2025北京各区高三一模数学分类汇编解析 答案

2025北京高三一模分类汇编数学目录集合2复数4二项式定理6向量8等式/不等式1112函数基础15函数综合17指对函数实际应用1921等差数列/等比数列24直线与圆方程27双曲线29抛物线31选填压轴33立体几何解答题39三角函数与解三角形解答题54概率统计解答题72解析几何解答题89导数解答题102创新新定义解答题120·集合1.（2025北京东城区高三一模已知集合A=x∣x2-x-6>0,则∁RA=A.{x∣-2<x<3}B.{x∣-3<x<2}C.{x∣-2≤x≤3}D.{x∣-3≤x≤2}C2.（2025北京西城区高三一模已知集合A=xx2<4B=xlgx>0，那么集合A∪B=A.-2,+∞B.-∞,-2∪1,+∞C.-∞,2D.1,+∞A3.（2025北京海淀区高三一模已知集合U=x∣x>1,A={x∣x≥2},则∁UA=A.-∞,2B.-∞,-1∪(1,2]C.(-∞,2]D.-∞,-1∪1,2D4.(2025北京朝阳区高三一模01)已知集合A={x||x|<2}B={x|0≤x≤2}，则A∩B=A.{x|0≤x<2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|-2<x<2}D.{x|0<x≤2}A5.（2025北京丰台区高三一模已知集合U={-3,-2,-1,0,1,2}A={x∈Z||x|<2}，则UA=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-3}D.{-3,-2,2}D6.(2025北京石景山区高三一模01)已知全集U={-2,-1,0,1,2,3}A={x∈Z|x2≤2}，则∁UA=A.{-1,0,1}B.{-2,2,3}C.{-2,1,2}D.{-2,0,3}B·7.（2025北京房山区高三一模已知集合A={-2,-1,0,1,3},集合B=x∣x2<2,则A∩B=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,3}D.{-2,-1,0,1,3}A8.(2025北京门头沟区高三一模01)已知集合A=x|x2<4B=x|0≤x≤3，则A∪B=A.0,2B.0,2C.0,3D.-2,3D9.(2025北京顺义区高三一模01)已知集合U={x|x+3≥0}A={x|-2<x<2}，则∁UA=A.-3,-2∪2,+∞B.-3,2)C.-3,-2∪2,+∞)D.-2,3)C10.（2025北京延庆区高三一模已知集合A={x|0≤x≤3}B={x|logx<1}，则A∪B=A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]A11.（2025平谷区高三一模已知集合A={x∣-1<x<1},B=x∣0≤x≤2，则A∪B=A.{x∣-1<x<2}B.x∣0≤x≤2C.{x∣0≤x<1}D.{x∣-1<x≤2}D·复数1.（2025北京东城区高三一模若复数z满足1+i⋅z=i,则z=.222.（2025北京西城区高三一模设i1-i2-i=．35-15i3.（2025北京海淀区高三一模在复平面内,复数z=i2+i3对应的点的坐标为A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)D4.(2025北京朝阳区高三一模02)设复数z=1+i的共轭复数为z⋅=A.1B.2C.2D.4C5.（2025北京丰台区高三一模z对应的点的坐标为(2,-1)|iz|=A.5B.5C.3D.3B6.(2025北京石景山区高三一模02)z=i-ai对应的点坐标为(1,-2)a=A.1B.-1C.2D.-2D7.（2025北京房山区高三一模在复平面内,复数i⋅3+4i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B8.(2025北京门头沟区高三一模02)z对应的点的坐标是3,4zi=A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3iB·9.(2025北京顺义区高三一模04)复数z的共轭复数为2z+=3+iz⋅=A.2B.2C.1D.22A10.（2025北京延庆区高三一模已知a∈Ria-2i2+ia=A.-1B.1C.-4D.4C11.（2025平谷区高三一模z满足z⋅1-i=2iz对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B·二项式定理1.（2025北京东城区高三一模在ax-x的展开式中,x3的系数为10,则a的值为A.-1B.1C.-2D.2D2.（2025北京西城区高三一模在x2+24的展开式中，x2的系数等于xA.6B.12C.18D.24D3.（2025北京海淀区高三一模已知x-2=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,则a4+a3=.-74.(2025北京朝阳区高三一模03)在x+24xA.6B.8C.12D.24D5.（2025北京丰台区高三一模在x-26xA.60B.-60C.160D.-160A6.(2025北京石景山区高三一模03)在2x2-15的展开式中，x的系数为xA.10B.-10C.40D.-40D7.（2025北京房山区高三一模若x-2=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,则a3+a1=A.-41B.41C.-40D.40C8.(2025北京门头沟区高三一模11)x-2的展开式中x的系数为.(用数字作答)-80·9.(2025北京顺义区高三一模12)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0=a1+a3+a5=1-12210.（2025北京延庆区高三一模x2-26的展开式中，x6的系数为.x6011.（2025平谷区高三一模在(x-2)5的展开式中，x2的系数为A.-5B.5C.-10D.10D·向量北京东城区高三一模a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.ac若网格纸上小正方形的边长为1,则cos‹b,c›=a-b⋅c=.22,0b2.（2025北京西城区高三一模设平面向量=-1,1=-2,1=x,y=5，则使得向量b-与共线的一组值x=y=．-4,3(答案不唯一)3.（2025北京西城区高三一模蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢P为图中7个正六边形(边长为4的某一个顶点，A,B⋅PB的最大值为A.44B.48C.72D.76B4.（2025北京海淀区高三一模已知向量a=2,0,b=1,则a+b的最大值为；a+b与a的夹角的取值范围是.3,0,π65.(2025北京朝阳区高三一模09)在△ABC中，CA=CB=5AB=4M为△ABC所在平面内一点且AM⋅CM的最小值为A.0B.-1625C.-45D.-165C·6.（2025北京丰台区高三一模在平行四边形中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，2DO=+|DO|=||=2DO⋅的最大值为A.3B.4C.6D.8C7.(2025北京石景山区高三一模13)设AB=(1,1),|AC|=5,AB⋅BC=0|BC|=．38.（2025北京房山区高三一模已知向量a=x,1,b=1,-2,若a⊥b,则a-b=A.2B.5C.352D.10D9.(2025北京门头沟区高三一模05)已知向量满足=5=3,4的夹角为πb3-=A.52B.53C.5D.10C10.(2025北京顺义区高三一模02)已知平面向量a,b满足|a|=2b=(1,0)|2a-b|=5a⋅b=A.6B.3C.-4D.-2D11.(2025北京顺义区高三一模06)已知A(1,0)B(0,1)C(0,3)M满足MB⋅MC=0AM的可能取值是A.4B.2C.1D.12B12.（2025北京延庆区高三一模已知向量=(1,2)=(λ,-1)=(μ,-1)(+λ+μ=A.