW 2,则 2<2x<4,由二次函 数性质，知当2x=2,即x= 1时y有最小值0,所以原不等式在区间1,2上恒成立，只要 a <0.答案：(巴0、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)，一一.1 一，17 .（本小题10分）已知a>0,试比较a与-的大小. a.1解：a-= aa2- 1a- 1 a+1因为 a>0,所以当 a>1 时， "1 a+1 >0,有 a>1;当 a= 1 时， "1 a+1 =0,有

11、aaaa=1；当 0<a<1 时，aT a+1 <0,有 a<-. aaa综上，当 a>1 时，a>1;当 a=1 时，a = 1;当 0<a<1 时，a<-aaa.18.（本小题12分）已知a、b、c为不等正数，且 abc= 1.求证：血+神+&<； + :+：111111一十 一 一十 一 一十 一b c c a . a b 1.1.1,<一2一+2+2= a+b+c.故原不等式成立方法 2： * b、c 为不等正数,且 abc=1, a+Rbc+ca+ab=bcy + c4地ab + bcl l l + 2>

12、abc2+ Ma2bc+ Vab2c= «+ Vb+ Vc.故原不等式成立. ,2a1 + a2219.（本小题12分）已知实数x, a1, a2, y成等差数列，x, b1, b2, y成等比数列，求一斤后一 的取值范围.解：因为x, a1, a2, y成等差数列，所以 x+ y=a + a2.因为x, b1，b2, y成等比数列，所以 xy= b1b2,且xyw0.#a+a22 x+ y 2 x2 + y2 + 2xy x2+ y2b1b2当x、y同号时,+ 2= 4;当x、y异号时,+ 2=0._, _2g）j1=+ 2.xyxyxyx2+y2>2xy,当且仅当x= y时

13、，等号成立，又 xyw 0,所以上式>2xyyx2+y2>2xy|,当且仅当|x|=|y|时，等号成立，又xyw0,所以上式 xy故a1：2的取值范围为（°°, 0U4, +8）.bb2120 .（本小题12分）设集合 A、B分别是函数 y=/0= 与函数y=lg（6 + xx2）的定x22x 8义域，C= x|x24ax+3a2<0.若An B? C,求实数a的取值范围.解：由 x2+2x 8>0,得 x< 4 或 x>2,所以 A= xx<4 或 x>2;由 6+x x2>0,即x2 x 6<0 ,得2<

14、x<3,所以 B=x|2<x<3.于是 AA B=x|2<x<3.由 x24ax+3a2<0,得(x a)(x3a)<0 ,aw 2当 a>0 时，C=x|a<x<3a,由 An B? C,得，所以 1 w aw 2;3a>3当a = 0时，不等式x24ax+3a2<0即为x2<0,解集为空集，此时不满足An B? C；一 一一一3a<2.当a<0时，C=x3a<x<a,由APB? C,得，此不等式组无解.a>3综上，满足题设条件的实数 a的取值范围为a|1waW2.21 .(本小题12

15、分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分另1J为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：图2设A, B两种金属板各取x张，y张，用料面积为z,则约束条件为3x+6y>45,5x+6y>55,一 ,目标函数z= 2x+3y.x> 0,y>0,作出可行域，如右图 2所示的阴影部分.目标函数z=2x+ 3y即直线y= 2x+其斜率为1,在y轴上的截距为且随z变33

16、33化的一族平行线.由图知，当直线z= 2x+3y过可行域上的点 M时，截距最小，z最小.5x + 6y=55,解方程组得M点的坐标为(5,5),3x + 6y=45,此时 zmin=2X5+3X 5=25(m2),即两种金属板各取 5张时，用料面积最省.图322.(本小题12分)如图3所示，将一矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN , 要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线 MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米.(1)要使矢I形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形 AMPN的面积最小？并求出最小值.解：设AN的长为x米(x>2),由酬=陶，得|AM尸当|AN| |AM |x 2二 S 矩形 AMPN=|AN| |AM|=3x2x