函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1、【知识回顾】【知识回顾】 三个基本三角函数的图象和性质函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx图象图象 函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx定定义义域域R RR Rx|xkx|xk+ ,kZ + ,kZ 值域值域-1,1-1,1-1,1-1,1R R函函数数的的最最值值最大值最大值1,1,当且仅当且仅当当_ _ 最小值最小值-1,-1,当且当且仅当仅当_ _ 最大值最大值1,1,当且仅当且仅当当_最小值最小值-1,-1,当且仅当且仅当当_无最大值无最大值和最小值和最小值2x2k,kZ2x2k,kZ2x=2k,k

2、Zx=2k-,kZ函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx单调单调性性增区间增区间_减区间减区间_ _ 增区间增区间_减区间减区间_增区间增区间_ k 2,2k 2(kZ)2k 2,23k 2(kZ)2k2-,k2(kZ)k2,k2+(kZ)(k,2k)(kZ)2函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx奇偶奇偶性性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数周期周期性性周期为周期为2k,2k,k0,kZ,k0,kZ,最小正周期最小正周期为为_周期为周期为2k,2k,k0,kZ,k0,kZ,最小正周期最小正周期为为_周期为周

3、期为k,k,k0,kZ,k0,kZ,最小正周期最小正周期为为_22函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx对对称称性性对对称称中中心心_ _ _ _ 对对称称轴轴_ _ _无对称轴无对称轴零点零点k,kZk,kZk+ ,kZk+ ,kZk,kZk,kZ(k,0),kZkZk,0 ,2()k,0kZ2()，xk,kZ2 x=k,kZ21.y=1.y=AsinAsin( (x+x+) )的物理意义的物理意义当函数当函数y=y=AsinAsin( (x+x+)(A0,0),x0,+)(A0,0),x0,+)表示简表示简谐振动时谐振动时, ,几个相关的概念如表几

4、个相关的概念如表:振幅振幅周期周期频率频率相位相位初相初相A A T= T=_ _21f_Tx+x+2【教材知识精梳理】【教材知识精梳理】1.已知函数f(x)= 的图象经过点(0,1),则该函数的振幅为_,周期T为_,频率为_,初相为_.2sin(x)(|)32 【解析】振幅A=2,T= =6,f= ,因为图象过点(0,1),所以1=2sin,所以sin= ,又|0,0)(A0,0)的简图的简图(1)定点:如表所示(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象.(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+)在R上的图象.

5、(,0)2(,A)(,0)32(, A)2(,0)1.“五点法”作图时,五个关键点的横坐标之间有什么关系? 提示:“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .14【教材拓展微思考教材拓展微思考】【典例典例】( (1)(2015湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表: x+x+0 022x xAsinAsin( (x+x+) )0 05 5-5-50 0(0,| |)2232356请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.【解析】【解析】 根据已知表格中的数据可得方程组A 5,3253,62

6、 解得A=5,=2,=- .数据补全如表: 6x+x+0 0 22x x AsinAsin( (x+x+) )0 05 50 0-5-50 0232312712561312且函数解析式为f(x)=5sin .(2x)6图象变化规律图象变化规律(其中其中A0，0)(1)先平移后伸缩00ysinx 向左或向右平移个单位长度的图象_011()ysin x 横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变的图象1A 10 A 1_()ysinx 纵坐标伸长或缩短为原来的倍 横坐标不变的图象【教材知识精梳理】【教材知识精梳理】3.3.由函数由函数y=y=sinxsinx的图象变换得到的图象变换得到y=y=AsinAs

7、in( (x+x+) )的的图象图象的步骤的步骤Ay=Asin(x+)(2)先伸缩后平移A 10 A 1_()ysinx 纵坐标伸长或缩短为原来的倍 横坐标不变的图象A_011()yAsinx 横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变的图象1_00yAsin x 向左或向右平移个单位的图象|y=Asin(x+)_011()yAsinx 横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变的图象A 10 A 1_()ysinx 纵坐标伸长或缩短为原来的倍 横坐标不变的图象【教材拓展微思考教材拓展微思考】2.利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度是一致的吗?提示:“先平移,后伸缩”的平移长度

8、为|,而“先伸缩,后平移”的平移长度为 .故当1时平移的长度不相等.|3.函数y=Asin(x+)的图象横向伸长(或缩短)时,周期和x的系数是如何变化的?提示:函数y=Asin(x+)的图象横向伸长(或缩短)时,周期变大(小),x的系数变小(大).1.为了得到函数y=2sin(2x- )的图象,可以将函数y=2sin2x的图象()A.向右平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度36633【随堂练习随堂练习】A【解析】选A.y=2sin(2x- )=2sin2 ,可由函数y=2sin2x的图象向右平移 个单位长度得到.63(x)62.为了得到y=3

9、cos 的图象,只需把y=3cos 图象上的所有点的()A.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变D.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变(3x)8(x)81313【随堂练习随堂练习】D【解析】选D.因为变换前后,两个函数的初相相同,所以只需把y=3cos 图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,即可得到函数y=3cos 的图象.(x)8(3x)813【典例典例】(2)(2016全国卷)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为()(2x)614A.y2sin(2x) B.y2sin( 2x)4

