（整理版）第九章（B）第六讲

1、第九章b 第六讲时间：60分钟总分值：100分一、选择题(8×540分)1二面角l的大小为30°，m，n为异面直线，且m，n，那么m，n所成的角为()a30°b90°c120°d150°答案：a解析：两异面直线所成的角0°90°，故排除b、c、d.2(·吉林延边一模)正方体abcda1b1c1d1中，e为bc1的中点，那么异面直线a1e与cd1所成角等于()a90° b60° c45° d30°答案：d解析：如图，a1e与cd1所成角等于ba1e，因为a1bc1为等

2、边三角形，又e为bc1中点，所以ba1e30°.应选d.3(·黑龙江大庆一模)如下图，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab、b1c的中点，那么ef和平面abcd所成角的正切值为()a. b. c. d2答案：b解析：取bc中点m，连结fm，那么fm平面abcd，连结em，那么fem为所求角设正方体的棱长为2，那么fm1，em，tanfem.应选b.4在四面体abcd中，ad平面dbc，bddc，ad，bddc，那么二面角abcd的大小为()a30° b45°c60° d75°答案：c解析：取bc中点e，易知bc2，ab

3、ac，ae2，de1，ae2ad2de2，知所求角为60°.5如下列图所示，在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90°，abac，d、e分别是bc、ab的中点，ac>ad，设pc与de所成的角为，pd与平面abc所成的角为，二面角pbca的平面角为，那么、的大小关系是()a<< b<<c<< d<<答案：a解析：此题考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念和计算过a作afbc于f，连结pf，那么pfa为二面角pbca的平面角，pfa，pca为异面直线de与pc的夹角，即pca，连ad，pd与平

4、面abc的夹角为pdapda，acab，af<ad，又ac>adaf<ad<ac>>tan>tan>tan，又、为锐角，<<，应选a.6(·全国，9)三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长相等，a1在底面abc上的射影为bc的中点，那么异面直线ab与cc1所成的角的余弦值为()a. b. c. d.答案：d解析：如图，d为bc的中点，那么由题意得a1adbad30°，由三角形余弦公式得cosa1ab，那么异面直线ab与cc1所成的角的余弦值为，应选d.7(·保定市高三年级调研考试)在正四面体sabc中，

5、e为sa的中点，f为abc的中心，那么直线ef与平面abc所成的角的大小为()aarccos b45°carctan darctan答案：c解析：如图连接sf，那么sf平面abc.连结af并延长交bc于h，取线段af的中点g，连结eg，由e为sa的中点，得egsf，eg平面abc，efg即为ef与平面abc所成的角设正四面体的边长为a，那么aha，且afaha；在rtage中，ae，agafa，ega90°，ega.在rtegf中，fgafa，ega，egf90°，tanefg，efgarctan，即ef与平面abc所成的角为arctan，应选c.8(·

6、东北四市联考)把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a、b、c、d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为()a90° b60° c45° d30答案：c解析：如图由条件可知面abc面acd时，三棱锥体积最大，如右图，dbe为所求的角，debe.dbe是等腰直角三角形，故dbe45°，选c.二、填空题(4×520分)9(·上海)如下图，假设正四棱柱abcda1b1c1d1的底面边长为2，高为4，那么异面直线bd1与ad所成角的大小是_(结果用反三角函数值表示)答案：arctan解析：连接d1c.adbc，d1

7、bc即为异面直线bd1与ad所成的角在rtbcd1中，bc2，cd12，tand1bc，d1bcarctan.10(教材改编题)在正四面体abcd中，e为ad的中点，那么二面角ebcd的余弦值为_答案：解析：如图取bc的中点f，连结ef、df，设正四面体棱长为a，那么becedfa，decfa，ef2ce2cf2(a)2(a)2a2，efa.易知bcef，bcdf，efd即为所求二面角的平面角cosefd.11一个平面与正方体的12条棱的夹角均为，那么sin_.答案：解析：如图平面与十二条棱所成的角相等，可归结为与共顶点的三条棱所成的角相等即db，dc，da与平面abc所成的角相等易算得sin

