矩阵线性方程组

1、第二章第二章 线性方程组的解线性方程组的解 高斯消元法高斯消元法通知通知：1111月月1515日的课换到日的课换到1111月月5 5日日上午上课时间不变，上午上课时间不变，地址：东地址：东2-2012-201教室；教室；下午上课时间不变，下午上课时间不变，地址：东地址：东2-1032-103教室教室 我们以往求解方程组，方程个数我们以往求解方程组，方程个数与未知量的个数总相等，但实际问题与未知量的个数总相等，但实际问题中，两者不一定相等。求解方程组的中，两者不一定相等。求解方程组的方法通常是消元法，即高斯消元法。方法通常是消元法，即高斯消元法。求解过程中，实际上利用了三种行初求解过程中，实际上

2、利用了三种行初等变换，并且总是详细地写出方程组。等变换，并且总是详细地写出方程组。行初等变换保证了方程组总是行初等变换保证了方程组总是同解同解的，的，但每一步都详细地写出方程组则是不但每一步都详细地写出方程组则是不必要的。早在汉朝的必要的。早在汉朝的九章算术九章算术实实际上就用了增广矩阵初等变换法，这际上就用了增广矩阵初等变换法，这正是本章要论述的。下面我们讨论一正是本章要论述的。下面我们讨论一般线性方程组般线性方程组. .n个未知量的线性方程组的一般形式为：个未知量的线性方程组的一般形式为： .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxax

3、axa其中其中nxxx,21未知量未知量ija第第i个方程第个方程第j个个未知量未知量xj的系数的系数常数项常数项全为全为0齐次线性方程组齐次线性方程组否则为非齐次否则为非齐次线性方程组线性方程组上述线性方程组表示成矩阵形式为上述线性方程组表示成矩阵形式为bAx 系数矩阵系数矩阵未知量列向量未知量列向量常数项列向量常数项列向量问题：问题： (1) 方程组是否有解方程组是否有解?(2) 如果有解如果有解,它有多少解它有多少解? 如何求出如何求出 它的所有解它的所有解? bAA 为增广矩阵为增广矩阵 高斯消元法就是对方程组作初等行变换高斯消元法就是对方程组作初等行变换, , 等价于上述矩阵方程左乘

4、初等矩阵，由于等价于上述矩阵方程左乘初等矩阵，由于 初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性，这是一个，这是一个同解过程。同解过程。 实际上是实际上是对增广矩阵作初等行变换的过程。对增广矩阵作初等行变换的过程。bAx PAxPb bAA PAPA Pb例例1解线性方程组解线性方程组 222132232121321xxxxxxxx解解 212120111322A初等行变换初等行变换1310030101001A 因此因此 .331321xxx，例例2解线性方程组解线性方程组 .115361424524132321321321321xxxxxxxxxxxx，解解 11536141245241312A初等行变

5、换初等行变换1000000002100250211A 以以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为的非零行为增广矩阵的线性方程组为 22521321xxx可以看出可以看出,每给定每给定x2一个值一个值,唯一的求出唯一的求出x1 , x3的一的一组值组值,而而 x2可取任意实数可取任意实数,所以方程组有无数解所以方程组有无数解.自由未知量自由未知量那么这个解的几何意义是什么呢那么这个解的几何意义是什么呢？ 22521321xxx每一个方程都表示三维空间中的一张平面，每一个方程都表示三维空间中的一张平面，取两张平面的交集，就是一条直线。取两张平面的交集，就是一条直线。所以，方程组的解表示一条直线上的所

6、有所以，方程组的解表示一条直线上的所有点，因此，解有无数个。点，因此，解有无数个。方程组的所有解可表示为方程组的所有解可表示为:2252132221 xxxxx自由未知量自由未知量例例3解线性方程组解线性方程组 48364524132321321321xxxxxxxxx解解 483645241312A1100021001312A 初等行变换初等行变换以以 为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为 1A0 = 1这是一个这是一个矛盾矛盾方程方程,因此原方程组因此原方程组无解无解. 综上所述综上所述, 线性方程组的解有三种可能的情线性方程组的解有三种可能的情况况

7、:唯一解唯一解, 无解无解, 无穷多解无穷多解. 一般地，给出线性方程组一般地，给出线性方程组 Ax = b，用初等行变，用初等行变换和换和列互换列互换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.1,1112,122,1110001000100000000000000000rnrnr rrnrrccdccdccdAd r(A) = r其中其中思考题思考题：为何：为何列互换列互换可以，但是其余的可以，但是其余的两种两种列变换列变换却不可以？却不可以？提示：提示：1，从方程组的等价性考虑，作，从方程组的等价性考虑，作其余两种列变换是否改变了方程组；其余两种列变换是否改变了方程组；2，作列

