一元二次根的分布情况小结

1、一元二次方程根的分布22二次方程ax bx c 0 的根从几何意义上来说就是抛物线y ax bx c 与 x 轴交点的22横坐标，所以研究方程ax bx c 0 的实根的情况，可从y ax bx c 的图象上进行研究若在 （, ） 内研究方程ax2 bx c 0的实根情况，只需考察函数y ax2 bx c与 x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y ax2 bx c的系数可判断出, x1x2, x1x2的符号，从而判断出实根的情况若在区间（m, n） 内研究二次方程ax2 bx c 0，则需由二次函数图象与区间关系来确定表一： （两根与0 的大小比较即根的正负情况）分布情况

2、两个负根即两根都小于0x10, x20两个正根即两根都大于0x10, x20一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 x10 x2大 致 图 象（ a0）得出的结论0b0 2af0 0f0b2a000f00大致 图 象（ a0）得出的结论0b02af0 00b0 2af0 0f00综合结论（不讨论a）0b02aaf0 0a0b2af000af00表二： （两根与k的大小比较）k即x1k , x2k两根都大于k 即x1k , x2k表三： （根在区间上的分布）m, n 内两根有且仅有一根在m,n 内 一根在 m, n 内， 另一根在p,q（图象有两种情况，只画了一种）内， m n p q根 在 区

3、 间 上 的 分 布 还 有 一 种 情 况 ： 两 根 分 别 在 区 间 m,n 外 ， 即 在 区 间 两 侧x1 m, x2 n ， （图形分别如下）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1 ）两根有且仅有一根在m, n 内有以下特殊情况：1 若 f m 0或 f n0， 则此时 f m f n 0 不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m, n 内， 从而可以求出参数的值。如方程mx2 m 2 x 2 0在区间1,3 上有一根，因为f 1 0，所222以 mx2m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一

4、根为2 ，由 1 2 3得 2 m 2 即为所mm3求；2 方程有且只有一根，且这个根在区间m, n 内，即0 ，此时由0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间3,0 内，求 m 的取值范围。 分析： 由 f 3 f 0 0即 14m 15 m 3 0得出3 m 15 ； 由 01423即 16m2 4 2m 60得出 m 1 或 m ，当 m 1 时，根 x 23,0 ，即2331满足题意；当m 时，根 x 33,0 ，故 m 不满足题意；综上分析，得22出 3 m 15或

5、 m 1141 ）两个根在实数k 的同一侧例 1已知方程4x2 2(m1)x(2m3） 0（m R） 有两个负根，求m的取值范围变式 1：已知方程2x21x0 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。变式 2：已知二次方程2 mx(2m1)x0 的两个根都小于1，求m 的取值范围2）两个根在实数k 的异侧例 2： 已知二次方程2m 1x2 2mx0 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范变式1：已知二次函数y m 2 x22mx 3m 3 与 x轴有两个交点，一个大于1 ，一个小于1，求实数m 的取值范围。变式2：求实数m的范围，使关于x的方程 x2 2（m 1）x 2m 6 0（）有两个实根

6、，且一个比大，一个比小（）有两个实根, ，且满足014 （）至少有一个正根变式3：如果二次函数y=mx2+（m 3）x+1 的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围.( 3)在区间(m, n) 有且只有一个实根例 3已知二次方程mx22m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1， 求实数 m 的取值范围。变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间( 1， 0)内，另一根在区间(1 ， 2)内，求 m 的范围 .( 4)在区间(m, n) 有两个实根例 4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，

7、1)内，求m 的范围 .变式 1：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与 3之间，求a 的取值范围变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1 ，求 m 的取值范围( 5)在区间m, n 有实根例 5 已知 a是实数， 函数 f (x) 2ax2 2x 3 a， 如果函数y f (x) 在区间1，1 上有零点，求a 的取值范围( 6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场 合下也可以适当运用例 6.1求函数y =x+1x2-3x+2 (1<x<2

8、)的值域例6.2已知抛物线y = 2x2-mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点)有公共点，求m 的取值范围例6.3设关于x的方程 4x 2x 1 b 0(bR) ，( 1)若方程有实数解，求实数b 的取值范围；( 2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。变式：已知方程m 22x (2m 1) 2x m 0在 (,1) 上有两个根，求m 的取值范围三巩固练习1 已知二次方程(3m 1)x2 (2m 3)x m 4 0有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围22 已知二次方程(2m 1)x2 2mx (m 1) 0有且只有

