（整理版）第2讲两条直线的位置关系

1、第2讲 两条直线的位置关系知识梳理1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)假设两条不重合的直线的斜率都不存在,那么这两条直线平行;假设一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,那么这两条直线垂直.直线, 假设,与相交,那么 ; 假设,那么 ;假设/,那么且; 假设与重合,那么且两点,那么 设点，直线点到直线的距离为设直线那么与间的距离 与直线平行的直线系方程为; 与直线垂直的直线系方程为; 过两直线的交点的直线系方程为重难点突破重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离.难点:判断两条直线位置关系时的分

2、类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程1在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;要考虑两条直线平行时不能重合;问题1:直线，m为何值时，与平行点拨：当m=0时，当时，的斜率为，的斜率为由得或，时与重合，时2在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量. 问题2:点p2，1求过p点与原点距离最大的直线的方程点拨: 过p点与原点距离最大的直线为垂直于直线的直线,直线的斜率

3、为-2, 直线的方程为,即3在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的的系数对应相等问题2：求直线与的距离点拨：将的方程化为，那么两直线的距离为(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: 将直线方程化为点斜式化为过两条直线的交点的直线系方程特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点从“恒成立入手，将动直线方程看作对参数恒成立。问题3:求证:直线恒过某定点，并求该定点的坐标.将直线方程化为假设直线过定点，那么上式对恒成立，该直线必过定点热点考点题型探析考点1:两直线的平行与垂直关系题型: 判断两条直线平行与垂直

4、例1 直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 问 m为何值时 1与相交2与平行3与垂直;解析当时； ， 与垂直当时由 ，而无解综上所述1时与相交2与平行3时与垂直【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识例2 三边的方程为：，；1判断三角形的形状；2当边上的高为1时，求的值。【解题思路】1三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;(2)边上的高为1,即点到直线的距离为1，由此可得关于m的方程.解析： 1直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以直线与互相垂直， 因此为直角三角形 2解方程

5、组，得，即由点到直线的距离公式得 ， 当时，即，解得或【名师指引】1一般地，假设两条直线的方向斜率、倾斜角、方向向量确定，那么两条直线的夹角确定2在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线【新题导练】，直线，那么“是“直线的a充分而不必要条件 b必要而不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件解析ba(-2，m)和b(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，那么m的值为 a0 b-8 c2 d.10解析设所求的直线，那么那么m=-8，选 b3. “m=是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直的( )解析当m=或-2时，两条直线垂直，

6、所以m=是两条直线垂直的充分不必要条件，选 b点评还要考虑斜率不存在的情形 4. (山东省枣庄市高三第一次调研考试) 直线l的倾斜角为，直线l1经过点垂直，直线l2：2,4,6等于 a4b2c0d2解析 b ,又考点2 点到直线的距离题型:利用两个距离公式解决有关问题例3 直线及点1证明直线过某定点，并求该定点的坐标2当点到直线的距离最大时，求直线的方程【解题思路】别离参数求定点坐标;寻找到直线的距离最大时，直线满足的条件解析：1将直线的方程化为：，无论如何变化，该直线系都恒过直线与直线的交点，由得，直线过定点2当时点到直线的距离最大，此时直线的斜率为-5，直线的方程为即【名师指引】1斜率不定

7、的动直线，都应考虑是否过定点2处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法例4 三条直线 ，假设与的距离是 1求a的值 2能否找到一点p使得p同时满足以下三个条件p是第一象限的点；p点到的距离是p点到的距离的p点到的距离与p点到的距离的之比是；假设能，求p点坐标；假设不能，说明理由。【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有解的问题解析1(2)设同时满足三个条件由得：设在上那么有-1由得：-2由得 -3解由123联立的混合组得 所以 【名师指引】1在条件比拟多时，思路要理顺；2解混合组时，一般是先解方程，再验证不等式成立 【新题导练】6. 点到直线的距离的最小值等

8、于 解析7. 与直线的距离为的直线方程为 解析 或8. 两平行直线，分别过点p-1，3，q2，-1它们分别绕p，q旋转，但始终保持平行，那么之，间的距离的取值范围是 a b.0，5 c. d.解析最大值为p，q的距离，即5，选c距离相等的直线的方程解析 直线过线段ab的中点或平行于直线ab，故方程为或考点3 直线系题型1:运用直线系求直线方程例5 求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程和平行的直线方程。 【解题思路】可直接求交点，也可用直线系求解垂直的直线方程为 设与直线平行的直线方程为联立方程得与的交点1，-1 代入求得 m=-5，n=3 由条件分别求得和化简得和【名师指引】1使用直线系方

