带电粒子在常梯度磁场中横向运动稳定性研究

1、带电粒子在常梯度磁场中横向运动稳定性研究摘 要在导出常梯度磁场中带电粒子运动的微分方程的基础上，求出了微分方程的解。研究了带电粒子在常梯度磁场中运动的稳定性，确定了粒子作回旋运动的稳定条件。结果表明，粒子在作回旋运动的同时，在轴向和径向均作简谐振荡，可以保持粒子绕回转轨道运动。粒子的横向运动轨迹的形状取决于磁场的对数梯度,而与粒子的初始状态无关。粒子的初始状态确定其横向运动的振幅。【关键词】常梯度磁场；回旋运动；横向运动；稳定性条件Study on the lateral stability of charged particles in a constant gradient magneti

2、c fieldAbstractIn constant gradient magnetic field is derived the basic differential equations for the motion of charged particles in the upper, the solution of the differential equation. The stability of charged particles in constant gradient magnetic field research, determine the particle stabilit

3、y conditions of cyclotron motion. The results show that, particles in the cyclotron motion at the same time, in the axial and radial directions were simple harmonic oscillation, can keep the particles around the rotary motion. Logarithmic gradient magnetic field n in lateral motion trajectory of par

4、ticle shape depending, regardless of the initial state and the particle. The initial state of the amplitude of the transverse motion of particle is determined. Key words constant gradient magnetic field; lateral motion; stability condition 目 录引 言41 带电粒子在恒定均匀磁场中的运动41.1带电粒子在恒定电磁场中的运动方程41.2带电粒子在均匀磁场中的运

5、动52 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程62.1理想常梯度磁场分布的特点62.2带电粒子在常梯度磁场中的运动方程72.3 轴向运动方程82.4 径向运动方程92.5非相对论情况下带电粒子横向运动的稳定性103.带点粒子运动规律的数值分析113.1非相对论情况下横向振荡方程的通解113.2初始条件确定时横向振荡方程的定解123.3粒子运动轨道的分析134 结论17参考文献18引 言 带电粒子加速器可以给电子、质子、轻重离子等带电粒子加速，使它们的速度达每秒几千公里、几万公里乃至接近光速，使粒子获得很高的能量。高能粒子是人们研究原子核、基本粒子和认识物质深层次结构的重要工具。低能加速器在工业、农业

6、、医疗卫生等领域内有广泛的应用，极大地改变了这些领域的面貌，创造了巨大的经济效益和社会效益。 粒子回旋加速器等加速装置常常是将利用磁场将带电粒子限制在一个圆形的轨道上运动，研究带电粒子在圆轨道上运动的稳定性是一个很有意义的课题。本文将研究带电粒子在常梯度磁场中的运动的稳定性，研究粒子横向运动的规律。1 带电粒子在恒定均匀磁场中的运动1.1带电粒子在恒定电磁场中的运动方程带电粒子在恒定电磁场中运动时，将受到电场力和磁场力的作用。根据牛顿第二定律，带电粒子在恒定电磁中的运动方程为 （1-1） 或写成 式中为粒子的质量，为粒子的速度矢量，为粒子的荷电量，其中是电子电荷的绝对值，为电场强度矢量，为磁感

7、应强度矢量。在回旋加速器中粒子的轨道大多呈圆形或螺旋线形，所以当讨论粒子在加速器中的运动时常采用圆柱坐标系。以代表轴向，以代表径向，代表辐向。（1-1）式可写成三个分量的运动方程式 （1-2） （1-3） （1-4） （1-2）到（1-4）三个式子分别为带电粒子在恒定电磁场中的径向、辐向和轴向的运动方程。1.2带电粒子在均匀磁场中的运动设粒子在均匀磁场中运动，（1-2）式、（1-3）式和（1-4）式中、电场为0，可写出均匀磁场中的运动方程： （1-5a） （1-5b） （1-5c）在加速过程中，粒子质量不断增大，但在粒子的一个回旋周期内变化极小，本文不考虑相对论效应，取是常数。当带电粒子在磁场

8、中运动时将受到洛伦兹力的作用，力的大小等，其中为粒子的速度与磁场的方向间的夹角，力的方向垂直于磁场和粒子运动的方向。粒子在洛仑兹力的作用下作曲线运动。如果曲率半径保持不变，则，则由(1-5)式 (1-6)考虑到方向，求出粒子做圆周运动的角频率 (1-7)其中为粒子的回旋角频率，这就是拉摩定理。由上可见，粒子的回旋频率只与磁感强度和粒子的荷质比有关，而与粒子的速度无关。(1-6)式也可写成，则粒子的回转轨道半径 (1-8)上式中负号反映了粒子回旋运动的方向。带正电荷的粒子（）在磁力线向上的磁场中（）运动时，粒子回旋运动的方向为顺时针方向（）；在磁力线向下的磁场中（）运动时，粒子回旋运动的方向为逆

