双曲线的定义和标准方程(优秀)

1、1F2F 0, c 0, cXYO yxM,( ) (1)取一条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点 F1、F2(3)把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线oF2 2F1 1M 注意注意F2F112121,202_MFMFaaFF若则图形为12122,202_MFMFaaFF若则图形为F2 2F1 1MxOy|MF1| - |MF2|=2a22222xcyxcya 即2222()()2xcyxcya 222222()2()xcyaxcy 222()cxaaxcy 22222222()()ca xa ya ca122222acyax222bac令1222

2、22acyaxPxyoacb在椭圆中在椭圆中222bca令在双曲线中在双曲线中F2 2F1 1MxOyacb得到焦点在得到焦点在x轴上轴上的双曲线标准方程的双曲线标准方程)0, 0( 12222babyax如果焦点在如果焦点在y轴上，则双曲轴上，则双曲线的标准方程为：线的标准方程为：22221(0,0)yxabab其焦点坐标为其焦点坐标为(0,-c)，(0,c)表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线问题问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判对于一个具体的双曲线方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？断它的焦点在哪条轴上呢？哪个系数是正的，它对应

3、的字母哪个系数是正的，它对应的字母（x或或y）就是焦点所在轴）就是焦点所在轴xyF1(0,-c)M(x,y)F2(0,c)O22221(0,0)xyabab其中：其中：222cab222cab| |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab椭圆以大小论长短椭圆以大小论长短双曲线以正负定实虚双曲线以正负定实虚课本例课

4、本例2 求适合下列条件的双曲线的求适合下列条件的双曲线的标准方程：标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在焦点在x轴上；轴上；(2)焦点为焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点，且经过点(2,-5)2211 69xy2222222|20562056|4525412016aabyx依 题 意 得 ， c=6， 焦 点 在 y轴 上（） （）（） （）， 即， 所 以双 曲 线 方 程 为 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s, ,可知可知A A地与

5、爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例) )已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地地晚晚2 2s, ,且且声速为声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，如图所示，建建立直角坐标系立直角坐标系xO

6、Oy, ,设设爆炸爆炸点点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB 即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2(x,y)如图如图,设点，的坐标分设点，的坐标分别为别为(-5,0)，(5,0)直线直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是相交于点，且它们的斜率之积是 ，求点的轨迹方程，求点的轨迹方程49xyOABM解：设点的坐标为解：设点的坐标为(x,y) ,因为点的坐

7、标为因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线所以，直线AM的斜率的斜率(5);5AMykxx 同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率4(5)559yyxxx 由已知有由已知有221(5).100259xyx 化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为(5);5BMykxx 求证：双曲线与椭圆求证：双曲线与椭圆的焦点相同的焦点相同221515xy证明：双曲线化为标准方程证明：双曲线化为标准方程因为因为所以所以22115xy焦点在焦点在x轴，故焦点坐标为轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)15,1ab221259xy1514c 因为椭圆中因为椭圆中5,3ab所以所以2594c 焦点在焦点在x轴

8、，故焦点坐标为轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)所以双曲线与椭圆的焦点相同所以双曲线与椭圆的焦点相同22(2)1(0)?xymnmn是否表示双曲线x00nmy00nmm11222mymx221?21xymm若式子为呢总结提升总结提升1-2m116922yx12514422xy112222mymx答：在答：在 X 轴。（轴。（-5，0）和（）和（5，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-13）和（）和（0，13）答：在答：在x 轴。（轴。（ -1 ，0 ）和（）和（ 1， 0）判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在正的的那个轴上。焦点

9、在正的的那个轴上。1.判定下列双曲线的焦点在？轴，并指明判定下列双曲线的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标和焦距。写出焦点坐标和焦距。4、若、若M为双曲线为双曲线 上一点，上一点，F1、F2分别为双曲线分别为双曲线的左、右焦点，并且的左、右焦点，并且MF1=8,则则MF2= .116922yx3、已知双曲线的方程为：、已知双曲线的方程为： ，请，请填空：填空： a= ，b= ，c= ，焦点坐标为焦点坐标为 ，焦距等于，焦距等于 .1366422yx10 6820(-10,0)、(10,0)2 2或或1414191622yx191622xyCByAx225、什么时候表示双曲线？什么时候表

10、示双曲线？A、B 异号时异号时什么时候表示椭圆呢？什么时候表示椭圆呢？AB且且A,B,C同号同号问题问题6:6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系有何区别与联系? ?F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab椭圆以大小论长短椭圆以大小论长短双曲线以正负定实虚双曲线以正负定实虚如果我是双曲线

11、如果我是双曲线, 你就是那渐近线你就是那渐近线. 如果我是反比例函数如果我是反比例函数, 你就是那坐标轴你就是那坐标轴. 虽然我们有缘虽然我们有缘, 能够生在同一个平面能够生在同一个平面. 然而我们又无缘然而我们又无缘, 慢慢长路无交点慢慢长路无交点. 为何看不见为何看不见, 等式成立要条件等式成立要条件. 难到正如书上说的难到正如书上说的, 无限接近不能达到无限接近不能达到. 为何看不见为何看不见, 明月也有阴晴圆缺明月也有阴晴圆缺, 此事古难全此事古难全, 但愿千里共婵娟但愿千里共婵娟. 请欣赏请欣赏类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？义吗？ 双曲线

12、上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是 _a=8 判断下列双曲线的焦点位置，判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距并求出焦点坐标和焦距(2)(2)a=4,b=3,c=5, , 焦点在焦点在y轴，轴，焦点焦点(0(0，-5)-5)、(0(0，5)5)，焦距为，焦距为101022(1)13 66 4xy(1)(1)a=6,b=8,c=10, , 焦点在焦点在x轴，轴， 焦点焦点(-10(-10，0)0)、(10(10，0)0)，焦距为，焦距为2020；2216436xy22|PF1|- -|PF2|= 2a= 16=6- -_2222(2)1169yx22(2)1(0

13、)?xymnmn是否表示双曲线x00nmy00nmm11222mymx221?21xymm若式子为呢总结提升总结提升1-2m 求适合下列条件的双曲线的求适合下列条件的双曲线的标准方程：标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在焦点在x轴上；轴上；(2)焦点为焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点，且经过点(2,-5)2211 69xy2222222|20562056|4525412016aabyx依 题 意 得 ， c=6， 焦 点 在 y轴 上（） （）（） （）， 即， 所 以双 曲 线 方 程 为如图如图,设点，的坐标分设点，的坐标分别为别为(-5,0)，(5,0)直线直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程，求点的轨迹方程49xyOABM解：设点的坐标为解：设点的坐标为(x,y) , 因为点的坐标为因为点的坐标为(-5,0) ,所以，直线所以，直线AM的斜率的斜率(5);5AMykxx 同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率4(5)559yyxxx 由已知有由已知有221(5).100259xyx 化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为(5);5BMykxx 求证：双曲线与椭圆求证：双曲线与椭圆的焦点相同的焦点相同221515xy证明：双曲线化为标准方程证明：双曲线化为标