9、一个实根属于( 1， 2) ， 且 x 1, x 2都不是方程的根，求m 的取值范围3已知二次方程(m 1)x2 (3m 4)x (m 1) 0 的两个根都属于( 1， 1) ，求 m 的取值范围4若关于x 的方程x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a 的取值范围答案：二例题选讲1 )两个根在实数k 的同一侧例 1已知方程4x2 2( m 1)x (2m 3)0(mR) 有两个负根，求m 的取值范围解：依题意有4(m 1)2 4 4(2m 3) 0(m 1) 0m 11变式 1：已知方程2x22m 3 0m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数m的取值范围

10、。解：由2m 1 8m 0m1m0m 3 2 2或 m 3 2 2m00 m 3 2 2或 m3 2 2 即为所求的范围。变式2：已知二次方程mx2(2m 1)x m 2 0的两个根都小于1，求 m 的取值范围解一：二次方程两个根都小于1 ，其充要条件为2(2m 1)2 4m(m 2) 0(1)m m (2m 1) m 2 02m 112m(2)(3)1)即为8m 212m 1 0 ，它的解集是(2)即为m(2m 1)0 ，它的解集是(11) (0,) 2( 3)的解集是(,0) ( 1 ,) 4所以， m 的取值范围是(, 1) 37 ,) 24解二：二次方程mx2 (2m 1)xm 2 0

11、 有两个根的充要条件是0设两根为x1,x2，由于x1 ,x2都小于1，即x1 1 0,x2 1 0 ，其充要条件为：(x1 1) (x21) 0(x1 1)(x2 1) 0即x1 x2 2 0x1x2 (x1 x2 ) 1 0因此，方程两个根都小于1 的充要条件是：2(2m 1)2 4m(m 2) 02m 120m 2 2m 110mm解三：令y x 1 ，原方程转化为m(y 1)2 (2m 1)(y 1) m 2 0 ，即2my2 (4m 1)y 2m 1 0( *)1，所以方程(* )的两个实根都小于0，其充要条件是：04m 10m2m 10m同样可求出m 的取值范围(略)( 2)两个根在

12、实数k 的异侧例 2： 已知二次方程2m 1 x2 2mx m 1 0有一正根和一负根，求实数 m的取值范围。解： 由 2m 1 f 00 即 2m 1 m 10 ， 从而得 1 m 1 即为所求的范围。2变式 1：已知二次函数y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与 x轴有两个交点，一个大于1 ，一个小于1，求实数m 的取值范围。解：由 m 2 f 10 即 m 2 2m 102 m 1 即为所求的范围。变式2：求实数m的范围，使关于x的方程 x2 2(m 1)x 2m 6 0()有两个实根，且一个比大，一个比小()有两个实根, ，且满足014 ()至少有一个正根解：设 y f (x)

13、x2 2(m 1)x 2m 6依题意有f (2) 0，即 4 4(m 1) 2m 6 0，得m 1 依题意有f (0) 2m 6 075f (1) 4m 5 0 解得：m 54f (4) 10m 14 00 m1或 m 53 m 1 有两个正根，此时可得f (0) 0 ， 即 m 32(m 1) 0m 1 有一个正根，一个负根，此时可得2f (0) 0，得 m3 有一个正根，另一根为，此时可得6 2m 02(m 1) 0m 3综上所述，得m 1 变式3：如果二次函数y=mx2+（m 3）x+1 的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围.解：f（0）=1>0（1）当

14、m< 0 时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.0(2)当m>0 时，则3 m 解得0< m10m综上所述，m 的取值范围是m| m1 且 m 0.（ 3）在区间（m, n） 有且只有一个实根例 3已知二次方程mx22m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1， 求实数 m 的取值范围。解： 由题意有方程在区间0,1 上只有一个正根，则 f 0 f 104 3m 101m 1 即为所求范围。3变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间（ 1， 0）内，另一根在区间（1 ， 2）内，求 m 的范围 .解：条件说明

15、抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1 与 x轴的交点分别在区间（ 1， 0）和 （1， 2）内，则f(0)f( 1) f(1) f (2)2m24m6m10,20,0,012R,12,5612，m 的范围是12)4)在区间(m, n) 有两个实根例4：已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围 .f(0) 0,解： 据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x轴交点落在区间(0， 1) 内， 列不等式组f (1) 0,0 m112,12,2或 m 12,m 0.12 < m 1- 2 ,变式 1：已知方程 实数 m 的范围是(

16、 1 ,12 .22x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与 3之间，求a 的取值范围解：设 f(x) = 2x2 2(2a-1) x + a+2，则原方程两根都属于(-3, 3)的充要条件为 0 f(-3)>0 f(3)>02a-1-3< 2 <34(2a-1)2 8(a+2)0 18+6(2a-1)+a+2>0 18-6(2a-1)+a+2>02a-1-3< 2 <31413 <m3- 213+ 214或故 a 的取值范围是(- 1134 , 3- 421 26 m<11 .3+ 21264, 11 )变式2：已知方