-2B.-1C.0D.1B·13.（2025平谷区高三一模已知是平面内两个非零向量，λ≠0=λb+λb=+λA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件D等式/不等式1.（2025北京东城区高三一模已知x>1,y>1,4x>2log2x>log4y-1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A2.（2025北京海淀区高三一模已知四个数a=lg2+lg52,b=lg2⋅lg5,c=lg2,d=lg5,其中最小的是A.aB.bC.cD.dC3.（2025北京丰台区高三一模已知a<bc<dA.a-c<b-dB.ac<bdC.2a+2c<2b+2dD.a2+c2<b2+d2C4.(2025北京石景山区高三一模05)已知x,y∈Rx>y>0A.1x-1y>0B.2x-2y>0C.cosx-cosy<0D.lnx+lny<0B5.（2025北京房山区高三一模已知a,b∈R,且a<b,则A.1a>1bB.a2<b2C.a3<b3D.lnb-a>0C6.（2025北京延庆区高三一模设xy∈R0<x<y<1A.x2>y2B.sinx>sinyC.4x>2yD.x+1x>y(2-y)D1.（2025北京东城区高三一模在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,其终边落在第一象限,则下列三角函数值中一定大于零的是A.sinπ+αB.cosπ-αC.sin2αD.cos2αC2.（2025北京东城区高三一模已知函数fx=sinωxω>0,若fx的最小正周期为π,则ω=x,x2∈π,2π,使得fx1-fx2=2,则ω的最小值为.2,543.（2025北京西城区高三一模在长方形ABCD中，E为BC的中点，cos∠AEB=23，则cos∠AED=A.459B.19C.-459D.-19B4.（2025北京西城区高三一模已知函数fx=sinx+3cosx．若fx1=fx2A.x1-x2=2kπk∈ZB.x1-x2=2kπ或x1+x2=2kπ+π3k∈ZC.x1+x2=kπ+π3D.x1-x2=2kπ或x1+x2=kπ+πk∈Z3k∈ZB北京海淀区高三一模y=3sinωx+φω>0y的部分图象如图所示.若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=B3A.1B.1

2C.πD.π2OAxD-3DC6.(2025北京朝阳区高三一模04)为得到函数y=sin2x+cos2xy=2sin2x的图象A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π8个单位长度D.向左平移π8个单位长度D7.(2025北京朝阳区高三一模07)已知sinα+sinβ=0,cosα+cosβ=3cos(α-β)=A.-12B.12C.32D.1B北京丰台区高三一模f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)MN是直线y=12与曲线y=f(x)的两个相邻交点．若|MN|=π3ω=fπ=．22，329.(2025北京石景山区高三一模04)在△ABCasinB-3sinA=0b=A.3B.23C.1D.2A10.(2025北京石景山区高三一模12)如图2α以Ox单位圆O相交于点PP的横坐标为35sin(π2+α)=．3511.（2025北京房山区高三一模已知函数fx=sin2x,x1+x2=fx1+fx2=A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A12.（2025北京房山区高三一模若对任意实数x,cosx+π=Asinx+φA>0恒成立,6则满足条件的一组A,φ的值为A=,φ=.1,2π3(答案不唯一)13.(2025北京门头沟区高三一模07)已知函数fx=sinx-π足fx+fx2=0，31且fx在区间x,x2x1+x2的值可以是A.π3B.2π3C.4π3D.5π3B14.(2025北京门头沟区高三一模13)在平面直角坐标系xOyα以Ox与单位圆交点的横坐标为-12α=.2π3(答案不唯一)15.(2025北京顺义区高三一模14)在△ABC中，2b=3c∠A=2∠CcosC=.10416.（2025北京延庆区高三一模已知α是第四象限角且sinα=-352sinβ-cosβ=0，则tan(α-β)的值为.-217.（2025平谷区高三一模已知函数fx=2sinωx-π,ππω>0fx在区间-上没342ω的最大值为A.23B.43C.53D.2A函数基础1.（2025北京东城区高三一模下列函数中,定义域为0,+∞的是A.fx=xB.fx=lnxC.fx=2xD.fx=tanxB2.（2025北京西城区高三一模y轴对称的是A.y=x-1B.y=2xC.y=x4+x2D.y=lnxC3.（2025北京海淀区高三一模函数fx=a21+1a>0的图象一定经过点A.1,2B.21C.(0,2)D.(0,1),12A4.(2025北京朝阳区高三一模11)函数f(x)=11-x+log3x的定义域为．3x的定义域为．(0,1)5.(2025北京石景山区高三一模11)若f(x)=lg(x+1)x>0，f(9)+f(-1)=．2x+2x≤026.（2025北京房山区高三一模已知函数fx=2,x<1,则f0+f1=.log2x+7,x≥1.47.(2025北京门头沟区高三一模03)0,+∞上单调递增的是A.y=x-1x1B.y=x3-xC.y=x2D.y=tanxA8.(2025北京顺义区高三一模03)0,+∞的是A.y=x2B.y=x+1C.y=31D.y=log2xB北京延庆区高三一模.数学中把这种两端固定的一条均.已知函数f(x)=12(ex+e)A.f(x)为奇函数B.f(x)的最大值为1C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增D.方程f(x)=2有2个实数解D10.（2025平谷区高三一模1,+∞上单调递增的是A.y=x-2B.y=2xC.y=11-xD.y=-lnxC函数综合1.（2025北京东城区高三一模中国茶文化博大精深,茶水的口感与T水的温度有关.一杯80°C的热红茶置于20°C的房间里,茶水的温度T单位:°C与时间t(单位:min)的函数T=ft的图象如图所示.下80列说法正确的是A.若t1+t3=2t,则ft1+ft3>2ft220B.若t1+t3>2t,则ft1+ft3>2ft2OtC.若ft1+ft3=2ft2,则t1+t3<2t2D.若ft1+ft3>2ft2,则t1+t3>2t2A2.（2025北京海淀区高三一模已知函数fx=2-x,x≤1,.若fx的a>0且a≠11ax+3,x>1loga2值域为(-∞,2],则a的一个取值为fx的值域为R,则a的取值范围是.12(答案不唯一,只需满足0<a<1),[2,+∞)3.(2025北京朝阳区高三一模08)两岸所在直线l,l2DE与河岸所在直线垂直.的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,CA(定点)在桥DEA到直线l,l2的距离分别为h,h(h,h2为定值)口B,C分别在直线l,l1AB与直线l2所成的锐角∠ABD为αAC与AB垂直．设该休闲公园的面积为S(α)α是A.函数S(α)的最大值为hh2B.函数S(α)的最小值为hh22C.若α,α2∈0,π1<α2S(α)<S(α)且α2D.若α,α2∈0,π1+α2=π且α22S(α)=S(α)D4.(2025北京朝阳区高三一模13)已知函数f(x)是Rx>0时，f(x)=x+exf(-2)=a,b,c∈R(a≠b)f(a)=f(b)=cc的一个取值为．-34(答案不唯一)5.（2025北京丰台区高三一模已知函数f(x)=x+1,x>0,当a=0时，f(0)=x+a,x≤0．f(x)在Ra的取值范围是．0(-∞,1]6.