通信系统理论工具学习教案

1、会计学1通信系统理论通信系统理论(lln)工具工具第一页，共43页。 3.1 随机信号的性质 3.2 随机过程的基本概念 3.3 平稳随机过程 3.4 高斯随机过程 3.5 窄带随机过程 3.6 通信系统(xtng)中常见的噪声 3.7 随机过程通过线性系统(xtng)学习(xux)目录第1页/共43页第二页，共43页。 2.7 随机(su j)过程及其在通信中的应用通信(tng xn)系统中很多需要进行分析的信号都是随机信号，所以用以描述随机现象的概率论、随机过程、数理统计等随机数学立论成了必不可少的理论工具。第2页/共43页第三页，共43页。一、随机变量(su j bin lin)的概率分

2、布随机变量：若某种试验随机变量：若某种试验A的随机结果用的随机结果用X表示，则称表示，则称X为随机变为随机变量，并设其取值为量，并设其取值为x。随机变量的分布函数：随机变量随机变量的分布函数：随机变量X取值不超过取值不超过(chogu)某个数某个数x的概率的概率P(X x)，记为，记为FX(x)=P(X x)，称此函数为随机变量，称此函数为随机变量X的分的分布函数。布函数。分布函数的性质分布函数的性质(1) 当当x-时，时，FX(x)0，记为：，记为：FX(-)=0；(2) 当当x+时，时，FX(x)1，记为：，记为：FX(+)=1；(3) 设设x1x2，则有：，则有：FX(x1) FX(x2

3、)3.1 随机(su j)信号的性质第3页/共43页第四页，共43页。二、随机变量(su j bin lin)的概率密度连续随机变量概率密度：连续随机变量概率密度：随机变量随机变量X在任何区间在任何区间(a,b上取值的概率可写成：上取值的概率可写成：(1)(2) 分布分布(fnb)函数函数FX(x)是单调递增函数，即是单调递增函数，即 ；(3) 任何随机变量的概率密度曲线下的面积恒等于任何随机变量的概率密度曲线下的面积恒等于1。dxxdFxpXX)()( 概率密度是分布概率密度是分布(fnb)(fnb)函数函数的导数的导数baXdxxpbXaP)()()()()(xXPdyypxFxXX0)(

4、xpX3.1 随机信号的性质1 dxxpX)(第4页/共43页第五页，共43页。3.1 随机(su j)信号的性质离散随机变量概率密度：离散随机变量概率密度：对于对于(duy)离散随机变量，可以将其分布函数表示为：离散随机变量，可以将其分布函数表示为：离散随机变量概率密度由其分布函数离散随机变量概率密度由其分布函数FX(x)求导而得。求导而得。它表示当它表示当xxi时，时，pX(x)=0；当；当x=xi时，时， pX(x)= 。 niiiXxxupxF1)()( niiiXxxpxp1)()(第5页/共43页第六页，共43页。三、随机变量的数字(shz)特征数学数学(shxu)期望：对于连续随

5、机变量，其数学期望：对于连续随机变量，其数学(shxu)期望定义为：期望定义为：数学数学(shxu)期望的性质：期望的性质：(1) 若随机变量若随机变量X1,X2,Xn的数学的数学(shxu)期望存在，且期望存在，且各量之和的数学各量之和的数学(shxu)期望也存在，则有：期望也存在，则有：(2) 常量与随机变量之和的数学常量与随机变量之和的数学(shxu)期望：期望：(3) 若随机变量若随机变量X和和Y相互独立，则相互独立，则XdxxxpXEX )()(又称统计(tngj)平均值)()()()(nnXEXEXEXXXE 2121)()(XECXCE )()()(YEXEXYE 3.1 随机信

6、号的性质第6页/共43页第七页，共43页。三、随机变量(su j bin lin)的数字特征方差：是随机变量方差：是随机变量X与其数学期望与其数学期望 之差的平方的数学期望之差的平方的数学期望对于对于(duy)离散随机变量而言，上述方差的定义可写成：离散随机变量而言，上述方差的定义可写成：对于对于(duy)连续随机变量而言，方差的定义：连续随机变量而言，方差的定义：)()(22XXEXDX X称为称为(chn wi)标准偏差标准偏差X3.1 随机信号的性质2222222222XXXXXXXXXE )( iiipXxXD2)()(pi是是X X取值为取值为x xi的概率的概率 dxxpXxXDX

