一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)

1、专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了 “椭圆的标准方程”后，对于AA + P8 = 2(7,我们可以进一步研究：DAPA PB = 2a,PAPB = 2ci,=2a，各自的轨迹方程如何 PB引例：已知点M(x,y)与两定点0(0,0),A(3,0)的距离之比为g,那么点M的坐标应满足什么关系(必修2 P103探究拓展)探究已知动点M与两定点A、4的距离之比为4>0),那么点M的轨迹是什么背景展示阿波罗尼斯是古希腊着名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期 数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一

2、类题1: (1994.全国卷)已知直角坐标平面上点0(2,0)和圆。:丁+:1, 动点."到圆。的切线长与U©的比等于常数4 ( 4>0).求动点"的轨迹 方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能 力.解：如图，设J介切圆于A；则动点M组成的集合是P=川刷=入欣,式中常数入>0.2-l.因为圆的半径I朗=1,所以I刷=M0 2- 0N = | M0 设点."的坐标为(x, y),则 Jx? +)3 =/tJ(x_2y +y整理得（入2 1），+/）一4入2户（+4入2）=0经检验，

3、坐标适合这个方程的点都属于集合2故这个方程为所求的轨迹方程.一一8分当人二1时，方程化为产工，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（2，0）, 442； 21 1 371 2当人H1时，方程化为（x一）知三 一、它表示圆, 7-1"JD 2， + 3/ 212分该圆圆心的坐标为（£, 0）,半径为I:4 2-1|2 2-1|类题2：（2008,江苏）满足条件/伊？ 2, AC?也回的? 45c的面积的最大值是 类题3：（2002,全国）已知点尸到两定点M（1,O）、N（1,O）距离的比为血，点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程解：设尸的坐标为（x,y）.由题意

4、有篇即J(x+1)2 +).="+).,整理得 r +y2 -6工 + 1 =0因为点N到PM的距离为1, IMNI=2所以尸MN=3O。，直线尸M的斜率为±半，直线的方程为），= ±丹（工+ 1） 3将了 = ± = （X+l）代入 *2 +y2 6x+l = 0 整理得 42 -4工+1=0解得x = 2 + VI, x = 2-V3则点P坐标为（2 +J§+J§）或（2 JI1 +JJ）（2 +J二一1-0）或（2 #/一、/，），直线尸N的方程为y = x 1或），=x + 1.类题4： （2006,四川）已知两定点4（-2,

5、0）, 8（1,0）,如果动点P满足条件|肘=2|尸身,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于类题5：（2011,浙江）尺。是两个定点，点M为平面内的动点，且卜3 =几（几0且/1r1）, 阿。|点切的轨迹围成的平面区域的面积为S,设S = /（/l）,试判断函数的单调性.引例：（2011,北京）曲线C是平面内与两个定点”（一1,0）和乙。,0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称； 若点p在曲线c上，则耳尸尼的面积不大于;小其中正确命题的序号为背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西 尼卵形线（Cass

6、ini Oval）,乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文 学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间 有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两 个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探 测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是1675年他在研究土星 及其卫星的运行规律时发现的。探究：设两定点为小玛，且旧闾=2,动点/满足卢用|户鸟|=/320且为定值）, 取直线"F?作为x轴，石用的垂直平分线为），轴建立平面直角坐标系，设尸（x,y）,则

7、y（x+）2+y2（x-）2+y2 =a2整理得：(x2 + y2)2- 2(/ - y2) = a? -1解得：y2 = (-X2 -1) + V4a2 +a2 (-ax2 1+6/ )于是曲线C的方程可化为丁2=(_11) +14Y+42 (1一工21+4 )对于常数420,可讨论如下六种情况：(1)当4=0时，图像变为两个点片(一1,0),尼(1,0)；(2)当0。1时，图像分为两支封闭曲线，随着。的减小而分别向点月，入收缩；(3)当。=1时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；(4)当1。应时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰;(5)当，/二应时，与前种情况一样，但曲