(2025北京门头沟区高三一模09)已知函数fx=ea-a,x<-a,a>0,b>0fx既不存bsinx,x≥-a.ab关系中一定成立的是A.a+b>12B.a+b<1C.ab≤18D.ab≥14B7.（2025平谷区高三一模已知函数fx=-x2+ax,x≤1a=-1时，ax-1,x>1fx的值域是fxa的取值范围是.-∞,14,0<a<2指对函数实际应用1.(2025北京石景山区高三一模08)S=aekt(a,k为常数)S()代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克k=A.ln25B.ln35C.ln2D.ln3A2.（2025北京房山区高三一模自然界中,大多数生物存在着世代重叠现象,它们在生活史中会持续不断地繁殖后代,且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时,其增长符合模型:Nt=Nert,其中N0为种群起始个体数量,r为增长系数,Nt为t时刻的种群个体数量.当t=3时,种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N4=150,则N10=A.300B.450C.600D.750C3.(2025北京门头沟区高三一模14)1年在市区公共区域建设了220%3年在市区公共区域新建设了1域的充电桩总量达到30万个(结果保留到个位).(参考数据：lg2≈0.301lg3≈0.477)2.8884.(2025北京顺义区高三一模05).视星等m.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年).视星等m和绝对星等M满足m-M=5lgd,其中d.若恒星A距离10地球约32.6B距离地球约326A,B的视星等满足mB-mA=4A.MB=MA+4B.MB=MA+6C.MA=MB+1D.MA=MB+6C5.（2025平谷区高三一模P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P=ekt,k10h消除了50%60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历A.10hB.4hC.40hD.8hA1.（2025北京东城区高三一模祈年殿(图1)是北京市的1标志性建筑之一,距今已有600多年历史.殿内部有垂直于1地面的28根木柱,分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为119米的龙井柱,寓意一年四季;中圈有12根约为13米的金AB

C柱,代表十二个月;外圈有12根约为6米的檐柱,象征十二图2图1个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB,CC1形成的几何体ABC-A1BC(图2)中,AB=AC≈8米,∠BAC≈144°,则平面A1BC1与平面ABC所成角的正切值约为A.43sin18°B.34sin18°C.43cos18°D.34cos18°B2.（2025北京西城区高三一模设直线m⊂平面αα∩平面β=直线l，m⊥m⊥A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A3.（2025北京西城区高三一模近似看成一个四面体ABCDAD的长为6cm26cm角粽的表面积为cm2cm．(粽叶的厚度忽略不计)123+615,664.（2025北京海淀区高三一模已知A4纸的长宽比约为2:1.现将一张A4纸卷成一个圆柱的侧面(无重叠部分).当该圆的高等于A4纸的长时,设其体积为,轴截面的面积为S;当该圆柱的高等于A4纸的宽时,设其体积为,轴截面的面积为S,则A.1=,S1=S2B.1≠,S1=S2C.1=,S1≠S2D.1≠,S1≠S2B5.（2025北京丰台区高三一模已知m,n是两条不同的直线，α,β正确的是A.若m⊂α,n⊂β,α‖βm‖nB.若m‖n,n⊂αm‖αC.若α⊥β,m⊥β,n⊥mn⊥αD.若m⊥α,n⊥β,m⊥nα⊥βD北京房山区高三一模2E--FP为棱BCA.AE∥平面BCFB.八面体E--F的体积为43C.EP+FP的最小值为6D.点A到平面BCF的距离为62D7.(2025北京门头沟区高三一模08)某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥P-ABC=PB=PC=23面△ABC是等腰直角三角形，AB=BC点P到底面ABC的距离为3B到平面的距离为A.2B.6C.3D.23C8.(2025北京顺义区高三一模07)稳定气体.化学式为SF6一个八面体的结构.P--Q则平面与平面QAB夹角的余弦值是A.22B.23C.12D.13D9.（2025北京延庆区高三一模某圆锥高为3π3A.3πB.4πC.5πD.6πA平谷区高三一模以看作是由半径为10cm2π3部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等(忽略蛋筒厚度)奶油的总体积约为A.2000281πcm3B.4000327πcm3C.2000327πcm3D.4000281πcm3D等差数列/等比数列1.（2025北京东城区高三一模已知an是各项均为正整数的无穷等差数列,其中的三项为41,25,13,则a的公差可以为nA.-4B.-3C.4D.3C2.（2025北京海淀区高三一模已知an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列.若0<q<1,an-bnd≥A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件D3.(2025北京朝阳区高三一模05)已知{a}是等比数列，a2=2a3=1aa2⋯a6=A.18B.14C.12D.1A4.(2025北京朝阳区高三一模14)()和十二地支()的组合来表示年份，20252025年之后的首个己巳年是年．(用数字作答)20495.（2025北京丰台区高三一模已知{a}是公差不为0n项和为Sn∀n∈N∗Sn≤Sa8≥A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A6.（2025北京丰台区高三一模已知a,a,a3是公比不为1a,a,a3调整顺序后可a,a,a3的值依次为．1,-2,4(答案不唯一)7.(2025北京石景山区高三一模07)等比数列{a}中，a2=2：a4=4：a6=8A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C8.（2025北京房山区高三一模已知an是等差数列,且a2=1,a1+a5=8,则an的通项公式an=.3n-59.(2025北京顺义区高三一模08)设ani>j>kai<aj<aanA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B10.（2025北京延庆区高三一模已知等比数列an的公比为qn项和为S.若S1=-1，且∀n∈N*a2>a则下列结论错误的是A.a2<0B.0<q<1C.Sn<1q-1D.a1>anC11.（2025北京延庆区高三一模数列{a}akak≥a1且ak≥a，(k≥2，k∈N)则称ak为{a}的一个峰值.若an=-3n2+11n{a}的峰值为；若an=tlnn-n{a}t的最大值为.10,-∞,1ln212.（2025平谷区高三一模在等比数列an中，a1+a2=-16,a2+a3=163，记n=aa2⋯ann=1,2,⋯nA.B.C.D.C13.（2025平谷区高三一模55(按30天计)共织了44010天该女子织了尺布”11直线与圆方程1.（2025北京东城区高三一模长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动,则线段AB的中点到直线3x+4y+10=0距离的最小值为A.1B.2C.2D.3A2.（2025北京西城区高三一模在平面直角坐标系xOyA0,t发出的光线经过点B1,0x轴反射后将圆C:x-4+y-3=1t=A.1B.2C.3D.4A3.