8、互换的时候，方程组形式上发生，作列互换的时候，方程组形式上发生了改变，但是本质上没有发生变化。不过了改变，但是本质上没有发生变化。不过需要注意什么？需要注意什么？ 1，当，当dr+1=0且且r = n时，此时，时，此时，不失一般性，不失一般性，未知量编号未知量编号仍按原次序，则方程仍按原次序，则方程组有以下唯一解：组有以下唯一解：1122nnxdxdxd 此时，易写出与之对应的方程组。不过由于进行此时，易写出与之对应的方程组。不过由于进行了列互换，对应方程组中的了列互换，对应方程组中的未知量编号次序未知量编号次序会有会有差别，但方程组仍然同解。显然，方程组有解差别，但方程组仍然同解。显然，方程

9、组有解当当且仅当且仅当 r(A) = r( ) 。下分几种情况讨论。下分几种情况讨论.r(A) = r( ) = n。AA2，若，若dr+1= 0, 且且r n 时时, 此时此时对应的方程组为对应的方程组为11,111122,1122,11rrnnrrnnrr rrrnnrxcxc xdxcxc xdxcxc xd r Ar An 移项可得移项可得111,111222,112,11rrnnrrnnrrr rrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x 其中其中nrrxxx,21 是自由未知量是自由未知量,共有共有(n-r)个个,当这当这(n-r)个自由未知量取不同的值时个自由未知量取不同

10、的值时,就得到方就得到方程组程组Ax = b 不同的解不同的解.若令若令1122,.rrnn rxtxtxt其中其中12,n rttt为任意实数为任意实数, 则方程组则方程组Ax = b 有无穷多解有无穷多解,这些解的全体，即这些解的全体，即通解通解可表为可表为.111,1 11222,1 12,1 111.rn n rrn n rrrr rrn n rrnn rxdctc txdctc txdctc txtxt 此时，此时， 综上综上,可得如下可得如下定理定理 (线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的判定定理)线性方程组线性方程组Ax = b有解的充要条件是有解的充要条件是 ,r Ar A

11、当当 r Ar An 时时,方程组方程组有有无穷多无穷多解解;当当 r Ar An时时,方程组有方程组有唯唯一解一解;当当 r Ar A时，无解时，无解.3，若，若dr+10, 方程组中出现矛盾，故无解。方程组中出现矛盾，故无解。 1,r Arr Ar推论推论1 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 一定一定有有零零解解;如果如果r(A) = n ,则则只有零只有零解解;它有它有非零非零解的充分必解的充分必要条件是要条件是r(A) n . 推论推论2 若齐次线性方程组若齐次线性方程组Ax = 0中方程的个中方程的个数小于未知量的个数数小于未知量的个数,即即mn , 则它则它必有非零解必有

12、非零解;若若m = n ,则它有非零解的充要条件是则它有非零解的充要条件是 |A| = 0 .例例4解齐次线性方程组解齐次线性方程组 0340222032432143214321xxxxxxxxxxxx解解对系数矩阵施行初等行变换化为最简形对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:r2-2r1r3-r1 341122121221A r3-r2r2 (-3) r1-2r2 0000342101221 463046301221 00003421035201由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为 03420352432431xxxxxx由此可得由此可得 443343243

13、1342352xxxxxxxxxxx3 , x4 为自由为自由未知量未知量,可取任可取任意实数意实数.令令x3=c1 , x4=c2 , 写成向量形式为：写成向量形式为：11221212312425/325/324/324/31001xccxccccxccx例例5解齐次线性方程组解齐次线性方程组 32222353132432143214321xxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵A施行初等行变换施行初等行变换 322122351311321Ar2-3r1r3-2r1 104501045011321 200001045011321r3-r2 r(A) = 2 , r(B) = 3 ,故方

14、程组无解故方程组无解.例例6设有线性方程组设有线性方程组 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx问问取何值时取何值时,此方程组此方程组(1)有唯一解有唯一解;(2)无解无解;(3)有无穷多解有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解并在有无穷多解时求其通解.解解 11131110111A 0111311111131 rr )1()2(030111 12rr 13)1(rr )3)(1()3(003011123 rr(1)当当0且且3时时,r(A)=r(B)=3,有唯一解有唯一解.(2)当当= 0时时,r(A)=1, r(B)=2,方程组无解方程组无解.(3)当当= -3时时,r(

15、A)=r(B)=23,有无穷多解有无穷多解.当当= -3时时 000063303211初等行变换初等行变换A 21rr 000021101101由此可得通解由此可得通解 33323121xxxxxx(x3为自由未知量为自由未知量) 000021103211)31(2r注注本例中矩阵本例中矩阵A是一个含参数的矩阵是一个含参数的矩阵,由于由于+ 1 , + 3 等因子等因子可以等于可以等于0 , 故不宜做诸如故不宜做诸如 ）（）、（、31113212 rrrr这样的这样的变换变换. 如果作了这种变换如果作了这种变换,则需对则需对+ 1= 0(或或+ 3 = 0)的情形另作讨论的情形另作讨论.令令 x3= c(c为任意实数为任意实数),得通解的向量形式为得通解的