湖南师大附中2020-2021学年高三上学期10月第二次月考数学试题

1、大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学本试卷分第【卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟满分150分.得分:一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.已知集合 A = x|x|2,x e Z）,B = |a-|x2 x 6<0j » 则 AcB =（）A. 2, 1,0,1,2,3 B. 一2, 1,0,1,2C. 70,1,2 D. _2,-1,0,12z（l +/） = 1 z 9 则乙=（）A. l-j B 1+iC-i D i3. 已知sin2a = ±

2、,则cos a + -=（）3I4丿111?A丄B上C丄D土63234. 刘徽（约公元225-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中 提岀的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代 极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正"边形等分成"个等腰三角形（如图所示），当“ 变得很大时，这“个等腰三角形的面积之和近似等于圆的而积，运用割圆术的思想，得到sin 2°的近似值为（ ）1802709的展开式的常数项是（A一3B-2 C2 D36. 中国有个剑句“运筹帷幄之中，决胜千里之

3、外”，英中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古 代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算.算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）.当 表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位.十万位数用横式表示，以此类推，遇零则宜空.例如3266用算筹表示就是三II丄丁，则8771用算筹应表示为（）12 3 45 6789I II III Illi Hill T TT ITT W 纵式=三三三_L =.横式中国古代的算筹数码A. 土丄叮I B.川丄丄I C. 丄I D. ITT丄叮一7. 对任意实数a, b, c,给岀下列命题：® aa = b ”是“ ac = bc

4、”充要条件： "d + 5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； “ a>b ”是“> b2 ”的充分条件； “a<5”是“a<3”的必要条件其中真命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 四棱锥P- ABCD的底fnABCD是矩形，侧而恥丄平而ABCD, ZAPD = 20°, AB = PA =PD二2,则该四棱锥P-ABCD外接球的体积为（）A. B. 2呼兀C. 8他D. 36穴33二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3

5、分.9. 甲、乙两所学校高三年级分別有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110名学生的数学成绩，考生成绩都分布 在70,150内，并作出了如下频数分布统汁表，规定考试成绩在120,150内为优秀，则下列说法正确的 有（）分 组70.80)80,90)90J00)1OOJ1O)1110,120)120,130)130J40)14OJ5O甲 校 频 数3481515X32乙 校 频 数12891010y3A.计算得 x = 10. y = 7B. 估计甲校优秀率为25%,乙校优秀率为40%C. 估计甲校和乙

6、校众数均为120D. 估计乙校的数学平均成绩比甲校高10.函数f(x) = Asin(ex + °)(A > ().0 v炉v兀)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交 于A么N两点,且M在y轴上，则下列说法中正确的是()A.函数/(x)在手，-打上单调递增(171 AB. 函数.f(x)的图象关于点一f成中心对称C. 函数f(x)的图象向右平移也个单位后关于直线x =成轴对称12 6D.若圆半径为誇,则函数y(x)的解析式为f(x) = 2sin 2x + -63丿11正方体ABCD-C中，疋是棱DU的中点，F在侧面CDg上运动，且满足B/平而ABE以下命题正确

7、的有()A. 侧而CDDCl上存在点f,使得坊F = cqB. 直线与直线BC所成角可能为30°c.平而A/E与平而CDDC所成锐二而角的正切值为2血D.设正方体棱长为1,则过点E, F, .4的平而截正方体所得的截而面积最大为 £12.如图，过点P（2,0）作两条直线X = 2r.x = my + 2伽> 0）分别交抛物线）'=2x于A, 3和C, £> （英中A,C位于x轴上方），直线AC,BD交于点0.则下列说法正确的是（）A. C,D两点的纵坐标之积为-4B. 点0在泄直线x = -2±C. 点P与抛物线上各点的连线中，必最短