（2025北京海淀区高三一模已知直线y=ax+b经过圆x2+y2+2x=0的圆心,则a2+b的最小值为A.-1B.-14C.0D.1B4.（2025北京丰台区高三一模已知直线x-y+2=0与圆x2+y2=r(r>0)有且仅有一个公共点r=．25.(2025北京石景山区高三一模09)已知点M,N为圆x2+y2-2y-3=0|MN|=23，点P在直线3x-y-5=0上Q为线段MN|PQ|的最小值为A.1B.2C.3D.4B6.（2025北京房山区高三一模直线y=x+1与圆x-1+y2=3交于A,B两点,则AB=A.1B.2C.2D.22B7.(2025北京门头沟区高三一模06)已知圆C:x2+y2=1l:y=kx+2kl上任意一点总能作圆Ck的最大值为A.0B.33C.1D.3D8.(2025北京顺义区高三一模13)已知直线l:y=kx-1与圆O:(x-1)2+(y-1)2=1有两个交点，则k可以是.(写出满足条件的一个值即可)k>34(答案不唯一)9.（2025北京延庆区高三一模已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m,0)B(m,0)(m>0).若圆C上存点P∠APB=90°m的最大值为A.4B.5C.6D.7C双曲线1.（2025北京西城区高三一模设双曲线Ex2a2-y2b2=1(a>0,b>0)12，若E上存在一点P得PF1=3PF2E的离心率的取值范围是A.[3,+∞)B.[2,+∞)C.(1,3]D.(1,2]D2.（2025北京海淀区高三一模已知双曲线y2a2-x2b2=1的一条渐近线的方程为y=2x,则该双曲线的离心率为.523.(2025北京朝阳区高三一模06)已知曲线C:mx2-ny2=1n>m>C为焦点在x轴上A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A4.（2025北京丰台区高三一模图12是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝(忽略杯底部分)外轮廓可近似看作双曲线C(即杯口直径)约6.92cm4.00cm部最细处直径约3.46cm6.92cmC的离心率最接近的是(参考数据：2≈1.41,3≈1.73)A.2B.2C.3D.3B5.(2025北京石景山区高三一模14)已知双曲线x2-my2=1，若m=1；若双曲线上存在四个点A,B,C,D使得四边形m的一个取值为．y=±x(答案不唯一)6.(2025北京门头沟区高三一模04)k=±12线y=kx-3与双曲线x24-y2=1只有一个A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C7.(2025北京顺义区高三一模11)已知双曲线C:x2a2-y2=1,2M(2,3)C的渐近线方程为.y=±x8.（2025北京延庆区高三一模已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(-2,1)，则其离心率为.529.（2025平谷区高三一模记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e线y=3x与Ce的一个值为.32(答案不唯一)抛物线1.（2025北京东城区高三一模已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,点M为C上任意一点,且总有MF≥1,则p的一个值可以为.2(答案不唯一,满足p≥2)2.（2025北京西城区高三一模设抛物线C:x2=2py的焦点为F0,1lC上一点At,2到l的距离为．33.（2025北京海淀区高三一模已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,点M3,y在C上,02=2,则y=MF0A.1B.2C.3D.2C4.(2025北京朝阳区高三一模12)已知点M(2,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)C的焦点F的坐标为F为圆心，|FM|为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是．()(0,1)5.（2025北京丰台区高三一模已知抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点为FM在C上．若M的横坐标为1|MF|=2p的值为A.12B.1C.2D.4C6.(2025北京石景山区高三一模06)已知抛物线C:y2=8x的焦点为FM(x0y)在C上，若|MF|>4A.x0∈(0,2)B.y0∈(0,2)C.x0∈(2,+∞)D.y0∈(2,+∞)C7.（2025北京房山区高三一模已知F是抛物线C:x2=12y的焦点,则F的坐标为，设A是直线y=-3上一点,直线AF与抛物线C的一个交点为B,若AB=2BF,则点B到x轴的距离为0,3;18.(2025北京门头沟区高三一模12)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F点F且垂直于其对称轴的直线交C于点MNMN=4.29.(2025北京顺义区高三一模09)已知抛物线C:y2=4x的焦点为Fl点F的直线与C交于不同的两点A,BOBO与l交于点M|AF|=2|FB|△ABM的面积为A.922B.32C.322D.2A10.（2025北京延庆区高三一模k=12线y=kx+2与抛物线y2=4xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A11.（2025平谷区高三一模抛物线y2=2x上一点Px,y0到准线的距离与到对称轴的距离相等，则x0=.12选填压轴1.（2025北京东城区高三一模已知集合A=x,y∣y=x2-1,B=x,yy=ax+a∣.如果A∩B有且只有两个元素,则实数a的取值范围为A.-∞,1B.1,+∞C.0,1D.[0,1)∪1,+∞D2.（2025北京东城区高三一模已知数列an满足a2=a1+2ann=1,2,3,⋯,且a1=1.给出下列四个结论:①若a2∈0,+∞,当n≥3时,a1>an；②若a2∈-2,0,当n≥3时,a1<an；③若a2∈-1,0,对任意正数M,存在正整数N,当n>N0时,an>M；④若a2∈-∞,-1,对任意负数M,存在正整数N,当n>N0时,an<M.其中正确结论的序号是.①③④3.（2025北京西城区高三一模设等比数列an的前n项和为Snn项的乘积为．若aa2<aa3<0A.Sn无最小值，n无最大值B.Sn有最小值，n无最大值C.Sn无最小值，n有最大值D.Sn有最小值，n有最大值D4.（2025北京西城区高三一模记x表示不超过实数x的最大整数．设函数fx=x+x，有以下四个结论：①函数fxxfx+f-x=0或fx+f-x=-1；③集合x∣fx=a(a为常数)中有且仅有一个元素；④满足fx+fy≤7的点x,yx≥0,y≥0构成的区域的面积为8．．①②④5.（2025北京海淀区高三一模对于无穷数列an和正整数kk≥2,若存在n,n,⋯,nk满足n1<n2<⋯<nk且ann1=ann2=⋯=annk,则称数列a具有性质k.下列选项中错误的是nA.若an=n,则数列an不具有性质2B.若an=n-1+cosnπ,则数列an具有性质C.存在数列an和bn,使得an和bn均不具有性质,且an+bn具有性质D.若数列an和bn均具有性质,则an+bn具有性质D6.（2025北京海淀区高三一模如图所示,某游乐场有一款游乐设施,该设施由转轮A和转轮B组成,B的圆心固定在转轮A上的点Q处,某个座椅固定在转轮B上的点M处.A的半径为10米,B的半径为5米,A的圆心P距离地面竖直高度为20米.游乐设施运行过程中,A与B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转,A旋转一周用时π分钟,B旋转一周用时π2分钟.当Q在P正下方且M在Q正下方时,开始计时,设在第t分钟M距离地面的竖直高度为ht米.给出下列四个结论:①hπ=25;②ht最大值是35；4转轮AP③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；M④存在t0π使得tt时M到P的距离等于15米.