【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第10单元 10.3 二项式定理课件 文 新人教A版

1、(能用计数原理证明二项式定理能用计数原理证明二项式定理/会用二项式定理解决与二项展开式会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题有关的简单问题)10.3 10.3 二项式定理二项式定理1二项式定理二项式定理 (ab)n (nN*)这这个公式所个公式所 表示的定表示的定 理叫二项式定理，右边的多项式叫理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的的 2二项式系数二项式系数：二二项展开式中有项展开式中有n1项，各项的系数项，各项的系数 (r0,1，n) 叫叫 系数系数3通项通项： anrbr叫叫二项展开式的二项展开式的 ，用，用Tr1表示，即通项表示，即通项Tr1 anrbr.二项展开式二项展开式二

2、项式二项式通项通项4二项式系数的性质二项式系数的性质 (1)对对称性与首末两端称性与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数的两个二项式系数 (2)增减性与最大值增减性与最大值 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定，决定，相等相等当当k k 时，二项式系数逐渐时，二项式系数逐渐 .由对称性知它的后半由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得部分是逐渐减小的，且在中间取得 ；当当n是偶数时，中间一项是偶数时，中间一项 取得最大值；当取得最大值；当n是奇数时，是奇数时，中间两项中间两项 取得最大值取得最大值(3)各二项式系数和：各二项式系数和： 增大增大最大值最大值1若若(x1)4a

3、0a1xa2x2a3x3a4x4，则，则a0a2a4的值为的值为()A9 B8 C7 D6解析：解析：(x1)41 x4a0a1xa2x2a3x3a4x4a01，a2 6，a41，a0a2a48.答案：答案：B2若若( )n的展开式中各项系数之和为的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为，则展开式的常数项为()A540 B162 C162 D540解析：解析：由由已知条件已知条件(31)n64，则，则n6，Tr1 由由3r0得得r3，则展开式中的常数项为，则展开式中的常数项为 540.答案：答案：A3在在(x )2 006的二项展开式中，含的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为的奇次幂

4、的项之和为S，当当x 时，时，S等于等于()A23 008 B23 008 C23 009 D23 009解析：解析：(x )2 006x2 006 x2 005( ) x2 004( )2( )2 006，由已知条件由已知条件S22 00521 00323 008.答案：答案：B4(2010上海春上海春)在在 的二项展开式中，常数项是的二项展开式中，常数项是_解析解析：Tr1 ，由题意知，由题意知123r0，r4，故常数项为，故常数项为T560.答案答案：60对于二项展开式对于二项展开式(ab)n 中，中， 叫做通项，要注意此项是展开式中的第叫做通项，要注意此项是展开式中的第r1项，同时要注

5、意此项，同时要注意此项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题关问题【例【例1】若若(x1)nxnax3bx21(nN)且且a b3 1，那么那么n_.解析：解析：a ，b 又又a b3 1，所以所以 ， 3，解得，解得n11.答案：答案：11变式变式1. 在在二项式二项式(13x)n的展开式中，若所有项的系数之和等于的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么那么n_，这个展开式中含，这个展开式中含x2项的系数是项的系数是_解析：解析：本题考查二项式定理知识令本题考查二项式定理知识令x1得

6、二项展开式各项系数和，得二项展开式各项系数和，即即(13)n64n6，因为，因为Tr1Cr6(3x)r，令令r2得其系数为得其系数为 135.答案：答案：6135利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题 【例【例2】若若多项式多项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则则a9等于等于()A.9 B10 C9 D10解析：解析：x2x10(x1)12(x1)11012(x1) (x1)21 (x1)10

7、.a9 10. 答案：答案：D变式变式2. 若若(2x )4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是的值是()A1 B1 C0 D2解析：解析：令令x1得得a0a1a2a3a4(2 )4，令，令x1得得a0a1a2a3a4( 2)4，则则(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2 )4( 2)41. 答案：答案：A二项式定理内容是排列组合知识的延续，可通过项数、次数、系数确定展二项式定理内容是排列组合知识的延续，可通过项数、次数、系数确定展开式，而杨辉三角充分展示了二项式系数的性质和规律，而对其性质及结开式，而杨辉

