2019DSP第十一讲ppt课件

1、3.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性3.3频域抽样理论频域抽样理论-抽样抽样Z变换变换3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 为什么要定义圆周对称？为什么要定义圆周对称？ DFT对称性的特点？对称性的特点？ 频域抽样提出的背景？频域抽样提出的背景？与DTFT对称性的区别DTFT以(-,+)为变换空间，所以在讨论对称性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间；DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在区间(0,N-1)上定义有限长序列的共轭对称序列和反对称序列；DFT以(0,N-1)为变换空间，所

2、以在讨论对称性质中，将会得出其对称中心为n=N/2。1.有限长序列的共轭对称分量有限长序列的共轭对称分量与共轭反对称分量与共轭反对称分量 有限长序列的共轭对称分量与共轭反对称分有限长序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为：量分别定义为：)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。( )() 01( )()

3、 01epepopopxnxNnnNxnxNnnN *1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nxNnxnx nxNn 上式已给出有限长共轭序列对称共轭反对称序列的对称中心为n=N/2，任意有限长序列其圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量可简写为：()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn : ( )( ) ( ) DFT ( )( )( )( )1 ( ) ( )( )21DFT( )( )()( )21 ( ) ( )( )21DFT ( )( )()( )2riepoprrepiiopx nx njx nx nX kXkX

4、kx nx nx nx nX kXNkXkx nx nx nx nX kXNkXk若有则有：证明：2.DFT的共轭对称性的共轭对称性圆周共轭对称分量。的该序列复数序列实部的DFTDFT *圆周共轭反对称分量。的该序列的复数序列虚部乘以DFTDFTj*)(Im)()(21 )(DFT)()(21)( )(Re)()(21)(DFT)()(21)( :)()()()(DFT:)( )()( :kXjkXkXnxnNxnxnxkXkXkXnxnNxnxnxkjXkXkXnxnxnxnxopopepepIRopep证明则有若有参见式参见式3.2.12） 实、纯虚序列的对称特性实、纯虚序列的对称特性 当

5、x(n)为实序列时，那么 X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：)()()(*kRkNXkXNNepep 当x(n)为纯虚序列时，那么 X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN (1) X(k)共轭对称，即X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1 (2) 如果x(n)是实偶对称序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)实偶对称，即X(k)=X(Nk) (3) 如果是奇对称序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)纯虚奇对称，即 X(k)=X(Nk) 实序列的对称特性小结

6、实序列的对称特性小结 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 例3.2.2 假设 x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，设想用一次N点DFT运算来计算它们

7、各自的DFT: 利用两序列构成一个复序列12( )( )( )x nx njx n12( ) ( )( )( )X kDFT x nDFT x njx n则12 ( )( )DFT x nDFT jx n( )( )epopXkXk 共轭对称性的应用共轭对称性的应用解：解：由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT：epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXk*ep11( )DFT( )( )()2Xkx nX kXNk*op21( )DFTj( )( )()2Xkx nX kXNk)()(

8、21)()(*11kNXkXnxDFTkX*221( )DFT( )j ( )()2Xkx nX kXNk 3.3 频率域采样 频域采样定理讨论： 时域采样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。 频域采样: 对一有限序列(时间有限序列)进行N点DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT是频域N点抽样的结果。 能否由频域抽样X(k)恢复序列x(n) 能否由频域抽样X(k)恢复x(z)或 若能恢复其条件是什么？如何推导频域内插恢复公式?()jX e回忆时域内插恢复公式回忆时域内插恢复公式!X(

9、n)为为M点的点的有限长序列。有限长序列。IDFTX(k)=XN(n)FTDTFTDFS讨论之讨论之前先明前先明确一些确一些概念概念x(n) ( )( )( )NNNxnxn Rn ( )= ( )( )NX kX k Rk2 ( )()( ) jnkNknNX kX ex n Wk ( )( )() )(kNnkNz WnX kX zx n WkX zN 对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：( )z( )( )nnx nX zx n z任意绝对可和的非周期序列，其 变换： 一一.由频域抽样恢复原序列由频域抽样恢复原序列( )=IDFS ( )NxnX k则：( )( )Nxnx n我们的

10、目的是分析：与的关系( )= ( )( ) ( )( )( )NNNNX kX k Rkxnxn Rn如令：频域抽样时域频域抽样时域以以N点为周期点为周期进行延拓的主进行延拓的主值区间值区间原序列原序列 ( )( )Nxnx n问题：是否等于，二者之间是什么关系？( )( )NxnX kIDFS令为的：101( )( )( )NnkNNkxnIDFS X kX k WN101( )NmknkNNkmx m WWN 1()01( )Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r为任意整数X(z)在单位圆上在单位圆上的的N点等间隔采点等间隔采样所得到

11、的周期样所得到的周期序列序列X(k)的的IDFS是原序列是原序列x(n)以以N为周期为周期进行延拓的周期进行延拓的周期序列。序列。的关系与)()(nxnxN x(n)为无限长序列混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M 由于时域抽样造成频域周期延拓，同样，频域抽样造成时域周期延拓。1 NM），不失真2NM），混叠失真分两种情况讨论周期延拓是否造成混叠失真：分两种情况讨论周期延拓是否造成混叠失真：若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。NM( )( )( )NxnIDFT X kx n( )X k( )x n1101( )1N N

12、kkNzX kNW z( )Mx nNNM对点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz)X(e和X(Z)内插恢 复X(k)由j二、1.由由X(k)恢复恢复X(Z)那么：11011( )( )1NNkkNzX zX kNWz内插公式：111( )1NkkNzzNWz内插函数：10( )( )( )NkkX zX kz则内插公式简化为： 内插公式与内插函数内插公式与内插函数2()( )()jjkkz