∈,,=00其中所有正确结论的序号为.Q转轮Bh(t)①③7.(2025北京朝阳区高三一模10)n301分．所n位同学的得分总和为150局总场数为A.12B.15C.16D.18B8.(2025北京朝阳区高三一模15)在棱长为1的正方体-ABCD1中P是底面ABCD1①|+PC|的最小值为2||+|PC|的最小值为6；③||+|PC|的最大值为1+3||2+|PC|2的最小值为3．其中所有正确结论的序号是．①②④9.（2025北京丰台区高三一模-C的棱长为2E为的中点，F为线段C①存在唯一的点F得AEF四点共面；②+F的最小值为23；③存在点FAF⊥E；④有且仅有一个点F截正方体-C所得截面的面积为25．其中所有正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4B10.（2025北京丰台区高三一模已知函数f(x)=ex-acosx．给出下列四个结论：①当a=1时，在区间a，都没有最小值；③当a≠0时f(x)的零点从大到小依次为x,x,x,⋯，则对任意正整数i有xi-x1<π；④对任意实数a,mx0t>x0f(-t)+f(t)>m．其中所有正确结论的序号为．②④11.(2025北京石景山区高三一模10)如图12的正方体-ABCD1中，M,N,P分别是AA,CC,CD1的中点，Q是线段DA1上的动点(不包含端点)，给出下列三个命题：①对任意点Q有BQ⊥AB1；②存在点QBQ//平面MNP；③过点Q且与BN垂直的平面截正方体-ABCD1所得截面面积的最大值为25．其中正确的命题个数是A.0B.1C.2D.3C12.(2025北京石景山区高三一模15)高斯取整函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4[2.1]=2．有如下四个结论：①若x∈(0,1)f(-x)+12=-(f(x)+12)f(x)=[x]与函数h(x)=x-1无公共点；-kkf+f(77③11)=-23；④所有满足f(m)=f(n)(m,n∈[0,103])的点(mn)组成区域的面积为289．其中所有正确结论的序号是．①②④13.（2025北京房山区高三一模已知数列an的各项均为正数,且满足a12-an=λλ是常数，n=1,2,3,⋯,则下列四个结论中正确的是A.若λ=0,则数列lnan是等比数列B.若λ>0,则数列an是递增数列C.若数列an是常数列,则λ≥-14D.若数列an是周期数列,则最小正周期可能为2C14.（2025北京房山区高三一模,曲线E:x2+y-x=1就是其中之一.设曲线E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点P是E上一个动点.给出下列四个结论:①曲线E关于yE恰好经过2个整点();③△面积的最大值为1;④OP≤5+12(O为坐标原点).其中正确结论的序号是.①③④15.(2025北京门头沟区高三一模10)已知函数fx=ax2-x+xa∈R中x表示不超过x2.1=2-1.1=-2A.不存在afx有无数个零点B.fx有3个零点的充要条件是a∈1,+∞C.存在a得fx有4个零点D.存在afx有5个零点C16.(2025北京门头沟区高三一模15)已知数列an满足a1>0a1=an+kank≠0个结论：①存在k得ank>0an为递增数列；③对任意的k>0an既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的k有a2≥a2+2kn-1.其中所有正确结论的序号是.②③④17.(2025北京顺义区高三一模10)已知直线y=-x+4分别与函数y=2x和y=logx的图象交于A(x,y)B(x,y)2>x22+2>8xlogx2-xlogx1>0.其中正确结论的个数是A.0B.1C.2D.3C18.(2025北京顺义区高三一模15)已知函数f(x)=1x,0<x≤1,，x-1,x>1.数列an满足a1=m(m>0)a1=f(a).给出下列四个结论：①若a3=3m有3m=2-1a3=a(n∈N)；②对于任意m>2T得aT=a(n∈N)；③对于任意大于2的正整数T在m>1aT=a(n∈N)；其中所有正确结论的序号是.①②④19.（2025北京延庆区高三一模已知正方体-ABCD1的棱长为1有点MMB+MC1=3点M的个数为A.2B.4C.6D.8C20.（2025北京延庆区高三一模已知函数f(x)=lnx-1-kx+2①∃k<1f(x)关于直线x=1∃k>1得f(x)存在最小值；③∀k>1f(x)在(1,+∞)∃k>1得f(x)有三个零点；其中所有正确的结论的序号是.①③④21.（2025平谷区高三一模已知函数fx=sinπ2xt∈RAt={y∣y=fxPt,ftQx,fx满足PQ≤2}.设M,mt分别表示集合Atht=Mt-m.则函数ht的最小值是A.22B.1C.2D.2B22.（2025平谷区高三一模已知各项均不为零的数列an前n项和是S,a1=aSn=aa1n=1,2,⋯.给出如下结论：①a2=1ana的取值范围是0,1aan为等比数列；④∃m∈N*k>maka1<2.其中所有正确结论的序号是.①②④立体几何解答题1.（2025北京东城区高三一模(本小题14分)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,平面ADE⊥平面CDE,AD⊥DE,AD=DE=DC=1,BF⎳DE.(Ⅰ)证明:FC⎳平面ADE;(Ⅱ)已知点E到平面AFC的距离为62,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求BF的长.条件①:AE⊥CD;条件②:AC=CE.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.(17)(共14分)解：(Ⅰ)因为四边形ABCDBC∥AD.因为AD⊂平面ADEBC⊄平面ADEBC∥平面ADE.因为BF∥DEDE⊂平面ADEBF⊄平面ADEBF∥平面ADE.因为BC∩BF=BBCF∥平面ADE.因为FC⊂平面BCF以FC∥平面ADE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(Ⅱ)选条件①：AE⊥CD.因为平面ADE⊥平面CDE,平面ADE∩平面CDE=DE，AD⊥DEAD⊂平面ADEAD⊥平面CDE.因为CD⊂平面CDE以AD⊥CD.因为AE⊥CDAD∩AE=A，所以CD⊥平面ADE.所以CD⊥DE.如图建立空间直角坐标系D-xyzBF=t，则A(1,0,0)C(0,1,0)E(0,0,1)F(1,1,t).所以AC=(-1,1,0)AF=(0,1,t).设平面AFC的法向量为m=(x,y,z)m⋅AC=0,即m⋅AF=0,-x+y=0,y+tz=0.令z=-1y=tx=t.于是m=(t,t,-1).由于AE=(-1,0,1)E到平面AFC的距离d为62|AE⋅m||(-1)×t+0×t+1×(-1)|所以d===6|m|2t2+t2+(-1)2，得t=12.所以BF的长为12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分选条件②：AC=CE．因为平面ADE⊥平面CDE面ADE∩平面CDE=DEAD⊥DE，AD⊂平面ADEAD⊥平面CDE.所以AD⊥CD.所以∠ADC=90.因为AD=EDAC=ECDC=DCΔADC≅ΔEDC.所以∠ADC=∠EDC=90.所以CD⊥DE.以下同选条件①.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分2.（2025北京西城区高三一模(本小题13分)中，AB⊥平面PDC∩平面=PQAB⎳CDPO⊥AD于点O．(1)求证：⎳PQ；(2)设AB=DO=4OA=4=PQ=PO=2与平面QBC所成角的正弦值．(16)(共13分)解:(I)如图,因为AB⎳,⊄平面ABQP,AB⊂平面ABQP,所以⎳平面ABQP.3分又因为⊂平面,平面∩平面ABQP=PQ,所以⎳PQ.5分(II)在平面内过点O作Oy⎳AB.