7、)()()(2第7页/共43页第八页，共43页。3.1 随机(su j)信号的性质方差的性质方差的性质(1) 常量的方差等于常量的方差等于0，即，即D(C)=0；(2) 设设D(X)存在，存在，C为常量，则：为常量，则：(3)设设D(X)和和D(Y)都存在，且相互独立都存在，且相互独立(dl)，则，则对于多个互相独立对于多个互相独立(dl)的随机变量，不难证明：的随机变量，不难证明：)()(XDCXD)()(2XDCCXD)()()(YDXDYXD)()()()(nnXDXDXDXXXD 2121第8页/共43页第九页，共43页。定义：设E=e是一个样本空间，若对每一时刻tT，都有定义在E上的

8、随机变量X(t,e)与之对应(duyng)，则称依赖t的一组随机变量X(t,e), tT, eE是一个随机过程，常简化为X(t), tT。 通信系统中的信号和噪声通信系统中的信号和噪声(zoshng)(zoshng)都是随机的。都是随机的。 一、随机(su j)过程的定义数学期望数学期望：方差方差自相关函数自相关函数自相关函数表示在两个时刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程度。 )(),()(iXiitmdxtxxptXE2)()()(iiitXEtXEtXD )()(),(2121tXtXEttRX 3.2 随机过程的基本概念第9页/共43页第十页，共43页。一维分布一维分布(fnb)

9、(fnb) 一维概率分布一维概率分布(fnb)(fnb)函数函数 一维概率密度函数一维概率密度函数 一维概率函数一维概率函数二、随机(su j)过程的概率分布( , )( )iiF x tP X tx( )iiipP X tx3.2 随机(su j)过程的基本概念xtxFtxpii ),(),(第10页/共43页第十一页，共43页。二维分布(fnb) 二维概率分布(fnb)函数 二维概率密度函数12121122( ,; , )( ),( )F x x t tP X tx X tx相互(xingh)独立),(),(),;,(2211212121txFtxFttxxFXX 3.2 随机(su j)

10、过程的基本概念21212122121xxttxxFttxxp ),;,(),;,(第11页/共43页第十二页，共43页。多维分布(fnb) 多维概率分布(fnb)函数 多维概率密度函数12121122( , , , ; , , , ) ( ), ( ), , ( )nnnnnF x xx t ttPX tx X txX tx3.2 随机(su j)过程的基本概念nnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxp 2121212121),.,;,.,(),.,;,.,(第12页/共43页第十三页，共43页。两个时刻抽样(chu yn)点的混合矩自相关函数自相关函数(hnsh)(hnsh)互相关函数

11、互相关函数(hnsh)(hnsh)自协方差函数自协方差函数(hnsh)(hnsh)互协方差函数互协方差函数(hnsh)(hnsh)121212121212( ,)( )() (,;,)XRt tE X tX tx x f xxt tdx dx 121212( ,)( )() ( ,;,)XYRt tE X t Y txyf x y t tdxdy 1211221212( ,)( )( )( )( ) ( ,)( )( )XXXXxxCt tEX tmtX tmtRt tm t m t1211221212( ,)( )( )( )( ) ( ,)( )( )XYXYXYXYCt tEX tmtY

12、 tmtRt tmt mt3.2 随机(su j)过程的基本概念第13页/共43页第十四页，共43页。独立、不相关(xinggun)和正交的关系相互相互(xingh)(xingh)独立独立正交正交互不相关互不相关1212( , ; ,)( , )( ,)XYf x y t tfx tfy t12( ) ( )0E X t Y t12121212( ,)cov( ),() ( ,)( )()0XYXYXYCt tX tY tRt tmtmt3.2 随机过程的基本概念),(),(),;,(2121tyFtxFttyxF第14页/共43页第十五页，共43页。四、随机过程(guchng)的基本分类按统