8、D. 无论CD旋转到什么位巻，始终有ZCQP = ZBQP第II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，在平面直角坐标系中，CD = （2,-3）,则点D的坐标为14.已知函数/(%) = -6/A-2,若曲线y = /(x)在(1J(1)处的切线与直线2x y + l = 0平行，则4 = X15. 过双曲线二一.=1(“>0">0)的下焦点片作y轴的垂线，交双曲线于A,3两点，若以为直径cr lr的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心率为.(尤一10,坯1,16. 已知函数f(x) = nx其中。为自然对数的底数.若函数g(x) = /(x)

9、-d有3个不同的零，x> 1.点，则实数A的取值范围是四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在(a + b)+3", a = >/3csin A-a cos C ,(2d-b)sinA + (2/?-a)sinB = 2esinC ,这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b、c , c =而且.(1) 求 ZC；(2) 求ABC周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. (本小题满分12分)如图1,在aABC中，AB = BC =

10、 2迈、AABC =竺,D为AC的中点，将“WD沿BD折起，得到4如图2所示的三棱锥P- BCD ,二而角P BD C为直二而角.图1图2(1) 求证：平而PBC丄平而：(2) 设E为PC的中点，CF = 3FB,求二面角C-DE-F的余弦值.19. (本小题满分12分)已知各项均为整数的数列©满足。3 = -1“ =4，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列.(1) 求数列©的通项公式；(2) 求出所有的正整数加,使得20. (本小题满分12分)设函数 f (-V)= ciex + cos x ,苴中 awR .(1) 若“ =1,证明：当x>0时，/

11、71;>2；(2) 若/(x)在区间0,兀内有两个不同的零点，求a的取值范囤.21. (本小题满分12分)现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约泄：每个 人通过掷一枚质地均匀的骰子决迫自己去参加哪个游戏，掷岀点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数 大于2的人去参加乙游戏.(1) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：(2) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3) 用X,丫分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=X-Y,求随机变量§的分布列与数学期望Eg.22. (本小题满分12分)已知点P是圆Q:

12、(x +2)2+屮=32上任意一点，泄点R(2,0),线段PR的垂直平分线/与半径P0相交 于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为r.（1）求点M的轨迹厂的方程：2 2（2）若点N在双曲线才宁=1 （顶点除外）上运动，过点N,人的直线与曲线相交于过点N、Q 的直线与曲线相r交于C,D,试探究AB + CDl是否为左值，若为泄值请求岀这个立值，若不为定值, 请说明理由.炎德英才大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1. Cl_j（1 一门2_2i2. C【解析】因为

13、Z = =°一 =斗=一匚所以选C1+/ （l + i）（l-i）24. A【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2°,因为这180个扇形对1 应的等腰三角形的而积之和近似等于单位圆的而积，所以180x-xlxlxsin2 =90sin2 “、所以2o 7tsin2 a 一 ,所以选A.905D【解析】第一个因式取第二个因式取丄得：lxC；（-1=5,第一个因式取2,第二个因式取 JT（一厅得：2x（-1）5 = -2,展开式的常数项是5 + （-2） = 3.86. C【解析】由算筹的泄义，得（千位）横式圭771-丄TT丄IZjs I故选C（百

14、位）纵式TT （十位）横式丄（个位）纵式I,所以8771用算筹应表7. B【解析】®a = b"是“ ac = bc 99的充要条件：错误，当c = O时不成立：“ a + 5是无理数” 是是无理数”的充要条件；成立："a>bff是“圧>庐”的充分条件，错误，当“ =一2上=3时, 不成立；是“av3"的必要条件，成立，选B.8. B 【解析】取人£）的中点 E,连接 PEgPAD 中，ZAPD = 120°, PA = PD = 2 :. PE = 1, AD = 2*, 1设初CD的中心为。，球心为。，则OB = -B