因为AB⊥平面,所以Oy⊥平面.所以Oy⊥OP,Oy⊥.又因为PO⊥AD,所以OD,Oy,OP两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则O0,0,0,A-1,0,0,D4,0,0,C4,2,0,B-1,4,0,P0,0,2,BC=5,-2,0,AP=1,0,2.7分由题意,得CQ=DP=-4,0,2.设平面QBC的法向量为m=x,y,z,m⋅CQ=0,-4x+2z=0,则即5x-2y=0.m⋅BC=0,令x=2,则y=5,z=4.于是m=2,5,4.10分所以cos‹m,AP›=m⋅AP=2.3mAP故直线与平面QBC所成角的正弦值为23.13分3.（2025北京海淀区高三一模(本小题13分)如图,五面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形.(Ⅰ)求证:EF⎳CB；(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=12EF=1,BF=2,求直线DE与平面BCEF所成角的大小.B(16)(本小题13分)C解:(I)由四边形ABCD是正方形,可得BC⎳AD.又因为BC⊄平面ADEF,AD⊂平面ADEF,AF所以BC⎳平面ADEF.DE又因为BC⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC⎳EF.(II)由四边形ABCD是正方形,可得AD⊥AB.又因为平面ABCD⊥平面ABF,所以AD⊥平面ABF.所以AD⊥AF.在△ABF中,因为AB=AF=1,BF=2,所以AB2+AF2=BF,由勾股定理逆定理得AB⊥AF如图,建立空间直角坐标系A-xyz,由已知可得A0,0,0,D1,0,0,F0,1,0,E2,1,0,B0,0,1,C1,0,1.所以,DE=1,1,0,BC=1,0,0,BF=0,1,-1,BC⋅n=0,设平面BCEF的一个法向量为n=x,y,z,则BF⋅n=0,x=0,取y=1,得x=0,z=1.所以n=0,1,1,所以y-z=0.设直线DF与平面BCEF所成角为θ,则sinθ=cos<DE,n>=DE⋅n=⋅nDE12⋅ncos‹DE,n›=DE⋅nDE=12.又因为θ为锐角,所以θ=π6.4.(2025北京朝阳区高三一模16)(本小题13分)-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD中，ABAB=2AD==1E为线段AB的中点．(Ⅰ)求证：A1E⎳平面C1；(Ⅱ)若平面AABB1⊥平面A1AA=2AABB1与平面AC1E夹角的余弦值．解：(Ⅰ)连接DC,EC．因为AB=2,=1,E为ABAE=．又ABCD为平行四边形．所以EC//AD,EC=AD．又因为AD//AD,AD1=AD，所以ADEC,AD1=EC．所以四边形A11为平行四边形．所以A1EDC．又因为A1E⊄平面C1DC⊂平面C1，所以A1E⎳平面C．6分(Ⅱ)因为AA1⊥平面ABCDAA1⊥AB,AA1⊥AD．又因为平面A1ABB1⊥平面A11面A1ABB1∩平面A1=AA,AD⊂平面A1，所以AD⊥平面AABB．所以AD⊥AB．所以AB,AD,AA1两两垂直．如图建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0,1,0)B(2,0,0)A(0,0,2)C(1,1,2)．所以E(1,0,0)EA1=(-1,0,2)AC1=(1,1,0)．因为AD⊥平面AABB1，所以AD=(0,1,0)是平面AABB1的法向量．n⋅EA1=0,设平面AC1E的法向量为n=(x,y,z)即n⋅AC1=0,-x+2z=0,x+y=0.令x=2y=-2,z=1．于是n=(2,-2,1)．设平面AABB1与平面AC1E夹角为θ|AD⋅n|=2cosθ=|cos<AD,n>|=3|AD|✘|n|．13分5.（2025北京丰台区高三一模(本小题14分)P-⊥平面ABCD△为等边三角形，AD‖BC，AB=AD=12BC=2∠ABC=60°．(Ⅰ)求证：AC⊥平面；(Ⅱ)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．解：(Ⅰ)在△ABCAB=2BC=4∠ABC=60°，所以AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=4+16-2×2×4所以AC=23.又AC2+AB2=BC2，所以AC⊥AB.又因为平面⊥平面ABCD，平面∩平面=AB，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面...........5分(Ⅱ)分别取ABBC中点OEOPOE.所以OE‖AC.因为AC⊥AB，所以OE⊥AB.又因为△为等边三角形，所以OP⊥AB.因为AC⊥平面OP⊂平面，所以AC⊥OP.又因为OE‖AC，所以OE⊥OP.所以OBOEOP两两垂直.如图建立空间直角坐标系O-xyz，则A(-100)B(100)P(00，3)E(0，30).所以BP=(-10，3)AD=BE=(-1，30)PD=+AD=(-2，3-3).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BP=0，即n⋅BE=0，-x+3z=0，-x+3y=0.令y=1x=3z=1.于是n=(311).设直线PD与平面PBC所成角为θsinθ=|cos<n,PD>|=|n⋅PD||n||PD|=65.所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为65...........14分6.(2025北京石景山区高三一模18)(本小题14分)P-中，⊥平面ABCDAB=2AB=1BC=1=2AB⊥BCN为PD的中点．(Ⅰ)求证：AN//平面PBC；(Ⅱ)求二面角C-PD-A的余弦值；(Ⅲ)点M在线段APCM与平面所成角的正弦值为63，求点M到平面的距离．解：(Ⅰ)取PC的中点为F结NF,BF，因为N,F分别为PDPC中点，所以NF且NF=12CD，因为ABCDAB=12=1，所以AB//NF且AB=NF，即四边形ABMN是平行四边形．所以ANBF，又AN⊄平面PBCBF⊂平面PBC，所以AN//平面PBC．⋯⋯⋯⋯4分(Ⅱ)取的中点为E结AE．因为ABCDCE=12=1=AB，所以四边形ABCE是平行四边形．则AE=1，因为AB⊥BCABCE是正方形．则AE⊥AB．因为⊥平面ABCDAE,AB⊂平面ABCD，所以⊥AE⊥AB．则,AE,AB两两垂直．如图建立空间直角坐标系A-xyzA(0,0,0)B(0,1,0)，C(1,1,0)D(1,-1,0)P(0,0,2)．因此AP=(0,0,2)AD=(1,-1,0)，=(0,-2,0)PC=(1,1,-2)．设平面的一个法向量为m=(x,y,z)m⋅AP=0,m⋅AD=0,即2z=0，x-y=0令y=1x=1以m=(1,1,0)，设平面的一个法向量为n=(a,b,c)n⋅PC=0，得n⋅=02b=0，a+b-2c=0令c=1a=2以n=(2,0,1)设二面角的平面角为α0<α<π2，所以cosα=|cos<mn>|=|m⋅n||m|⋅|n|=22×5=105，所以二面角C-PD-A的余弦值为105．⋯⋯⋯⋯10分(Ⅲ)AM=k(0≤k≤2)M=(0,0,k)MC=(1,1,-k)．又由(Ⅱ)得平面的一个法向量为m=(1,1,0)，设直线CM与平面所成角为β，所以sinβ=|cos<m,MC>|=|m⋅MC||m|=|1+1|2⋅2+k2=63，解得k=1(负值舍去)，所以点M到平面的距离为|MC⋅n||n|=15=55．⋯⋯⋯⋯14分7.（2025北京房山区高三一模(本小题13分)-ABCD1中，AB=AD=1E为BB1的中点，1与平面A1EC交于点F.(Ⅰ)求证：F为1的中点；(Ⅱ)若二面角C-AF-D的余弦值为33AA1的长度.解：(Ⅰ)在长方体-ABCD1中，因为平面BCCB1∥平面A1，平面A1EC∩平面BCCB1=EC,平面A1EC∩平面A1=AF，所以EC∥AF.