13、eezkN ()jX e用频域采样用频域采样 恢复恢复 的内插公式的内插公式( )X k10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN 内插函数：2.记住此公式，第七记住此公式，第七章数字滤波器的设章数字滤波器的设计中，我们将会看计中，我们将会看到，该公式提供了到，该公式提供了一种有用的滤波器一种有用的滤波器结构和滤波器设计结构和滤波器设计途径。途径。102 ()( ) ()NjkX eX kkN 内插恢复过程描述：212 ()20kikNkNiikN 【例3.3.1】 长度为26的三角形序列x(n)如图3.3.1(a)所示。编写MATL

14、AB程序验证频域采样理论。解 解题思想： 先计算x(n)的32点DFT，得到其频谱函数X(ej)在频率区间0，2 上等间隔32点采样X32(k)，再对X32(k)隔点抽取，得到X(ej)在频率区间0，2 上等间隔16点采样X16(k)。最后分别对X16(k)和X32(k)求IDFT, 得到：绘制x16(n)和x32(n)波形图验证频域采样理论。161616( )IDFT( )xnXk323232( )IDFT( )xnXkMATLAB求解程序ep331.m如下：%数字信号处理(第三版）第3章例3.3.1程序ep331.% 频域采样理论验证M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2;

15、 xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa, xb; %产生M长三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); %512点FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32点FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32点IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16点IFFTX16(k)得到x16(n)以下绘图部分省略。图3.3.1 频域采样定理验证 3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 3.4.2 用用DFT进行信号的谱分析进行信号的谱分析

16、3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 10( )( )( )( )()( )LcLLmy nh nx nh m xnmR n( ) ( )( ) ( )H kDFT h nX kDFT x n0kL-1则由时域循环卷积定理有 Y ( k ) = D F T y ( n ) = H ( k ) X ( k ) , 0kL-1假设1.用DFT计算循环卷积 由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算，也可在频域计算。 由于DFT有快速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。 图3.4.1 用DFT计算循环卷积的原理框图 背景及意义：在实际应用

17、中，背景及意义：在实际应用中， 为了分析为了分析LSI系统或者系统或者对序列进行滤波处理时，对序列进行滤波处理时， 需要计算两个序列的线性卷积。需要计算两个序列的线性卷积。为了提高运算速度，也希望用为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而计算线性卷积。而与与DFT对应的是循环卷积，为此需导出线性卷积和循环卷对应的是循环卷积，为此需导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设假设h(n)和和x(n)都是有限长序列，长度分别是都是有限长序列，长度分别是N和和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：它们的

18、线性卷积和循环卷积分别表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmRn2.循环卷积与线性卷积循环卷积与线性卷积长度为长度为N+M-1长度为长度为L 其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmiNLimy nh mx niLm R nh m x niLm R n ( )(), ()() LiLix nx niLx nmx niLm若 则可以看出， 上式中 )()()()()()(10nRiLnynyiLnymiLnxmhLilcNm

19、l yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。若yl(n)的长度为NM1，则只有当循环卷积长度LNM1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓时才无时域混叠现象。此时取其主值序列显然满足yc(n)=yl(n)。由此证明了循环卷积等于线性卷积的条件是： LNM1线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系)()()(nRiLnynyLilc图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M

20、1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10线性卷积与循环卷积图示线性卷积与循环卷积图示x(n)=1，1，1，1h(n)=1，1，1，1，1线性卷积线性卷积y(n)=1，2，3，4，4，3，2，16点圆周卷积点圆周卷积 X(n)=1，1，1，1，0，0h(0-m)=1，0，1，1，1，1 y(0)=3h(1-m)=1，1，0，1，1，1 y(1)=3h(2-m)=1，1，1，0，1，1 y(2)=3h(3-m)=1，1，1，1，0，1 y(3)=4h(4-m)=1，1，1，1，1，0 y(4)=4h(

21、5-m)=0，1，1，1，1，1 y(5)=3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 1，2，3，4，4，3，2，1 1，2，3，4，4，3， 2，1 3，3，3，4，4，3直接做圆直接做圆周卷积周卷积利用圆利用圆周卷积周卷积与线性与线性卷积的卷积的关系关系图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n) MN。若仍选取LNM1，以L为循环卷积区间，并用上述快速卷积法计算线性卷积，则要求对短序列补很多零点，而且长序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存储容量大，运算时间长，并使处理

22、延时很大，不能实现实时处理。通常采用分段卷积。若将x(n)均匀分段， 每段长度取 M， 那么0( )( )( )( )()kkkMx nxnxnx nRnkM于是，于是， h(n)与与x(n)的线性卷积可表示为的线性卷积可表示为000( )( )( )( )( ) ( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n3.3.长序列的分段卷积长序列的分段卷积图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nn

23、nnnnh(n)用用DFT计算分段卷积计算分段卷积yk (n)的方法：的方法：（1） i=0；L=NM1；计算并保存H(k)=DFTh(n) L; （2） 读入x i(n)=x(n)R M(nkM)，构造变换区间0，L-1上的序列，实际中就是将x i (n)的M个值存放在长度为M的数组中, 并计算（3）；（4） ，n = 0,1,2,L1；（5计算： （6） i =i1，前往(2)。应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始条件y-1(n)=0。 ( )()( )iiMx nx nkM Rn( )DFT ( )iiLX kx n( )( )( )iiY kH k X k ( )()( )IDFT ( )iiLiLy ny nkM R nY k1()( ),02 ()() ( ),11 ()