（整理版）第一章基本初等函数II

1、第一章 根本初等函数ii一、根底知识理解去记定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。假设旋转方向为逆时针方向，那么角为正角，假设旋转方向为顺时针方向，那么角为负角，假设不旋转那么为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。假设圆心角的弧长为l，那么其弧度数的绝对值|=,其中r是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点p，设它的坐标为x,y，到原点的距离为r,那么正弦函数sin=,余弦函数cos=

2、,正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=定理1 同角三角函数的根本关系式：倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tan×cos=sin,cot×sin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 诱导公式sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan

3、=(-)=-tan, cot(-)=-cot; sin=cos, cos=sin, tan=cot记法：奇变偶不变，符号看象限。定理3根据图像去记 正弦函数的性质：根据图象可得y=sinxxr的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点k, 0均为其对称中心，值域为-1，1。这里kz.定理4 根据图像去记 余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(xr)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增

4、。最小正周期为2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kz.定理5 根据图像去记 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函数, 最小正周期为，值域为-，+，点k，0，k+，0均为其对称中心。定理6 两角和与差的根本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2

5、coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).口诀记忆：积化和差：前系数：“有余为正，无余为负“前和后差“同名皆余，异名皆正“余后为和，正后为差 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦定理8 倍角公式常考:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 万能公式: , ,定理11

6、*【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，那么取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为，那么sin=,cos=，对任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意abc中有，其中a, b, c分别是角a，b，c的对边，r为abc外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意abc中有a2=b2+c2-2bcosa，其中a,b,c分别是角a，b，c的对边。定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象相位变换；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象周期变换；横坐标不变，纵

7、坐标变为原来的a倍，得到y=asinx的图象振幅变换；y=asin(x+)(>0)的图象周期变换；横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，得到y=asinx的图象振幅变换；y=asin(x+)(, >0)(|a|叫作振幅)的图象向右平移个得到y=asinx的图象。定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(

8、x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nz。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kz. 如果ar，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kz。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 假设，那么sinx<x<tanx.二、根底例题必会1结合图象解题。例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象见图，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2三角函数性质的应

9、用。例2 设x(0, ), 试比拟cos(sinx)与sin(cosx)的大小。【解】 假设，那么cosx1且cosx>-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又0<sinx1, 所以cos(sinx)>0，所以cos(sinx)>sin(cosx).假设，那么因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)<，所以0<sinx<-cosx<，所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)<sin(cosx).例3 ，为锐角，且x·

10、;+->0，求证：【证明】 假设+>，那么x>0，由>->0得cos<cos(-)=sin,所以0<<1，又sin>sin(-)=cos, 所以0<<1，所以假设+<，那么x<0，由0<<-<得cos>cos(-)=sin>0,所以>1。又0<sin<sin(-)=cos，所以>1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期确实定。例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，t=2

11、是函数的周期事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx；其次，当且仅当x=k+时，y=0因为|2cosx|2<,所以假设最小正周期为t0，那么t0=m, mn+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以t0=2。4三角最值问题。例5 函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。【解法一】 令sinx=,那么有y=因为，所以，所以1，所以当，即x=2k-(kz)时，ymin=0，当，即x=2k+(kz)时，ymax=2.例6 设0<<，求sin的最大值。【解】因为0<<，所以，所以sin>0, cos>0.所以sin1

12、+cos=2sin·cos2= =当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。例7 假设a，b，c为abc三个内角，试求sina+sinb+sinc的最大值。【解】 因为sina+sinb=2sincos, sinc+sin, 又因为，由，得sina+sinb+sinc+sin4sin,所以sina+sinb+sinc3sin=,当a=b=c=时，sina+sinb+sincmax=.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法

13、的使用。例8 求的值域。【解】 设t=sinx+cosx=因为所以又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因为t-1，所以，所以y-1.所以函数值域为例9 a0=1, an=(nn+)，求证：an>.【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an，那么an=因为，an，所以an=，所以an=又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。又因为当0<x<时，tanx>x，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证

14、明是很容易的。6图象变换【常考】：y=sinx(xr)与y=asin(x+)(a, , >0).由y=sinx的图象向左平移个，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个，得到y=asin(x+)的图象。例10 例10 f(x)=sin(x+)(>0, 0)是r上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=si

15、n(-x+)，所以cossinx=0，对任意xr成立。又0，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kz)，即=(2k+1) (kz).又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=2时，此时f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，综上，=或2。7三角公式的应用。例11 sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值。【解】 因为-，所以cos(-)=-又因为+，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)

16、cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例12 abc的三个内角a，b，c成等差数列，且，试求的值。【解】 因为a=1200-c，所以cos=cos(600-c)，又由于=，所以=0。解得或。又>0，所以。例13 求证：tan20+4cos70.【解】 tan20+4cos70=+4sin20三、趋近高考必懂1.四川省成都市高三第三次诊断理科计算cot15°tan15°的结果是( )(a)(b) (c)3(d)2【答案】d2.成都高三第三次诊断文科计算cos45°co

17、s15°sin45°cos75°的结果是( )(a)(b)(c)(d)1【答案】c【解析】cos45°cos15°sin45°cos75° cos45°cos15°sin45°sin15° cos(45°15°) cos60° 3. 成都高三第三次诊断文科先把函数f(x)sinxcosx的图象按向量a(，0)平移得到曲线yg(x)，再把曲线yg(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线yh(x)，那么曲线yh(x)的函数表达式为( )

18、(a)h(x)sin(x)(b)h(x)sinx (c)h(x)4sin (x)(d)h (x)4sinx【答案】a【解析】f(x)2sin(x)，按向量a(，0)平移后，得到曲线yg(x) 2sin(x)再把纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线yh(x)sin(x)4. 成都高三第三次诊断理科sin()coscos()sin，那么cos2的值为_.【答案】【解析】因为sin()coscos()sin sin() sin 于是cos212sin2216.(绵阳4月高三三诊理科试题) 本小题总分值12分abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，假设a、b、c成等差数列，b=1，记角a=x，a+c=f (x)当x，时，求f (x)的取值范围；假设，求sin2x的值解：i由 a、b、c成等差数列，得2b=a+c， 在abc中， a+b+c=，于是解得， 在abc中，b=1， ，即 6分由x得x+，于是2，即f (x)的取值范