17、程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1 ，求 m 的取值范围解：原方程即为(x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而 -1 在 (-3,1)上，则由题意，另一根满足-3<2-3m<3- 1 <m<5 .336)在区间m, n 有实根例 5 已知a是实数，函数 f (x) 2ax2 2x 3 a， 如果函数y f (x) 在区间1，1 上有零点，求a 的取值范围解析 1：函数 y f(x)在区间 -1， 1上有零点，即方程f(x) 2ax2 2x 3 a =0 在 -1

18、， 1上有解，a=0 时 ， 不 符 合 题 意 ，所 以a0方 , 程 f(x)=0 在 -1 ，1上 有 解 <=> f( 1) f(1)0或af ( 1) 0af (1) 0374 8a(3 a) 01 a 5 或 a 2 或 a 51 1. 1 a所以实数a 的取值范围是a 37 或 a 1.2解析2： a=0 时，不符合题意，所以a 0又 ,37 或a 1.2f (x) 2ax 2x 3 a =0 在 -1 ， 1 上 有 解 ，2(2x2 1)a 3 2x 在 -1 ，1 上 有 解1 2x112x1在 -1 ，1上有解，问题转化为求函数a32x21 (t 3)2 2

19、11，则2x 3 t ， t 1,5, y(t2t 22x2 1-1 ， 1上的值域；设 t=3-2x， x -1 ，3 2x6) ，设 g(t) t7t .g '(t)2t7t2 ， t1, 7) 时， g'(t) 0， 此函数 g(t)单调递减，t ( 7,5 时， g'(t)>0,此函数 g(t)单调递增， y 的取值范围是 7 3,1， f(x) 2ax2 2x 3 a=0 在 -1 ，1上有解 1 7 3,1 a 1 或 a 37 。a2( 6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用x+1例 6.1求

20、函数y = 2(1<x<2)的值域x -3x+2解：原函数即为y (x2-3x+2)=x+1,yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由题意，关于x 的方程 在 (1,2)上有实根易知 y<0, 令 f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程 在 (1,2)上有实 0根当且仅当1<3y+1 <2 ，解得 y -5-2 6 . 原函数的值域为(- , -5-2 6 .例 6.2已知抛物线y = 2x2-mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点)有公共点，求

21、m 的取值范围解：以 (0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：x = 2x2-mx+m 即2x2-(m+1)x+m=0, 由题意，方程 在区间 (0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当 0m+1m2-6m+1 0f(0) f ·(1)<0 或故 m 的取值范围为4m<0 或 -1<m<3m3 -2 2 且m0 f(0)>0m>0f(1)>0(- , 0) (0, 3-2 2 .例6.3设关于x的方程 4x 2x 1 b 0(bR) ，1)若方程有实数解，求实数b 的取值范围；2

22、)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。分析：可用换元法，设2x t，原方程化为二次方程t2 2t b 0，但要注意t 0，故原方程有解并不等价于方程t2 2t b 0有解， 而等价于方程t2 2t b 0在 (0,) 内有解 另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于 x的方程 a f (x) 有解，则a f (x)的值域解： ( 1 )原方程为b 4x 2x 1，x x1 x 2x x 24x2x1(2x)22 2x(2x1)211，当 b 1,)时方程有实数解；( 2) 当 b1 时， 2x 1 ， 方程有唯一解x 0； 当 b 1时，

23、(2x 1)2 1 b 2x 11 b .2x0,11 b 0, 2x 11 b 的解为 x log2(11 b)；令 11 b 01 b 11 b 0,当 1 b 0时 ,2x 11 b 的解为 x log2(11 b)；综合 、 ，得1)当 1 b0时原方程有两解：x log2(11 b)；2)当b 0或 b 1 时，原方程有唯一解x log 2(11 b)；3)当b 1 时，原方程无解。变式：已知方程m 22x (2m 1) 2x m 0在 (,1) 上有两个根，求m 的取值范围解：令 t 2x，当x (,1) 时， t (0, 2) t2x是一一映射的函数，所以x在(,1) 上有两个值，则 t在 (0, 2) 上有两个对应mt2(2m1)t m 0在(0， 2)上有两个不等实根，其充要条件为(2m 1)22 m0m(9m 2)2m 1 02 4m(1)(2)(3)2m(4)1)得：2)得：140，3)得：0或4)得：11 ，即421m 的取值范围为( , ) 9421 已知二次方程(3m 1)x2 (2m 3)x m 40 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m取值范围解：易知x1 = -1 是方程的一个根，则另一根为x2 =m-4m-4 ，所以原方程有且仅有一个实3m-