8、线中部变平；(6)当时，曲线中部凸起。北京高考题的背景即为本研究的4-6里研究的结论；学有余力的同学可作进一步思考：思考1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么 思考2：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么思考3：到定点的距离与到定直线的距离的k倍之和为定值的定点轨迹是什么 思考4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么 思考5：到定点的距寓与到定直线的距洞之积为定值的定点轨迹是什么在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1. （2009湖南）在平面直角坐标系X0中，点尸到

9、点尸（3,0）的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为从当尸点运动时，"恒等于点的横坐标与之和（【）求点尸的轨迹C；（II）设过点尸的直线/与轨迹C相交于必，*两点，求线段J介长度的最大值。解（I ）设点 P 的坐标为（x, y）,则”=4j（x-3）2y2+3| x-2|由题设当x>2时，由得J（x - 3）2 + y2 =6 gx, 22化简得+ = 1.36 27当x < 2时 由得J（3 + x）2 +=3 + x,化简得V=i2x.22故点P的轨迹C是椭圆G：| +，= l在直线x=2的右侧 部分与抛物线g : V = I2x在直线x=2的左侧部分（包括 它与

10、直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（II）如图2所示，易知直线x=2与G，C?的交点都是A （2, 2瓜）,B （2, 一26）,直线AF, BF的斜率分别为 kAF - -2 y/b , kBF = 25/6 .当点P在G上时，由知|PF| = 6，x.2当点P在上时，由知|PF| = 3 + X若直线1的斜率k存在，则直线1的方程为y = k（x 3）（i）当kWA.，或即kW-2"时，直线I与轨迹C的两个交点M（，片）,N (匕，上)都在C1上，此时由知 22I MF I = 6 - x. I NF | = 6 - - x Oo22 2从而 I MN | = I MF |

11、 + I NF | = (6 - - X. ) + (6 - - x ) =12 - - ( x+x ) 22 22y = k(x-3)由，X2 ),2得(3 + 4)/24父x + 36108 = 0则%，川是这个方程的两根,F- = 1 36 2724"2112k2所以+ x =_7* I MN | =12 - - (x,+x ) =12 - -一?1 2 3 + 46223 + 4公 因为当攵K 2#,或k > 2而时欢2 > 24, 卜必义| = 12 r= 12 丁2_ =刊2.。当且仅当攵=±2#时，等号成立。1 13 + 4父1 : 11F+4（2

12、）当k,、E < k < ka， 2« < k <2般时,直线L与轨迹C的两个交点 ”（演,弘）,"（,为）分别在cG上，不妨设点M在I上，点外上，则知,MF = 6-xlyNf = 3+x2 2设直线AF与椭圆G的另一交点为E（Xo，Kj）,则%）<X）,x2 < 2.MF = 6-xi<6-x0 = EFNF = 3 + x2<3 + 2 = AF 22所以|MZV|=|MF|+W尸|v|E/|+|A户| = |AE|°而点A, E都在G上，且k,、E=-2瓜布（1）知/回=与，所以Mv|v当。若直线i的斜率不存

13、在，则%=/=3,此时卜团” =12-：（X+占）=9詈 综上所述，线段MN长度的最大值为呼2. （2011,湖南文科高考试题）已知平面内一动点尸到点尸（1,0）的距离与点P到y轴的 距离的差等于1.（I）求动点P的轨迹。的方程；（H）过点/作两条斜率存在且互相垂直的直线人乙，设4与轨迹C相交于点A,8,卜与 轨迹C相交于点DE,求丽,丽的最小值.21.解析：（I）设动点尸的坐标为（x,y）,由题意为 yl（Xiy +>,2-1 X 1= 1.化简得 y2=2x + 2lxl,当 x 2 01 忖,），2 = 4同当x < 01 时，y=0.、所以动点P的轨迹C的方程为，y2 = 4x* > 0）和y=0 （x < 0）.（II）由题意知，直线乙的斜率存在且不为0,设为人 则乙的方程为' =打工-1）.由八- 1）,得攵2/一（2攵2 + 4）x +2 = 0），-=4x设A（xp >'j）, 8（.,必）,则X, W是上述方程的两个实根，于是c 41% +x2 =2 + p-,x,x2 =1.因为所以6的斜率为一设。（与当），8（%y4），则同理可得.+工4 =2