8、三角充分展示了二项式系数的性质和规律，而对其性质及结论的证明和推导可利用排列组合的知识及数学归纳法等进行论证论的证明和推导可利用排列组合的知识及数学归纳法等进行论证【例【例3】在在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律；试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第在数表中试求第n行行(含第含第n行行)之前所有数之和；之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3

9、 4 5，并证明你的结论，并证明你的结论第第0行行1第第1行行11第第2行行121第第3行行1331第第4行行14641第第5行行15101051第第6行行1615201561解答：解答：(1)(2) ，则则122n2n11.(3)假设在第假设在第n行中有三个连续的数它们的比为行中有三个连续的数它们的比为3 4 5，即即 由由 ，得，得7r3n3，由由 ，得，得9r4n5，解解联立方程组得联立方程组得因此可知：第因此可知：第62行的第行的第27,28,29个数它们的比是个数它们的比是3 4 5.变式变式3.已已知知( )n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的展开式中第五项的系数与第

10、三项的系数的比是的比是10 1，(1)证明：展开式中没有常数项；证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中含求展开式中含 的项；的项；(3)求展开式中所有的有理项；求展开式中所有的有理项；(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项解答：解答：由由题意第五项系数为题意第五项系数为 ，第三项的系数为，第三项的系数为 ，则则 ，解得，解得n8(n3舍去舍去)通项公式通项公式Tr1 (1)证明：若证明：若Tr1为常数项，当且仅当为常数项，当且仅当 0，即，即5r8，且，且rZ，这是不可能的，所以展开式中没有常数项这是不可能的，所以展开式中没有常数项(2)

11、展展开式中含开式中含 的项需的项需 ，则则r1，故展开式中含，故展开式中含 的项为的项为T216 ,(3)由由Tr1 ，若，若Tr1为有理项，当且仅当为有理项，当且仅当 为整数，为整数，而而0r8，故，故r0,2,4,6,8，即展开式的有理项有，即展开式的有理项有5项，它们是：项，它们是：T1x4，T3112x1，T51 120 x6，T71 792x11，T9256x16.(4)设设展开式中的第展开式中的第r项、第项、第r1项、第项、第r2项的系数绝对值分别为项的系数绝对值分别为 ，若第，若第r1项的系数绝对值最大，项的系数绝对值最大，则则 解得解得5r6，第第6项和第项和第7项的系数的绝对

12、值相等且最大，而第项的系数的绝对值相等且最大，而第6项的系数为负，项的系数为负，第第7项系数为正项系数为正系数最大的项为系数最大的项为T7 .由由n8知第知第5项二项式系数最大，此时项二项式系数最大，此时T5 . 【方法规律】【方法规律】1利用二项式定理可解决含组合数的等式和不等式的证明，还可解决整除及近似利用二项式定理可解决含组合数的等式和不等式的证明，还可解决整除及近似计算等问题计算等问题2二项式定理主要是展开式和通项的应用，可利用展开式证明等式和不等式等，二项式定理主要是展开式和通项的应用，可利用展开式证明等式和不等式等，可利用通项公式求特定的项可利用通项公式求特定的项3解决二项式系数和

13、系数等问题要注意使用排列、组合和数列等相关方法解决二项式系数和系数等问题要注意使用排列、组合和数列等相关方法4二项式定理的应用是高考的必考内容，一般只在客观题中考查一些简单问题，二项式定理的应用是高考的必考内容，一般只在客观题中考查一些简单问题，建议复习时一定立足于基本建议复习时一定立足于基本5杨辉三角不仅可反映二项式系数的所有性质，还可反映出非常多的数字规律，杨辉三角不仅可反映二项式系数的所有性质，还可反映出非常多的数字规律，为发现问题和解决问题提供了优良的操作平台，读者可尽情地发现、挖掘和探为发现问题和解决问题提供了优良的操作平台，读者可尽情地发现、挖掘和探究究.将杨辉三角中的每一个数将杨

14、辉三角中的每一个数 ，都换成分数，都换成分数 就得到一个如下就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出 ，其中，其中x_.令令an ，则，则an .【答题模板】【答题模板】解析：解析：本本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质，通过题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质，通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下脚下”两两数的和，故此时数的和，故此时xr1，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即：的倒数第三项的和，即：an ，根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ，则由每一行，则由每一行中的任一数都等于其中的任一数都等于其“脚下脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为 ，故故an 。答案：答案：r1 【分析点评】【分析点评】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册1. 高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，