（整理版）第3课时空间向量与空间角

1、第第 3 3 课时课时空间向量与空间角空间向量与空间角双基达标限时 20 分钟1假设平面的法向量为，直线l的方向向量为v v，直线l与平面的夹角为，那么以下关系式成立的是()acosv v| |v|v|bcos| |v|v| | |csinv v| |v|v|dsin| |v|v| |v|v|解析假设直线与平面所成的角为，直线与该平面的法向量所成的角为，那么90.答案d2设直线l与平面相交，且l的方向向量为a a，的法向量为n n，假设a a，n n23，那么l与所成的角为()a.23b.3c.6d.56解析线面角的范围是0，2答案c3三棱锥abcd中，平面abd与平面bcd的法向量分别为n

2、n1 1，n n2 2，假设n n1 1，n n2 23，那么二面角abdc的大小为()a.3b.23c.3或23d.6或3解析只需搞清二面角的范围是0，答案c4如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m是c1c的中点，o是底面abcd的中点，p是a1b1上的任意点，那么直线bm与op所成的角为_解析建立如下图的空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，那么o(1，1，0)，p(2，x，2)，b(2，2，0)，m(0，2，1)，op(1，x1，2)，bm(2，0，1)所以opbm0，所以直线bm与op所成角为2.答案25点a(1，0，0)，b(0，2，0)，c(0，0，3)那么平面abc与平面xo

3、y所成锐二面角的余弦值为_解析ab(1，2，0)，ac(1，0，3)设平面abc的法向量为n n(x，y，z)由n nab0，n nac0 知x2y0，x3z0.令x2，那么y1，z23.平面abc的一个法向量为n n(2，1，23)平面xoy的一个法向量为oc(0，0，3)由此易求出所求二面角的余弦值答案276如下图，三棱柱oabo1a1b1中，平面obb1o1平面oab，o1ob60，aob90，且oboo12，oa 3，求异面直线a1b与ao1所成角的余弦值的大小解建立如下图的空间直角坐标系，那么o(0，0，0)，o1(0，1， 3)，a( 3，0，0)，a1( 3，1， 3)，b(0，

4、2，0)，a1b( 3，1， 3)，o1a( 3，1， 3)cosa1b，o1aa1bo1a|a1b|o1a| 3，1， 3 3，1， 37 717.异面直线a1b与ao1所成角的余弦值为17.综合提高限时 25 分钟7在矩形abcd中，ab1，bc 2，pa平面abcd，pa1，那么pc与平面abcd所成角是()a30b45c60d90解析建立如下图的空间直角坐标系，那么p(0，0，1)，c(1，2，0)，pc(1， 2，1)，平面abcd的一个法向量为n n(0，0，1)，所以 cospc，n npcn n|pc|n n|12，所以pcn n120，所以斜线pc与平面abcd的法向量所在直

5、线所成角为 60，所以斜线pc与平面abcd所成角为 30.答案a8如下图，点p为菱形abcd外一点，且pa面abcd，paadac，点f为pc中点，那么二面角cbfd的正切值为()a.36b.34c.33d.233解析如下图，连接ac，acbdo，连接of.以o为原点，ob、oc、of所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系oxyz.设paadac1，那么bd 3.所以b(32，0，0)，f(0，0，12)，c(0，12，0)，d(32，0，0)结合图形可知，oc(0，12，0)且oc为面bof的一个法向量，由bc(32，12，0)，fb(32，0，12)，可求得面bcf的一个法向量n

6、n(1， 3， 3)所以 cosn n，oc217，sinn n，oc277，所以 tann n，oc233.答案d9.在正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd所成角的余弦值是_解析建立如下图的空间直角坐标系，设棱长为 1，那么b(1，1，0)，c1(0，1，1)，a1(1，0，1)，d(0，0，0)，bc1(1，0，1)，a1d(1，0，1)，bd(1，1，0)，设平面a1bd的一个法向量为n n(1，x，y)，设平面a1bd与bc1所成的角为，n na1d，n nbd，所以n na1d0，n nbd0，所以1y0，1x0，解得x1，y1.所以n n(1，1，1)，那么

7、cosbc1，n nbc1n n|bc1|n n|63，所以 sin63，所以 cos163233.答案3310正abc与正bcd所在平面垂直，那么二面角abdc的正弦值为_解析取bc中点o，连接ao，do，建立如下图的坐标系设bc1，那么a(0，0，32)，b(0，12，0)，d(32，0，0)所以oa(0，0，32)，ba(0，12，32)，bd(32，12，0)由于oa(0，0，32)为平面bcd的法向量设平面abd的法向量n n(x，y，z)，那么n nba0，n nbd0，所以12y32z0，32x12y0，取x1，那么y 3，z1，所以n n(1， 3，1)，所以 cosn n，o

8、a55，sinn n，oa255.答案25511如图，在四棱锥pabcd中，底面为直角梯形，adbc，bad90，pa底面abcd，且paadab2bc，m、n分别为pc、pb的中点求bd与平面admn所成的角.解如下图，建立空间直角坐标系，设bc1，那么a(0，0，0)，b(2，0，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)那么n(1，0，1)，bd(2，2，0)，ad(0，2，0)，an(1，0，1)，设平面admn的一个法向量为n n(x，y，z)，那么由n nad0，n nan0得y0，xz0，取x1，那么z1，n n(1，0，1)，cosbd，n nbdn n|bd|n n|28 21

9、2，sin|cosbd，n n|12.又 090，30.12(创新拓展)如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bcfcef90，ad 3，ef2.(1)求证：ae平面dcf；(2)当ab的长为何值时， 二面角aefc的大小为 60？解建系如图，设aba，beb，cfc，那么c(0，0，0)，d(0，0，a)，f(0，c，0)，a( 3，0，a)，e( 3，b，0)，b( 3，0，0)，(1)证明ae( 3，b，0)( 3，0，a)(0，b，a)，cd(0，0，a)，cf(0，c，0)，设aecdcf，那么(0，b，a)(0，c，a)，bc，1，aecdbccf，又ae 平面dcf，ae面dcf.(2)ef( 3，cb，0)，ce( 3，b，0)且efce0，|ef|2.所以3bcb0，3cb22，解得b3，c4，所以e( 3，3，0)，f(0，4，