同理EA1∥CF.所以1是平行四边形.所以EC=AF.又DF=AF2-AD1=AF2-1,BE=EC2-BC2=EC2-1.所以DF=BE=12BB1=12.所以F为1的中点.(Ⅱ)在长方体-ABCD1中，建立空间直角坐标系A-xyzAA1=t(t>0)，则A(0,0,t)C(1,1,0)E1,0,t.2因此CE=0-1t=(-1,-1,t).CA21设平面A1EC的法向量为=(x,y,z)，则⋅=0,⋅CA=0.1即-y+t-x-y+t⋅z=0.令z=2y=tx=t此=(t,t,2).易知平面A1的法向量为=(1,0,0)⋅|cos<,>|=m=||⋅|||t|t2+t2+4=33.解得t=2.所以AA1=2.8.(2025北京门头沟区高三一模16)-ABCD1中，E为BB1中点，BC1与平面AD1E交于点F.(1)求证：F为BC1的中点；(2)求平面AD1E与平面夹角的余弦值.解:(I)如图所示,因为-ABCD1为正方体,所以平面A1⎳平面BCCB.1分又因为1A1∩平面AD1E=AD1,BCC1B1∩平面AD1E=,所以AD1⎳.2分连接BC,因为AB⎳CD,AB=CD,所以四边形ABCD13分因此AD1⎳BC.4分所以BC1⎳.5分又因为E为BB1中点,所以F为BC16分(II)以点D为坐标原点,如图建立空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,7分则A2,0,0,D10,0,2,E2,2,1.从而AD1=-2,0,2,AE=0,2,1.8分n⋅AD1=0,-2x+2z=0,设平面AD1E的法向量为n=x,y,z,则即2y+z=0.n⋅AE=0,9分令y=-1,则x=z=2,于是n=2,-1,2.10分易知平面的一个法向量为m=0,0,211分方法一:所以cos‹n,m›=n⋅mnm=23.12分所以平面AD1E与平面夹角的余弦值为23.13分方法二:设平面AD1E与平面夹角为θ,cosθ=cos‹n,m›=n⋅m=nm23.13分9.(2025北京顺义区高三一模16)(本小题13分)P-是菱形，∠=120°=AB=2PB=22.(Ⅰ)若平面ACE与棱PD交于点EPB∥平面ACE：E是PD中点；(Ⅱ)若F是棱PDPFPD=23BD⊥PC时，求PC与平面ACF所成角的正弦值.(Ⅰ)设AC与BD交点为O结OE.因为PB∥平面ACE面PBD∩平面ACE=OEPB⊂平面PBD.所以PB∥OEO为ACE是PD中点.⋯⋯⋯5分(II)BD⊥PCBD⊥ACAC∩PC=C.所以BD⊥平面⊂平面以BD⊥.因为PB=22AB==2.所以PB2=AB2+2⊥ABBD∩AB=B.所以⊥平面以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为yO且平行于的直线为zo-xyz.则O(0,0,0)A(0,-1,0)C(0,1,0)P(0,-1,2)D(-3,0,0)．因此AC=(0,2,0)PD=(-3,1,-2)．因为PFPD=23=2以PF3PD=-23,2,-4.333所以F-23,-1,2此AF333=-23,2,2.333设平面ACF的法向量为n=(x,y,z)n⋅AF=0,n⋅AC=0,即-232y=0.23y+23z=0,令x=1z=3．于是n=(1,0,3)．所以cos‹n,PC›=n⋅PC|n||PC|=-232×22=-64．›|=6设PC与平面ACF所成角为θsinθ=|cos‹n,PC4．所以，PC与平面ACF所成角的正弦值为64．⋯⋯⋯13分(II)方法二：取BC中点Q,连结因为四边形为菱形，∠=120°.所以△ABC为等边三角形.所以⊥BC.又因为AD⎳BC.所以⊥AD.因为BD⊥PCBD⊥ACAC∩PC=C.所以BD⊥平面⊂平面以BD⊥.因为PB=22AB==2.所以PB2=AB2+2⊥ABBD∩AB=B.所以⊥平面以A为坐标原点，所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z间直角坐标系o-xyz.则A(0,0,0)C(3,1,0)P(0,0,2)D(0,2,0)．因此PC=(3,1,-2)AC=(3,1,0)PD=(0,2,-2)．因为PFPD=23=2以PF3PD=0,4,-4.33所以F0,4,2=0,4,2此AF.3333设平面ACF的法向量为n=(x,y,z)n⋅AF=0,n⋅AC=0,即3x+y=0,423y+3z=0.令x=1y=-3．z=23于是n=(1,-3,23)．所以cos‹n,PC›=n⋅PC|n||PC|=3-3-434×22=-64．›|=6设PC与平面ACF所成角为θsinθ=|cos‹n,PC4．所以，PC与平面ACF所成角的正弦值为64．⋯⋯⋯13分10.（2025北京延庆区高三一模(本小题14分)P-是矩形，PD⊥底面ABCDPD=AD=2E是PCABE与线段PD交于点F.(Ⅰ)求证：AB⎳FE；(Ⅱ)若CF=5BE与平面BCF所成角的正弦值.解:(I)在矩形中,AB⎳DC,又AB⊄平面DCP,DC⊂平面DCP,所以AB⎳平面DCP.2分又因为AB⊂平面ABE,且平面ABE∩平面DCP=FE,所以AB⎳FE.4分(II)由(I)可知FE⎳DC.又因为E是PC的中点,所以F是PD的中点.5分因为CF=5,即2+DF2=5.故=2.6分因为PD⊥平面,所以PD⊥AD,PD⊥DC.又在正方形中,AD⊥DC,所以,DC,DP两两垂直.如图建立空间直角坐标系D-xyz,7分则B2,2,0,C0,2,0,P0,0,2,E0,1,1,F0,0,1.所以BE=-2,-1,1,BF=-2,-2,1,BC=-2,0,0.10分设平面BCF的一个法向量为n=x,y,z.由BF⋅n=0,BF⋅n=0得-2x-2y+z=0,所以-2x=0.x=0,z=2y.令y=1,得z=2,所以平面BCF的一个法向量为n=0,1,2.12分设直线BE与平面BCF所成角为θ,BE⋅n=1则sinθ=cos<BE,n>=6⋅5BEn=3030.故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为3030.14分11.（2025平谷区高三一模(本小题14分)P-⊥平面,△ADP等腰直角三角形，∠APD=90°,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2,AB=BC=1.(1)点E在棱PD上CE∥平面：E为PD的中点；(2)求DC与平面所成的角.解：(Ⅰ)在△E作//AD交于点F接BF，因为ADBC以BC以BCEF四点共面．⋯⋯因为CE//平面CE⊂平面，平面∩平面=BFCE⎳BF．所以四边形是平行四边形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以BC==12ADE为PD的中点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯(Ⅱ)过P作PO⊥AD于O接OC．因为=PD以O为AD中点，AD=2AO=BC=1ADBCABCOAB⊥ADCO⊥AD因为平面⊥平面AB⊥AD面∩平面=⊂平面以AB⊥平面．所以AB⊥PO以CO⊥PO．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分如图建立空间直角坐标系O-xyz．因为AD=2AB=BC=1A(0,1,0)B(1,1,0)C(1,0,0)D(0,-1,0)P(0,0,1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分所以AB=(1,0,0)=(0,1,-1)DC=(1,1,0)．设平面的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB=0,n⋅=0,即x=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分y-z=0.令z=1y=1．所以n=(0,1,1)．