13、计特性(txng)分类按记忆特性(txng)分类平稳(pngwn)随机过程和非平稳(pngwn)随机过程纯粹随机过程马尔可夫过程独立增量过程112211( , ;, ;,)(, )nnnnjjjF x t x tx tF x t1122221111( ,|,;,;, ; , )( ,|,)nnnnnnnnnnnnF x txtxtx t x tF x txt11()( )( ,) iiiiX tX tX t t 相互独立3.2 随机过程的基本概念第15页/共43页第十六页，共43页。按概率分布分类按功率(gngl)谱特性分类高斯(o s)随机过程和非高斯(o s)随机过程白噪声(zoshng)

14、过程和有色噪声(zoshng)过程3.2 随机过程的基本概念第16页/共43页第十七页，共43页。 3.3 平稳(pngwn)随机过程平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程，在通信领域(ln y)中占有重要地位。若一个随机过程X(t)统计特性与时间起点无关，则称此随机过程是在严格意义上的平稳随机过程，简称严格平稳随机过程：),.,;,.,(),.,;,.,( nnnnnntttxxxptttxxxp21212121数学期望：数学期望：方差方差(fn ch)自相关函数自相关函数实际中，若同时满足随机过程的数学期望与实际中，若同时满足随机过程的数学期望与t无关为常数；自相关函无关为常数；自相

15、关函数只与时间间隔有关时，则称此随机过程为宽平稳随机过程。数只与时间间隔有关时，则称此随机过程为宽平稳随机过程。CmtXEX)(CtXEtXEtXDX22)()()()()(),(2121XXXRttRttR第17页/共43页第十八页，共43页。平稳随机(su j)过程的自相关函数及其性质 3.3 平稳随机(su j)过程自相关函数：自相关函数：性质性质(1) 随机过程随机过程X(t)的平均功率的平均功率(gngl)(2) 随机过程随机过程X(t)的直流功率的直流功率(gngl)(3)(4) 随机过程随机过程X(t)的的R()在在=0时取最大值。时取最大值。(5) 随机过程随机过程X(t)的交

16、流功率的交流功率(gngl)()()(tXtXERXPtXER)()0(2CtXER)()(2)()( RR)0()(RR2)()0( RR第18页/共43页第十九页，共43页。 3.3 平稳随机(su j)过程平稳随机(su j)过程的功率密度一个非周期确定的功率信号的自相关函数(hnsh)与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对于平稳随机过程同样成立，即平稳过程的功率谱密度PX(f)与其自相关函数(hnsh)R()是一对傅里叶变换。deRfPjX)()(dfefPRjX)()(第19页/共43页第二十页，共43页。 3.3 平稳(pngwn)随机过程例3-1：某随机相位(xingwi)余

17、弦波，其中A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。(1)求X(t)的自相关函数与功率谱密度；(2)讨论X(t)的各态历经性。0sinsincoscos2)sinsincos(cos221)cos()()(20202020dtdtAdttAdtAtXEtmcccccX注：各态历经性是平稳随机(su j)过程的统计平均值等于它的任意一次实现的时间平均值。解：(1) 考察X(t)是否广义平稳，求其数学期望第20页/共43页第二十一页，共43页。 3.3 平稳(pngwn)随机过程0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(122

18、2012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEtXtXEttRcccccccX(t)的自相关函数令t2-t1=，得故X(t)为广义(gungy)平稳随机过程)()(cos2),(221RAttRc第21页/共43页第二十二页，共43页。根据功率谱密度(md)PX(f)与其自相关函数R()是一对傅里叶变换：所以功率谱密度(md)为：(2)求时间平均： 3.3 平稳随机(su j)过程)()()(cosccc)()(2)(2ccXAP0)cos(1lim22TTcTdttATmcTTccTTcTTTccTAdttdtTAdttAtATRcos2)22cos(cos

19、2lim)(cos)cos(1lim)(22222222计算得a=a, R()= R()，因此随机(su j)相位余弦是各态历经的。第22页/共43页第二十三页，共43页。 3.4 高斯(o s)随机过程高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，如，常见的热噪声就是一种高斯过程。若一个(y )随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示： )(exp)(),.,;,.,(/ njnkkkkjjjjknnnXaxaxBBBtttxxxp11212122121212122)();(k