9、时针方向（）；而带负电荷的粒子其结果相反。概括地说，的带电粒子，与的符号相反，的带电粒子，与的符号相同。如果只计算轨道半径的大小，负号可以不考虑。理想的均匀磁场只有轴向分量，带电粒子的运动方向可以近似的认为是沿着半径的切线方向，即。则(1-8)式可写成 (1-9)2 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程2.1理想常梯度磁场分布的特点在粒子加速过程中人们往往采用常梯度的磁场，因为参数合适的梯度磁场不但能控制粒子的轨道，还能使粒子聚焦。图2-1表示典型的常梯度磁场磁力线的分布情况。图2-1 常梯度磁场磁力线的分布理想的常梯度磁场分布有以下特点：（1）磁场对于轴是旋转对称的。其数学关系式可写成。（2）磁

10、场对于中心面是上下对称的，此中心平面称为磁对称平面，在此平面上只有，所以的平面上，在此平面外磁场除分量外还有分量，用数学关系式表示可以写成。（3）磁场轴向分量随半径而变化。磁场降落指数是表示磁场随半径变化的重要参数，其数学表达式为 (2-1) 式中为常数。由(2-1)式可得 (2-2)所以，又称为磁场的对数梯度。(2-2)式还可以写成 (2-3)2.2带电粒子在常梯度磁场中的运动方程 利用带电粒子在恒定电磁场中的运动方程（1-2）至（1-4）式，考虑，就可写出带电粒子在恒定常梯度磁场中的运动方程 径向运动方程 (2-4)辐向运动方程 (2-5)轴向运动方程 (2-6)2.3轴向运动方程在回旋加

11、速器中，径向（）和轴向（）都垂直于粒子前进的方向，所以径向运动和轴向运动统称为横向运动。研究带电粒子在常梯度磁场中的横向运动时，可求出一定能量的带电粒子在理想的恒定梯度场中的横向运动方程，并找出粒子运动的稳定条件。设在中心面（）上粒子的封闭轨道半径为，如果带电粒子所处的轴向和径向坐标分别是和，则带电粒子对封闭轨道的轴向偏离值就等于，径向偏离值用表示。为了进一步分析轴向运动方程，先求出磁场的径向分量与轴向偏离值之间的关系。假设粒子轴向偏离中心面很小，将作泰勒展开：上式中，忽略二次以上高次项，则 (2-7) 下标表示在封闭轨道上的数值。根据麦克斯韦方程，忽略束流本身电荷，没有电流，磁场关于 轴对称

12、，得 （2-8） 将(2-8)式代入(2-7)式，求得，再代入(2-6)式，即得 (2-9) 因为粒子轴向和径向偏离封闭轨道的值和都很小，所以粒子速度和之差可以忽略不计，。注意到粒子回旋角频率，代入上式后 (2-10)式中为封闭轨道处磁场的轴向分量。将(2-3)式磁场降落指数的表达式代入上式即可得轴向振荡方程 (2-11) 2.4径向运动方程 假设粒子偏离封闭轨道很小，可近似地认为 ，则（1-5a）可写成 (2-12) 式中是粒子轨道半径，粒子径向偏离“封闭轨道”半径的值为，所以式中。将径向运动方程(2-12)等式右边的两项作如下的演变 (2-13)在封闭轨道附近，粒子在处的轴向磁场可写成 (

13、2-14) 是粒子轨道偏离值为处的磁场轴向分量的变化量。(2-14)式可写成将(2-3)式磁场降落指数的表达式代入上式即可得到 (2-15) 将(2-13)式和(2-14)式代入粒子径向运动方程(2-12)式得 (2-16)已知，并代入上式，则 (2-17) 上式即是径向振荡方程。 2.5非相对论情况下带电粒子横向运动的稳定性粒子在注入和加速过程中总是要偏离封闭轨道的。当粒子偏离封闭轨道时，如果能产生一个把粒子拉回来的磁场力，则粒子的运动是稳定的。反之，则不稳定。从横向振荡方程（2-11）式和（2-17）式可以清楚地看出粒子横向运动的稳定条件。在（2-11）式中，、永远是正值，要想该方程有振荡

14、解，必须。因此轴向运动的稳定条件是。满足此条件时，轴向力的方向才与粒子偏离封闭轨道的方向相反。同理，由（2-17）式可知，径向运动的稳定条件应为，即。所以，横向运动的稳定条件是。这种满足条件的梯度磁场，它的磁力线向外弯曲（见图2-1），人们形象地称之为桶形场或鼓形场。在这种梯度磁场中，正负带点粒子的轴向运动都是稳定性的。相反，如果磁场轴向分量随半径加大而增加，即，则磁场的磁力磁线形状向内弯曲，和的方向都与上述的通形场相反，轴向力是散焦力。带点粒子在这种磁场中的运动将是不稳定的。下面定性分析和的两种不同情况带电粒子横向运动的稳定性。1）： 当粒子轨道半径时，在轨道半径处劳仑兹力小于粒子做圆周运动