设DC与平面所成角为θ，|n⋅DC|=1则sinθ==|n||DC|1+1⋅2=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分解得θ=π6．所以DC与平面所成的角为π6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分三角函数与解三角形解答题1.（2025北京东城区高三一模(本小题13分)在△ABC中,a=6,b-c=1,sinC=74.(Ⅰ)求b的值及△ABC的面积；(Ⅱ)求证:A=2C.(16)(共13分)解：(Ⅰ)在△ABCb-c=1以b>c.所以C为锐角．因为sinC=74以cosC=34．由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC(b-1)2=36+b2-9b.解得b=5.△ABC的面积S=12absinC=1574.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分(Ⅱ)由a=6,b=5b-c=1c=4.2+c2-a22bccosA=b2+42-622×5×4=5=18.因为C2C∈(0,π).又cos2C=1-2sinC=18=cosA由A∈(0,π)以A=2C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分2.（2025北京西城区高三一模(本小题14分)在△ABC中，acosB+bcosA=4ccosA．(1)求cosA的值；(2)若a=210△ABC存在，求BC边上的高．条件①：B=3π4；条件②：b=6；条件③：cosC=104．(2)问得0个解答计分．(17)(本小题14分)解:(I)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得sinAcosB+sinBcosA=4sinCcosA,3分即sinA+B=4sinCcosA.5分由A+B+C=π,得sinA+B=sinC.7分所以sinC=4sinCcosA.由0<C<π,得sinC≠0.所以cosA=14.8分(II)选择条件②:由A∈0,π,且cosA=14,得sinA=1-cosA=154.9分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得210=62+c2-2×6×c×14,解得c=4或c=-1(舍).12分设边BC上的高为h,则三角形面积S=12bcsinA=12ah,所以h=bcsinAa=4×6×4210=362.14分选择条件③:由A∈0,π,且cosA=14,得sinA=1-cosA=154.9分由C∈0,π,且cosC=104,得sinC=64.所以sinB=sinA+C=154×104+14×64=368.11分由正弦定理,得b=asinBsinA=6,所以边BC上的高h=bsinC=6×64=362.14分3.（2025北京海淀区高三一模(本小题13分)在△ABC中,已知2asinA=331-cos2A,b=26.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B为锐角,,使△ABC存在且唯一,求△ABC的面积.条件①:c=5;条件②:cosA=63;条件③:asinA=3.注:如果选择的条件不符合要求,第(II)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.(17)(本小题14分)解:(I)因为cos2 A=1-2sin2 A,故由2asinA=331-cos2 A可得2asinA=63sin2 A,因为A∈0,π,sinA>0,所以asinA=33,在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,所以bsinB=33,因为b=26,所以sinB=2633=223.(II)选条件②解答如下:因为cosA=63, A∈0,π,所以sinA=1-cos2 A=33,因为sinB=223,∠B为锐角,所以cosB=1-sin2B=13,又因为A+B+C=π,所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=33×13+63×223=539,在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=33,所以c=33sinC=5(或者a=3)又因为sinA=33, b=26所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×26×5×33=52.选条件③解答如下:由(I),asinA=33,且asinA=3,解得a=3,sinA=33,因为a=3<26=b,所以A<B<π2,所以cosA>0,cosA=1-sin2A=63,因为sinB=223,∠B为锐角,所以cosB>0,cosB=1-sin2B=13,又因为A+B+C=π,所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=33×13+63×223=539所以△ABC的面积S=12absinC=12×3×26×539=52.4.(2025北京朝阳区高三一模17)(本小题13分)在△ABC中，bcosA+acosB=c．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)已知sinC=35△ABC△ABC的周长．条件①：∠B=π4；条件②：AB边上的高为32；条件③：a=43.(Ⅱ)问得0一个解答计分．解：(Ⅰ)由正弦定理asinA=bsinB=csinC及bcosA+acosB=c2得sinBcosA+sinAcosB=csinC．所以sin(A+B)=csinC．所以sin(π-C)=csinC．又因为C∈(0,π)sin(π-C)=sinC≠0．所以c=1．5分(Ⅱ)B=π4sinC=35c=1bsinB=csinC，所以b=csinBsinC=526．因为b>c以B>C．所以C∈0,π．2又因为sinC=35以cosC=1-sinC=45．所以sinA=sinπ+C=422×45+22×35=7210．又asinA=csinCa=csinAsinC=726．所以△ABC的周长为a+b+c=1+726+526=1+22．13分c=1AB边上的高为32以S=34．又因为sinC=35以S=12ab×35=310ab．所以ab=52．因为sinC=35cosC=±1-sinC=±45．①当cosC=45时c2=a2+b2-2abcosC1=a2+b2-2ab×45．又ab=52以a2+b2=5．所以a=b=102．所以△ABC的周长为a+b+c=1+10．②当cosC=-45时c2=a2+b2-2abcosC1=a2+b2-2ab×-4．5又ab=52以a2+b2=-3综上，△ABC的周长为a+b+c=1+10．13分5.（2025北京丰台区高三一模(本小题13分)在△ABC中，b2-a2-c2=-117ac．(Ⅰ)求sinB；(Ⅱ)若△ABC的面积为1534得△ABCa．条件①：C=2π3；条件②：b=5；条件③：sinA-sinC=1．(Ⅱ)问得0一个解答计分．解：(Ⅰ)在△ABCb2-a2-c2=-117ac，由余弦定理cosB=a2+c2-b22accosB=1114.因为B∈(0,π)，所以sinB=1-cosB=5314...........5分(Ⅱ)选择条件①：因为C=2π3,所以sinC=32cosC=-12.由题意得S=12absinC=1534，所以ab=15(1).因为cosB=1114sinB=5314sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=5314×-1+21114×32=3314.由正弦定理asinA=bsinBab=35(2)，由(1)(2)解得a2=9以a=3...........13分S=12acsinB=1534ac=21(1).因为b=5b2-a2-c2=-117ac以a2+c2=58.又(a+c)2=a2+c2+2ac=100，所以a+c=10(2