8、.12(·北京崇文一模)如下图，等腰梯形abcd，e、f分别是下底边bc边上的三等分点，adae1，bc3，假设把三角形abe和dcf分别沿ae和df折起，使得b、c两点重合于一点p，那么二面角pefd的大小为_答案：解析：如图为折叠后的几何体，二面角pefd的大小即为侧面aefd与底面efp所成的角，显然为.三、解答题(4×1040分)13(·重庆)如下图，四棱锥pabcd中，abad，addc，pa底面abcd，paaddcab1，m为pc的中点，n点在ab上且annb.(1)求证：mn平面pad；(2)求直线mn与平面pcb所成的角解析：(1)证明：过点m作

9、mecd交pd于e点，连结ae.annb，anabdcem.又emdcab，em綊an，aemn为平行四边形，mnae，mn平面pad.(2)解：过n点作nqap交bp于点q，nfcb于点f.连结qf，过n点作nhqf于h，连结mh，易知qn面abcd，qnbc，而nfbc，bc面qnf，bcnh，而nhqf，nh平面pbc，nmh为直线mn与平面pcb所成的角通过计算可得mnae，qn，nf，nh，sinnmh，nmh60°，直线mn与平面pcb所成的角为60°.14(·广西柳州三模)如下图，直平行六面体abcda1b1c1d1中，adbd，adbda，e是cc

10、1的中点，a1dbe.(1)求证：a1d平面bde；(2)求二面角bdec的大小解析：(1)证明：在直平行六面体abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，aa1bd.又bdad，bd平面add1a1，即bda1d.又a1dbe且bebdb，a1d平面bde.(2)解：如图，连b1c，那么b1cbe，易证rtbcertb1bc，又e为cc1中点，bc2bb.bb1bca.取cd中点m，连结bm，那么bm平面cc1d1c，作mnde于n，连nb，由三垂线定理知：bnde，那么bnm是二面角bdec的平面角在rtbdc中，bma，rtced中，易求得mna，rtbmn中，tanbnm，那么二面

11、角bdec的大小为arctan.15如图，正方体abcda1b1c1d1中，e为ab的中点(1)求直线b1c与de所成的角的余弦值；(2)求证：平面eb1d平面b1cd；(3)求二面角eb1cd的余弦值解析：(1)连结a1d，那么由a1db1c知，b1c与de所成的角即为a1d与de所成的角连结a1e，由正方体abcda1b1c1d1，可设其棱长为a，那么a1da，a1edea，cosa1de.直线b1c与de所成角的余弦值是.(2)证明取b1c的中点f，b1d的中点g，连结bf，eg，gf.cd平面bcc1b1，且bf平面bcc1b1，dcbf.又bfb1c，cdb1cc，bf平面b1cd.

12、又gf綊cd，be綊cd，gf綊be，四边形bfge是平行四边形，bfge，ge平面b1cd.ge平面eb1d，平面eb1d平面b1cd.(3)连结ef.cdb1c，gfcd，gfb1c.又ge平面b1cd，efb1c，efg是二面角eb1cd的平面角设正方体的棱长为a，那么在efg中，gfa，efa，cosefg，二面角eb1cd的余弦值为.16(·全国，18)如下图，直三棱柱abca1b1c1中，abac，d、e分别为aa1、b1c的中点，de平面bcc1.(1)求证：abac；(2)设二面角abdc为60°，求b1c与平面bcd所成的角的大小解析：(1)证明：取bc中点f，连结ef，那么ef綊b1b，从而ef綊da.连结af，那么adef为平行四边形，从而afde.又de平面bcc1，故af平面bcc1，从而afbc，即af为bc的垂直平分线，所以abac.(2)解：作agbd，垂足为g，连结cg.由三垂线定理知cgbd，故agc为二面角abdc的平面角由题设知，agc60°.设ac2，那么ag.又ab2，bc2，故af.由ab·adag·b