15、所要求的向心力，将增大向靠拢；而当粒子轨道半径时，在轨道半径处劳仑兹力大于粒子做圆运动所要求的向心力，将减小向靠拢。因此，在的情况下，径向运动是稳定的。2）： 当粒子轨道时，在轨道半径处，轨道收缩，粒子会继续远离封闭轨道半径 ；而当粒子轨道时，在轨道半径处，轨道扩张，粒子将继续远离封闭轨道半径。所以在的情况下，径向运动是不稳定的。综上所述，要想使梯度磁场既能控制粒子的运动轨道又能对粒子聚焦，关键问题是选择合适的磁场降落指数，也就是在设计磁铁时要精确的计算磁极面的形状 。3.带点粒子运动规律的数值分析3.1非相对论情况下横向振荡方程的通解在非相对论情况下，质量是常数。(2-11)式和(2-17)

16、式可改写成 以上两式是简谐振荡方程。因此轴向和径向振荡方程的解为： (3-1) (3-2) 和分别是轴向和径向振动的角频率。轴向自由振荡频率径向自由振荡频率为粒子沿封闭轨道的回转频率。轴向自由振荡周期 (3-3) 径向自由振荡周期 (3-4)是粒子沿封闭轨道的回转周期。通过(3-3)式和(3-4)式可以看出粒子沿轨道旋转一周，横向振荡不到一次。3.2初始条件确定时横向振荡方程的定解 设时，粒子的轴向偏离值为，径向偏离值为。并设初始时粒子的速度为与轨道平面的夹角为，而在轨道平面内与轨道切线的夹角为。因此，粒子的轴向初速度为径向初速度为由初始条件 (3-5) (3-6)根据(3-5)式和(3-6)

17、式，我们可以解出因为初始偏离值很小，所以，则 (3-7) (3-8)同理可得 (3-9) (3-10)轴向振荡和径向振荡的振幅比 (3-11)若时，粒子正好处在回转轨道上，则，那么(3-11)式可以写成 (3-12)轴向振荡的频率和径向振荡的频率比 (3-13)可以看出轴向振荡和径向振荡的振幅比与频率比是互为倒数的关系。3.3粒子运动轨道的分析令，则而1） 粒子横向运动的轨迹与磁场参数n的关系用Mathematics绘出的粒子横向运动的轨迹与磁场参数n的关系如图3-1所示。图中取，分别取，。由图可见，由于粒子轴向、径向的振动频率的比与有关，所以不同的粒子横向运动的轨迹不同，呈现为李萨如图形。

18、(a) (b) (c) (d) 图3-1初速度沿轨道切向时，粒子横向运动的轨迹与磁场参数n的关系当粒子初始的速度与圆轨道相切时时，粒子振荡的振幅与无关。但当粒子初始的速度不在圆轨道的切线方向时，粒子振荡的振幅与有关。图3-2给出了， 时，粒子横向运动的轨迹。（a） （b） 图3-2初速度偏离轨道切向时，粒子横向运动的轨迹与磁场参数n的关系2） 粒子横向运动的轨迹与初速度方向的关系图3-3给出了不同初速度方向情况下粒子横向运动的轨迹。图中取，分别取，。由图可见，横向振荡的振幅与粒子初速度的偏向角有关，横向振荡的振幅随偏向角的增大而增大，而粒子运动轨道形状与偏向角无关。图3-3 粒子横向运动的轨迹

19、与初速度方向的关系（；）3） 粒子横向运动的轨迹与初始位置的关系图3-4给出了不同初始位置时粒子横向运动的轨迹。图中取，分别取、，即。由图可见，横向振荡的振幅与粒子初始位置也有关，横向振荡的振幅随初始位置的的增大而增大，而粒子运动轨道形状也与初始位置无关。图3-4粒子横向运动的轨迹与初始位置的关系（；）4) 运动的运动轨迹三维图 图3-5给出了粒子运动轨迹的3维图，图中取，分别取。从图中可看出，粒子在回旋运动时，轴向与径向都有振荡，但始终都在回转轨道的附近运动。 图3-5 粒子运动轨迹的三维图4 结论本文研究了带电粒子在常梯度磁场中运动的稳定性。导出了常梯度磁场中带电粒子运动的微分方程，并求出了微分方程的解。确定了粒子作回旋运动的稳定条件，并数值分析了带电粒子横向运动的规律。结果表明，粒子在作回旋运动的同时，在轴向和径