斐波那契数列通项公式的推导方法

1、利用转化思想利用转化思想求斐波那契数列的通项公式求斐波那契数列的通项公式象山县第三中学 谢刚伟一、与斐波那契有关的事实 1、斐波那契和、斐波那契和“兔子问题兔子问题” 意大利数学家意大利数学家(约约1170-约约1250年年)，12、13世世纪欧洲数学界的代表人纪欧洲数学界的代表人物，生于比萨。他的书物，生于比萨。他的书保存下来的共有保存下来的共有5种。种。最重要的是最重要的是算盘书算盘书（1202年完成，年完成，1228年年修订），其中最耐人寻味修订），其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国的是，这本书出现了中国孙子算经孙子算经中的不定方中的不定方程解法。另一个兔子问程解法。另一个兔子问题也引

2、起了后人的极大题也引起了后人的极大兴趣兴趣 。这数列与后来的。这数列与后来的优选法有密切关系。优选法有密切关系。兔子问题兔子问题： 假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？这就产生了斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，341，2、介绍、介绍斐波那契斐波那契数列的应用数列的应用 和植物生长的有趣现象和植物生长的有趣现象 数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新技，然后休息一年再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝那么第1年它只有主干1枝，第

3、2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝等等. 每年的分枝数顺次组成的数列符合斐波那契数列（除第一项外） 植物生长的螺旋现象等 它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用。3、概括斐波那契数列的、概括斐波那契数列的 特征，写出递推关系特征，写出递推关系其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和用递推公式表达就是： aaaaannn122111, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 4 4、斐波那契数列、斐波那契数列 通项公式的发现与证明通项公式的发现与证明 1680年意大利法国学者卡西尼发现该数列的某个重要关系式。1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表

4、达式19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式。1963年美国还创刊斐波那契季刊来专门研究斐波那契数列。211( 1)nnnnaaa11515225nnna二、设计问题，发现公式的推导方法 问题一问题一 已知数列 满足 求数列 的通项公式。nana11132(2)nnanaa问题二问题二 已知数列 满足数列 满足： = + 1； （1）求证：数列 为等比数列；（2）求数列 的通项公式。nana11121(2)nnanaanbnbnanb问题一的解答2a=31+2=5，3a=35+2=17，4a=317+2=53，无法继续下去。思路一： 构造法 概括出这类数列的一般特征和解法：概括出这类数列的一般特征和解法：思路一：用计算、猜想、证明的方法(略)三、斐波那契数列通项公式的推导方法 解法推广：解法推广：四、四、