9、程可以回避解方程组，从而到达减少运算量的目的2注意直线系不表示直线，这是一个容易丢解的地方题型2:动直线过定点问题例6 圆，直线证明不取何值，直线过定点 证明直线恒与圆c相交解析(1)直线化为：故直线是经过和交点3，1的直线系，故过定点3，12因为 所以3,1为圆内的点。故直线恒与圆c相交【名师指引】在处理动直线过定点问题时，别离参数，转化为过两条定直线的交点的直线系是简单易行的方法【新题导练】10、方程所确定的直线必经过点a2，2 b.-2，2 c.-6，2 d.3，-6解析代入验证，选a11.为m实数，直线：2m+1x+1-my-4m+5=0， p7，0，求点p到直线的距离d的取值范围。解

10、析 直线过定点，d的最大值为点p、q的距离，因点p、q的距离为，故d的取值范围是经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程解析：设直线方程为,化简得:直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为,解得:或代入并化简得直线的方程为或抢分频道根底稳固训练1、假设过点和的直线与直线平行,那么的值为a6 b c2 d 解析，2、三条直线和围成一个直角三角形，那么的值是a 或 b-1或 c0或-1或 d0或或解析 c直线垂直时，但时后两条直线重合，又时后两条直线垂直，应选c3、假设直线l：ykx与直线2x3y60交点位于第一象限，那么直线l的倾斜角的取值范围是 a，)

11、 b(，) c(，) d，)解析b直线2x3y60与x轴、y轴交于0，2、3，0将两点坐标代入可得答案4、点px，y在直线4x + 3y = 0上，且满足14xy7，那么点p到坐标原点距离的取值范围是 a. 0，5b. 0，10c. 5，10d. 5，15解：b. 由得，点p到坐标原点距离的取值范围是0，105、设 ,假设仅有两个元素,那么实数的取值范围是 解析, 数形结合，注意到直线的斜率为1，当时直线与不可能有两个交点 6、求经过直线和的交点，且与原点距离为的直线方程解析解方程组得交点坐标为-1，-1，设直线方程为即，解得所求直线方程为综合提高训练7、直线与轴轴正半轴所围成的四边形有外接圆

12、，那么 ，的取值范围是 解析由题意知直线与坐标轴交于点和，直线与线段不含端点相交，画图易得的取值范围是8、两直线,求分别满足以下条件的、的值 1直线过点，并且直线与直线垂直； 2直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等解析解：1 即 又点在上， 由解得： 2且的斜率为. 的斜率也存在，即，.故和的方程可分别表示为：原点到和的距离相等. ，解得：或.因此或. 9、华南师大附中 度高三综合测试三如下图，将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花园ampn，要求b在am上，d在an上，且对角线mn过c点，|ab|=3米，|ad|=2米. 要使矩形ampn的面积大于32平方米，那么am的长应在什么范

13、围内？ 当am、an的长度是多少时，矩形ampn的面积最小？并求出最小面积. 以am、an分别为x、y轴建立直角坐标系，解析 以a为原点，ab所在直线为x轴建立坐标系，那么由c在直线mn上得 am的长取值范围是3，4由知，即当且仅当即时取等号所以时，矩形ampn的面积取得最小值2410.点a1,4，b6,2，试问在直线x-3y+3=0上是否存在点c，使得三角形abc的面积等于14？假设存在，求出c点坐标；假设不存在，说明理由。解析ab=，直线ab的方程为，即，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点c，使得三角形abc的面积等于14，设c的坐标为，那么一方面有m-3n+3=0，另一方面点c到直线ab的距离为，由于三角形abc的面积等于14，那么，即或.联立解得，；联立解得，.综上，在直线x-3y+3=0上存在点c或，使得三角形abc的面积等于14.参考例题： 1. 将一块直角三角板角置于直角坐标系中，点是三角板内一点，现因三角板中局部受损坏，要把损坏的局部锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成，问如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积最大？分析：用点斜