（整理版）第6讲　空间向量及其运算

1、第6讲空间向量及其运算分层a级根底达标演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)假设向量a，b共线，那么向量a，b所在的直线平行；假设向量a，b所在的直线为异面直线，那么向量a，b一定不共面；假设三个向量a，b，c两两共面，那么向量a，b，c，共面；空间的三个向量a，b，c，那么对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc. ()a0 b1 c2 d3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时

2、，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故答案a2假设向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)·(2b)2，那么x()a4 b2 c4 d2解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案d3假设a，b，c为空间的一组基底，那么以下各项中，能构成基底的一组向量是()aa，ab，ab bb，ab，abcc，ab，ab dab，ab，a2b解析假设c、ab、ab共面，那么c(ab)m(ab)(m)a(m)b，那么a、b、c为共面向量，此与a，b，c为

3、空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案c4.如下图，空间四边形oabc，oboc，且aobaoc，那么cos，的值为 ()a0 b. c. d.解析设a，b，c，由条件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案a二、填空题(每题5分，共10分)5在以下条件中，使m与a、b、c一定共面的是_(填序号)2；0；0；解析0，那么、为共面向量，即m、a、b、c四点共面答案abcd中，···_.解析如图，设a，b，c，···a

4、·(cb)b·(ac)c·(ba)0.答案0三、解答题(共25分)7(12分)非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：a、b、c、d共面证明令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.那么(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共线，.易知是其中一组解，那么50.a、b、c、d共面8(13分)如右图，在棱长为a的正方体abcd­a1b1c1d1中，g为bc1d的重心，(1)试证：a1、g、c三点共线；(2)试证：a1c平面bc1d；(3)求点c到平面bc1d的距离(1)证明，可以证明：()，即a1、g、c三点

5、共线(2)证明设a，b，c，那么|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0，abc，ca，·(abc)·(ca)c2a20，即ca1bc1，同理可证：ca1bd，因此a1c平面bc1d.(3)解abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即c到平面bc1d的距离为a.分层b级创新能力提升 ()a空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示b假设a，b，c为空间向量的一组基底，那么ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底cabc为直角三角形的充要条件是·0d任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析假设ab、bc、ca为共面向量，

6、那么ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，那么abc，那么a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾答案b2如下图，在长方体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点假设a，b，c，那么以下向量中与相等的向量是 ()aabc b.abccabc d.abc解析()c(ba)abc.答案a3在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点a，b，ac，bd分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于ab的线段，且ab4 cm，ac6 cm，bd8 cm，那么cd的长为_解析设a，b，c，由条件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90°

7、，b，c90°，a，c60°|2|2|cba|2a2b2c22a·b2a·c2b·c68，那么|2.答案2 cm4如图，空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45°，oab60°，那么oa与bc所成角的余弦值等于_解析设a，b，c.oa与bc所成的角为，·a(cb)a·ca·ba·(a)a·(a)a2a·a2a·2416.cos .答案5如下图，平行六面体abcda1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60&#

8、176;.(1)求ac1的长；(2)求bd1与ac夹角的余弦值解(1)记a，b，c，那么|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即ac1的长为.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.ac与bd1夹角的余弦值为.6如下图，空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e，f，g分别是ab、ad、cd的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)eg的长；(4)异面直线ag与ce所成角的余弦值解设a，b，c.那么|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca