（整理版）常见递推数列通项的求法

1、常见递推数列通项的求法类型1、 型解题思路：利用累差迭加法，将，=，=,各式相加，正负抵消，即得.例1、在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：那么 ，逐项相加得：.故.例2在数列中，且，求通项.解：依题意得，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，假设是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；假设非常数，而是关于的一个解析式，可以肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例3、数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练

2、习：1、 满足，求的通项公式。2、 的首项，求通项公式。3、 中，求。类型2 型解题思路：利用累乘法, 将各式相乘得，即得.例4在数列中，求通项.解：由条件等式得，得. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，那么数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.例5、设数列是首项为1的正项数列，且n=1,2,3，那么它的通项公式是=高考15题.解：原递推式可化为： =0 0， 那么 ， 逐项相乘得：，即=.练习：1、：，求数列的通项。2、中，且求数列通项公式。类型3、 型解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.例6数列满足，求. 解：设，即对照原递推式，便

3、有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。，即通项【评注】此题求解的关键是把递推式中的常数“作适当的别离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、满足，求通项公式。 2、中，求。分析：构造辅助数列， ，那么同类变式1、数列满足，且，求通项分析：待定系数，构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 3、数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故因此，那么评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。类型4型例7 数列的前项和满足（1）

4、 写出数列的前3项；（2） 求数列的通项公式.解：1由，得.由,得,由,得(2)当时,有,即 令,那么,与比拟得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目：1、中，求2、在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比拟系数得=-4，式即是：.那么数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式4、假设数列的递推公式为，那么求这个数列的通项

5、公式5、假设数列的递推公式为，那么求这个数列的通项公式6、数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，那么x=1，代入式，得由0及式，得，那么，那么数列是以为首项，以2为公比的等比数列，那么，故。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型5、取倒数例8、数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解： 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例9、数列中，且，求数列的通项公式.提示 例10、，求解：即 那么例11、数列中，求的通项。解： 设  

6、60;    练习：1、在数列中，求类型6、取对数法例12 假设数列中，=3且n是正整数，那么它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.例13、数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，那么，故代入式，得由及式，得，那么，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，那么，因此，那么。评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。练习：1、假设数列的递推公式为，求这个数

7、列的通项公式类型7、平方开方法例13、 假设数列中，=2且n，求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列,使问题化陌生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而到达转化的目的.其他类型：1、数列中，且满足求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由。解：1由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.2假设，时，故3假设对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任

8、意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。提高相关阅读利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略.一、构造等差数列法例1.在数列an中，求通项公式an。解：对原递推式两边同除以可得： 令那么即为，那么数列bn为首项是，公差是的等差数列，因而，代入式中得。故所求的通项公式是二、构造等比数列法利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。例2.设在数列an中，求an的通项公式。解：将原递推式变形为/得：，即设式可化为，那么数列bn是以b1为首项，公比为2的等比数列，于是，代入式得：，解得为所求。2.a、b为常数型递推式可构造为形如的等比数列。，其中，求通项公式。解：原递推式可化为：，那么数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。3.a、b、c为常数，下同型递推式可构造为形如的等比数列。，其中，且，求通项公式an。解：将原递推变形为，设bn。得设式可化为，比拟得于是有数列是一个以为首项，公比是3的等比数列。所以，即，代入式中得：为所求。4.型递推式可构造为形如的等比数列。中，求通项公式。解：原递推式可化为，比拟系数可得：，上式即为是一个等比数列，首项，公比为。所以。即，故为所求。三、函数构造法对于