15、D设。到平面亦D的距离如则R2=d2 + 22 =22 +(2-d)2, :.d = .R = yf5, 四棱锥 P-ABCD 的外接球的体积为故选：B.r 7t< 6丿/ 7T7T所以(P = 因此 f(x) = Asin 2x + 3).函数/（X）的图象关于点-成中心对称,若圆半径为菩，12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分.9. ABD【解析】对于A,甲校抽取叫號=6。人，乙校抽取叫雳5人，故归。，尸7：故A正确：对于B,估计甲校优秀率为 = 25%,乙校优秀率为 = 4

16、0%故B正确：对于D.甲校 6050平均成绩1095 乙校平均成绩114.6,故D正确10. BD【解析】由图易得点C的横坐标为冬，所以/（X）的周期T = 7t,所以3 = 2,又/则许J； | -，:A =班,函数/的解折式为f(x) = lsin 2x + -故选BD. 屮12丿13丿66 I 3丿 11AC【解析】取GD中点M CC|中点N,连接则易证得B.N/A.E, MN/A&,从而平而B、MN/面ABE9所以点F的运动轨迹为线段MV.取F为MV的中点，因为 B、MN是等 腰三角形，所以丄MN、又因为MN IICD、所以丄故A正确：设正方体的棱长为c当点F与点M或点N重合时

17、，直线3/与直线BC所成角最大，此时tanZC151F = i<-= = tan30°,所以B错误：平而QMN/平面A、BE ,取F为MN的中点，则MN丄CXF . MN丄B、F , ： ZB、FC、即为平面BMN与平而CDDG所成的锐二而角，tanZBfC严尊 =2血，所以C正确：截面而积可以 CF,故D错误.故选AC.12. AB【解析】设点6?(召),£>(兀*2)，将直线/的方程x = my + 2代入抛物线方程= 2x得： y 2 15. 1 +血 【解析】过双岀线二一二=1(">0">0)的下焦点片作丁轴的垂线，交双曲

18、线于A3两-2my-4 = Q.则yfy2=-4.故A正确;由题得4(2,2),B(2,2),直线AC的方程为 y-2 = -U-2),直线BD的方程为y + 2 = -(x-2),消去y得兀=辿=12±!,将”+2儿一2兀_儿+4yI>2=-a ly代入上式得x = 2,故点0在直线x = -2±,故B正确：计算可得C错误；因为=但QAQB.所以D错误.故选AB.三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. (4,1)【解析】设点D的坐标为(x, y),则而=0万一况=(无一2一4) = (2,-3),即<解得x = 4= l14.-【解析】函数/

19、(x) = -6/x2的导数为八兀)=上举一2“，可得曲线y = f(x)在(1J(1)2XQ 处的切线的斜率为k = -2ci.由切线与直线2xy + l= 0平行，可得1一2a = 2 ,解得«=-|.22bb0.点，则AB l=,以A3为直径的圆恰好过其上焦点人，可得：一= 2c, ,2-於一2仇=0,可得 a"ae2-2e- = 0,解得e = l + JIe = l JI (舍去).故答案为：1 + JI.16.【解析】令 g(x) = (x l)K(xWl)，则 g(x) = xe 所以当 xw(y>,0)时，g' <0；当xe(OJ)时，g

20、'(x)>0,于是函数g(x)在区间(y0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增，当 s 时，g(x) O,g(O) = l,g(l) = 0.令/(%) = (%>1),则/,(兀)=匕羊二 所以当兀w(l疋)时,XJT/l(X)>0;当XG(匕+OQ)时，/,(羽<0,于是函数/7(X)在区间(1疋)上单调递增，在区间(匕+8)上单调递减，/：(1) = 0, h(e) = -.当XI十8时，h(x) t 0.函数g(x) = /(x) d有3个不同的零点，等价 e于方程fM = kx有3个解，即函数于的图象与直线，=恋有3个交点，作出函数/(x)与直线y