10、3C.y2sin(2x) D.y2sin(2x) 43D【规范解答】(1)选D.由函数y=2sin 得周期T= =,将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期,即为函数y=2sin 的图象向右平移 个单位,得y= 解得y=2sin .(2x)622(2x)614(2x)642sin2(x) 46，(2x)3【拓展提升拓展提升】1.(2016全国卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为()12kkA.x(k Z) B.x(k Z)2626kkC.x(k Z) D.x(k Z)212212 B【解析】选B.平移后图象的解析式为y=2sin2 ,令2 =k+ ,

11、kZ, 得对称轴方程x= (kZ).(x)12(x)122k26 2.若把函数y=sin 的图象向左平移 个单位,所得到的图象与函数y=cosx的图象重合,则的一个可能取值是()( x)6 3321A.2 B. C. D.232A【解析】选A.把函数y=sin 的图象向左平移 个单位,得到函数y=sin 的图象,又函数y=cosx=sin ,不妨取 ,解得=2,验证B,C,D选项,可知均不满足.( x)6 3( x)36 ( x)2 362 【技法点拨技法点拨】1.1.画函数画函数y=y=AsinAsin( (x+x+)(A0,0)(A0,0)图象的两种常用图象的两种常用方法方法(1)(1)五

12、点法作图五点法作图: :用用“五点法五点法”作作y=y=AsinAsin( (x+x+) )的简的简图图, ,主要是通过变量代换主要是通过变量代换, ,设设z=z=x+x+, ,由由z z取取0, ,0, , ,2 ,2来求出相应的来求出相应的x,x,通过列表通过列表, ,计算得出五点坐计算得出五点坐标标, ,描点后得出图象描点后得出图象. .232(2)图象变换法图象变换法:由函数由函数y=sinx的图象通过变换得到的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两种途径的图象有两种途径:“先平移后伸缩先平移后伸缩”与与“先伸缩后平移先伸缩后平移”.2.三角函数图象的左右平移时应注意的三点三角

13、函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向弄清楚平移方向,平移哪个函数的图象平移哪个函数的图象,得到哪个函得到哪个函数的图象数的图象.(2)注意平移前后两个函数的名称一致注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致若不一致,应先应先利用诱导公式化为同名函数利用诱导公式化为同名函数.(3)由由y=Asinx的图象得到的图象得到y=Asin(x+)的图象时的图象时,需平移的单位数应为需平移的单位数应为 而不是而不是|.提醒提醒:y=Asin(x+)的图象横向伸缩规律的图象横向伸缩规律,可联系周可联系周期计算公式期计算公式T= 进行记忆进行记忆;纵向伸缩规律纵向伸缩规律,可联系函可联系函数的最

14、值进行记忆数的最值进行记忆. |2| |【加固训练加固训练】1.(2017广州模拟)若把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移 个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sinx的图象,则函数y=f(x)的解析式为()4BA.y sin(2x) 1 B.y sin(2x) 14211C.y sin( x) 1 D.y sin( x) 12422【解析】选B.将y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变),得到y=sin2x的图象,再将所得图象向上平移1个单位,得到y=sin2x+1的图象,再把函数y=sin2

15、x+1的图象向右平移 个单位,得到y=sin2 +1的图象,即为函数f(x)的图象,所以f(x)=sin2 +1=sin +1.4(x)4(x)4(2x)22.已知函数y=2sin ,(1)求它的振幅、周期、初相.(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象.(3)说明y=2sin 的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.(2x)3(2x)3【解析】(1)y=2sin 的振幅A=2,周期T= =,初相= .(2)令X=2x+ ,则y=2sin =2sinX,列表:(2x)32233(2x)3描点连线得函数图象:(3)把y=sinx的图象上所有的点向左平移 个单位,得到y=sin 的图象

16、,再把y=sin 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到y=sin 的图象,最后把y=sin 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 的图象.3(x)3(x)312(2x)3(2x)3(2x)3【作业】 课时提升作业课时提升作业 二十二十第四节第四节函函y=Asin(x+)的图的图象及三角函数模型的简单应用象及三角函数模型的简单应用 （第二课时）（第二课时）由图象求解析式及三角函数模型的应用由图象求解析式及三角函数模型的应用【典例典例】(1)(2016(1)(2016全国卷全国卷)函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+) )的的部分图象如图所

17、示部分图象如图所示, ,则则( () )A.y 2sin(2x) B.y 2sin(2x)63C.y 2sin(x) D.y 2sin(x)63【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.由题图知由题图知,A=2, ,A=2, 故故T=T=,= =2,= =2,所以所以y=2sin(2x+y=2sin(2x+).).因为图象过点因为图象过点 , ,所以所以2sin =2,2sin =2,则则 + +=2k+ (=2k+ (kZkZ),),取取k=0,k=0,则则=- ,=- ,故故y=2sin .y=2sin .T(),2362 2(2)3，(2)3 2326(2x)6【技法点拨技法点拨】1.

18、1.确定确定y=y=Asin(x+Asin(x+)+B(A)+B(A0,0)0,0)的解析式的步骤的解析式的步骤(1)(1)求求A,B,A,B,确定函数的最大值确定函数的最大值M M和最小值和最小值m,m,则则 (2)(2)求求,确定函数的周期确定函数的周期T,T,则则= .= .M mM mAB.22，2T(3)(3)求求, ,常用方法有常用方法有: :代入法代入法: :把图象上的一个已知点代入把图象上的一个已知点代入( (此时要注意该此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上点在上升区间上还是在下降区间上) )或把图象的最高点或把图象的最高点或最低点代入或最低点代入. .五点法五点法: :确定确定值时值时, ,