（整理版）平面空间两条直线

1、9.1 平面、空间两条直线稳固·夯实根底 一、自主梳理 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.它常用于判定直线在平面内、点在平面内. (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 它的作用有五个:判定两个平面相交;证明点在直线上;证明三点共线;证明三线共点;画两个平面的交线. (3)公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有

2、且只有一个平面. 公理3及三个推论的作用:确定平面;证明两平面重合;证明点、线共面;作截面、辅助面. (1)相交直线有且仅有一个公共点. (2)平行直线在同一平面内,没有公共点. (3)异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点. 定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 方法一:利用定理“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线判定. 方法二:利用反证法,即假设这两条直线不是异面直线,推导出矛盾. (1)定义:直线a、b是异面直线,经过空间一点o分别引直线aa,bb,a、b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角. (2)两条异面直线所成的角的范围为(

3、0°,90°). (3)异面直线所成角的求法 a.平移,解三角形(平移主要有三种方法,即直接平移、中位线平移、补形平移). b.供9(b)选用空间向量. 由于异面直线所成角的范围是(0°,90°,如果平移后在三角形中求出的角是钝角,那么取它的补角. 定义:把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 注:与两条异面直线都垂直的直线有无数条;与两条异面直线都垂直、相交的直线有一条. 定义:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线的距离. 公理4:平行于同一直线的两直线平行. “线线平行与“线面平行之间的

4、内在联系,提供了判断空间直线平行及点、线共面的方法. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 斜二测画法是借助平面表现空间的主要手法,其原那么是:(1)平行性保持不变;(2)平行于x轴的线段在直观图中长度不变,平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半. 二、点击双基1.假设a、b是异面直线，那么只需具备的条件是( )平面,b平面，a与b不平行平面，b平面，=l，a与b无公共点直线c，bc=a,b与a不相交平面，b是的一条斜线答案：c2.以下说法正确的选项是(

5、 )答案：d3.(北京朝阳模拟)如图,正四面体sabc中,d为sc的中点,那么bd与sa所成角的余弦值是( )a. b. c. d.解析：取ac的中点e,连结de、be,那么desa,bde就是bd与sa所成的角.设sa=a,那么bd=be=a,de=a,cosbde=.答案：c4.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，那么(1)哪些棱所在直线与直线ba1成异面直线？_;(2)直线ba1与cc1所成角的大小为_;(3)直线ba1与b1c所成角的大小为_;(4)异面直线bc与aa1的距离为_;(5)异面直线ba1与cc1的距离为_.答案：(1)d1c1、d1d、c1c、c1b1、dc、

6、ad(2)45° (3)60° (4)a (5)aa1b1c1d1e1f1的底面边长为1,侧棱长为,那么这个棱柱的侧面对角线e1d与bc1所成的角是_.解析：连结fe1、fd,那么由正六棱柱相关性质可得fe1bc1,在efd中,ef=ed=1,fed=120°,fd=.在efe1和ee1d中,易得e1f=e1d=,e1fd是等边三角形,fe1d=60°.而fe1d即为e1d与bc1所成的角.答案:60°诱思·实例点拨【例1】 如图，四面体abcd中，e、g分别为bc、ab的中点，f在cd上，h在ad上，且有dffc=23，dhha=2

7、3.求证：ef、gh、bd交于一点.证明:连结ge、hf，e、g分别为bc、ab的中点，gedffc=23，dhha=23，hfac.geef与gh不能平行， ef与gh相交，设交点为o. 那么o面abd，o面bcd，而平面abd平面bcd=bd.ef、gh、bd交于一点.讲评:证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】 a是bcd平面外的一点,e、f分别是bc、ad的中点,(1)求证:直线ef与bd是异面直线;(2)假设acbd,ac=bd,求ef与bd所成的角.(1)证明:用反证法.设ef与bd不是异面直线,那么ef与bd共面,从而df

8、与be共面,即ad与bc共面,所以a、b、c、d在同一平面内,这与a是bcd平面外的一点相矛盾.故直线ef与bd是异面直线.(2)解:取cd的中点g,连结eg、fg,那么egegf中,求得feg=45°,即异面直线ef与bd所成的角为45°.链接·提示 (1)证明两条直线是异面直线常用反证法;(2)求两条异面直线所成的角,首先要判断两条异面直线是否垂直,假设垂直,那么它们所成的角为90°假设不垂直,那么利用平移法求角,一般的步骤是“作(找)证算.注意,异面直线所成角的范围是(0,.【例3】 长方体abcda1b1c1d1中,ab=a,bc=b,aa1=c,且a>b,求:(1)以下异面直线之间的距离:ab与cc1;ab与a1c1;ab与b1c.(2)异面直线d1b与ac所成角的余弦值.(1)解:bc为异面直线ab与cc1的公垂线段,故ab与cc1的距离为b. aa1为异面直线ab与a1c1的公垂线段,故ab与a1c1b1c,垂足为e,那么be为异面直线ab与b1c的公垂线,be=,即ab与b1c的距离为.(2)解法一:连结bd交ac于点o,取dd1的中点f,连结of、af,那么ofd1b,aof就是异面直线d1b与ac所成的角. ao=,of=bd1=,af=, 在aof中,cosaof=. 解法二:如以下图,在原长方