21、 = kx的大致图象，如下图所示.由余弦泄理有c。心叫产2ab 2当直线y = kx与函数/?(x)相切时，设切点坐标为(兀),丄卫,根据导数的几何意义可得：I无丿£叫)=上辱,解得： =丄丿0 =乔，要使得函数/(X)的图象与直线y = kx有3个交点, “ 一 0xj2e选,a = JJc sin A-a cos C ,由正弦左理得：sin A = >/3 sin C sin A - sin A cos C y*/ sin AHO. /. >/3sinC cosC = 1,即sin C-=6丿 <C v , 故C = » 即C = :5 分666663

22、选，T (2a -b)sin A + (2b -a)sin B = 2csin C , 由正弦泄理得：(2a-h)a + (2b-a)b = 2c即a2 +b2-c2 =ab 9cos C =£2OvCv/r,:.C = -7T(2)由(1)可知，C =,3在aABC中，由余弦迫理得a2+b2-2abcosC = 3,即 a2+b2-ab = 3,(a + ”)2 一3 = 3*,:ug2书,当且仅当u = b时取等号，:.a + b +比3 ,即MBC周长的最大值为3血.10分 18.【解析】(1)证明：在ABC 中，AC2 = AB2 + BC2 - 2AB - BC - cos

23、 ZABC = 20, :.AC = 2y/5 ,又 vBD = l(BA + BC),+ 2BA 氏+詁TD 为 AC 中点，CD = J5, =1, BD2 + BC2 = CDBC 丄 BD 二而角P-BD-C为直二而角，.平面BCD丄平而PBDBC丄平面PBD.又 BC u平而PBC ,:.平而PBC丄平而PBD5分(2)以E为坐标原点，所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，过点B且垂直于平而BCQ的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.可求得B(0Q0),C(2,0,0), D(O,1,O),P(O22),因为E为PC的 1中点，CF = 3FB,所以E(1 丄 1), F 孑,0

24、,0CD = (-2,1,0), DE = (l,0,l),£)F = f|,-1,0设平而0£的法向量为加=平而FDE的法向量为/ = (x2,y2,22),则得斎=(1,2,_1)昭j得ADECOS?J2=1 + 1 + 1所以二而角C-DE-F的余弦值为12分19.【解析】(1)设前6项的公差为乩 则y = “3 + 2 = 一1 + 2,他=如+ 3 = 一1 + 3，V a5,a6,a7 成等比数列-a7 =>(3d-l) =4(2一1), 解得:十冷(舍)，： ”W6 时 > an = a3 + (n 3)d = n4,A a5 = 2 则 <

25、7 = 2,n >6时，an = a6 qnb = 2"、,一 4,底6,2f >6.(或陽=<h-4,<52f >5 或T77-4,7： <52心,心5(2) ill( 1) "J得：%: 3,2.1,0丄2,4,&则当m = 1时，G +勺+=一6 = 4心2。3，当 m = 2时,a2+a3 + a4= -3,a2a3a4 = O.a2 +a3 + a4a2a3a4 ,当 m = 3 时，a3+a4+a5=O = a3a4a5,当 m = 4 时，a4 + a5 + «6 = 3, a4a5a6 =0,a4 + a

26、5 + a6 H a4a5a6,当町5时,假设存在m,使得am + %】+= amamamJpl,则有2心(1 + 2 + 4) = 2Z即：7 T'5 = 23m_,2 =>7 = 22w_7, VW/5, A 2/?-73, A 22w,->23 = 8 > 7,从而 7 = 22w,_7 无解, 5时，不存在这样的m,使得am + am + am+2 = amam+lam+2, 综上所述：加=1或in = 3.12分20.【解析】(1) / (x) = ex -sinx 由x>0,得ex > l,sinxe-l,l,则/w =八sinX > 0 ,即/(x)在(0,+oo)上为增函数.故/W>/(0) = 2,即/(切24分(2)由 /(x) = aex + cosx = 0 ,cosx设函数/i(x)=cosx,xe|0|则力(x)=sinx + cosx令 /? (x) = 0,4则“0,竺4所以(x)在时,h (x) > 0,x e(3龙时,h (x) < 0 4 /上单调逼增.在又因为力(0) = 一1/(