数学分析中极限的求法之多少

1、数学分析中极限的求法之多少极限的求法是数学分析的基础，数学分析中的基本概念很多都用其来表述，都可以用极限来描述。如函数yf(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限的求法是研究数学分析的基本公具。极限的求法是贯穿数学分析的一条主线。学好极限的计算重点关注两点：一是考察所给函数是否存在极限。若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。一、利用夹逼准则求极限若一正整数 N,当n>N时，有且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩

2、小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。例1 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为二、利用单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在有界性，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例2 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则 则. 因为 解方程得 所以 三、利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：（1）若极限和都存在，则函数，

3、 当时也存在极限且 （2）若，则在时也存极限，且有利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例3求极限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因为 所以 四、利用两个特殊极限公式求极限两个特殊极限公式 (1) (2) 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例4 求下列函数的极限 (1) (2) 解：(1) 1(2) 1五、利用单

4、侧极限求极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例5求 f(x)在x=0的左右极限 解：1 1 六、利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点连续 g()=,而y=f(u)在点连续，那么复合函数y=f(g(x)在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。 例6求 解：令 ylnu, u 因为 lnu 在点 处连续 所以 1七、利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果,g(x)在某区间有界，那么.这种方

5、法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例7求 解： 因为 所以 0八、利用等价无穷小量代换求极限 等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为 yz 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。 例8求 解：8九、利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在附近有导数，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限表示成f(x)在定点的导数。 例9求 解：取f(x)= .则 十、利用微分中值定理和积分中值定理求极限（

6、一）微分中值定理若函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使 例10求 解： （二）积分中值定理设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 例11求 解： 十一、利用洛必达法则求极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。（一）对于型不定式极限可

7、根据以下定理来求出函数的极限。若函数f(x)和函数g(x)满足：=0。在点的某空心邻域内两者都可导，且 =A。（A可为实数，也可为或）则=A。注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例12求解：容易检验f(x)=1+与g(x)=在的邻域里满足定理的条件和，又因= -故由洛比达法则求得，=在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在。当然，这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。例13求解：利用 （），则得原式=在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例，例14求解：这是型不定式

8、极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于是有=（二）型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。若函数f(x)和函数g(x)满足：=在点的某空心邻域内两者都可导，且=A，（A可为实数，也可为或）。则=A。此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例15求解：由定理4得，注1：若不存在，并不能说明不存在。注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限=1 虽然是型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：=就会因右式的极限不

9、存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。(三)其它类型不定式极限不定式极限还有，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为型和型的不定式极限。例16求解：这是一个型的不定式极限，作恒等变形=，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达法则得到=例17求解：这是一个型的不定式极限，作恒等变形=其指数部分的极限是型的不定式极=从而得=例18 求（k为常数）解：这是一个型的不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限，=然后得到 =（）当=0时上面的结果仍成立。例19 求解：这是一个型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型） =1于是有=洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型

10、之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 。 例20(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述极限是待定型1(2) 它为型 由对数恒等式可得 = 十二、利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。 例21求 解：由于 可取函数 f(x)区间为上述和式恰好是 在 上n等分的积分和。 所以 十三、利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件：若级数

11、收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限 例22 求 解：设 则 = =0<1由比值判别法知收敛 由必要条件知0十四、利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么 (其中在0与1之间) 利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例23求解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子， （取n=4）cosx=1-+()=1-+cosx-=-()因而求得= 十五换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例24 求 解：令 则 1本文对极限的求法作了一下小结,归纳了15种求极限的基本方法.对一般的极限用上面的方法可以求出来,复杂一点的可能要综合几种方法才能求出.关键是“运用之妙,存乎一心，源于熟练”.参考文献1 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社2 蔡子华主编，2005年数学复习大全（