20、kkkkatXEtXEa11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatXatXEB)()(其中归一化协方差函数(hnsh)归一化协方差矩阵的行列式第23页/共43页第二十四页，共43页。 3.4 高斯(o s)随机过程高斯随机过程的随机变量之间既互不相关，又相互(xingh)独立。可仅研究一维高斯过程的性质。高斯随机过程性质(将pX(x)记为p(x)(1) p(x) 对称与直线x=a，即p(a+x)=p(a-x)(2) p(x)在a点达到极大值 ，p(x)在区间(-,a)内单调上升，在区间(a,)内单调下降；在x时，p(x)0。(3)(4) p(x)中，a表示分布中心，表示

21、集中程度，p(x)图像会随着的减小而变高和变窄。当a=0, =1时，称p(x)为标准正态分布的密度函数。a21)(xfx0)2/(11)(dxxp2/exp212)(exp21)(222xaxxp第24页/共43页第二十五页，共43页。 3.5 窄带随机(su j)过程在通信系统中，由于设备和信道受带通特性限制(xinzh)，信号和噪声的频谱常被限制(xinzh)在一个较窄的频带内。换句话说，若信号或噪声的带宽和其“载波”或中心频率相比很窄，则称其为窄带随机过程。0ff 窄带随机(su j)过程可表示为：0)()(cos)()(0tatttatXXXXX(t)的随机包络X(t)的随机相位窄带随

22、机过程还可改写为：ttXttXtXSC00sin)(cos)()()(sin)()()(cos)()(ttatXttatXXXSXXCX(t)的同相分量X(t)的正交分量第25页/共43页第二十六页，共43页。设X(t)是一个0均值平稳窄带高斯过程。分析X(t)对应(duyng)的两分量的特性(1) 数学期望：(2) 自相关函数：由于X(t)是平稳的，故有： 3.5 窄带(zhi di)随机过程0sin)(cos)()(00ttXEttXEtXESC0)(0)(tXEtXESC)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),()()(),(00000000

23、ttttRttttRttttRttttRtXtXEttRCSCCSCX)(),(XXRttR第26页/共43页第二十七页，共43页。若令t=0，则上式表示为：若令 ，则有：有上述分析(fnx)可知，若X(t)是平稳的窄带随机过程，则其两分量也是平稳的。若之上两式同时成立，则有 3.5 窄带(zhi di)随机过程00sin)(cos)()(CSCXRRRct200sin)(cos)()(SCSXRRR)()()()(SCCSSCRRRR) 0() 0() 0(SCXRRR222scX这表明(biomng) Xc(t)、Xs(t)、X(t)具有相同的平均功率或方差。第27页/共43页第二十八页，

24、共43页。噪声来源:自然噪声、人为噪声、电路噪声；出现特性：脉冲型噪声和连续型噪声；功率谱形状：白噪声和有色噪声；作用方式(fngsh)：加性和乘性噪声；概率分布服从高斯分布就称它为高斯噪声； 3.6 通信系统中常见(chn jin)的噪声第28页/共43页第二十九页，共43页。功率谱密度(md)： 单位是W/Hz 自相关函数： 20nPn RO20n PO20n一、白噪声(zoshng) 3.6 通信系统中常见(chn jin)的噪声 2221)(2100ndendePRjjX第29页/共43页第三十页，共43页。绝大多数通信系统中的热噪声都具有均匀的功率谱密度。虽然热噪声的功率均匀分布在从

25、直流到106MHz的范围内，并不是所有频带，但在通信系统工作频率范围内热噪声是均匀分布的，所以(suy)只要通信系统的带宽远小于热噪声带宽，就可以把热噪声看作是白噪声。 3.6 通信(tng xn)系统中常见的噪声第30页/共43页第三十一页，共43页。定义：噪声瞬时幅度值的概率分布服从高斯分布（正态分布）。重要性质：（1）n维分布完全由数学期望、方差及两两之间的相关函数所决定；（2）广义平稳(pngwn)的也是严格平稳(pngwn)的，因而与时刻t1无关；（3）互不相关，则统计独立；二、高斯(o s)噪声2)(exp21),(221axtxpXa为均值为均值(jn zh)为标准偏差为标准偏差

26、 3.6 通信系统中常见的噪声第31页/共43页第三十二页，共43页。三、窄带高斯(o s)噪声在通信系统中，由于设备和信道受带通特性限制，信号和噪声的频谱常被限制在一个较窄的频带内。换句话说，若信号或噪声的带宽(di kun)和其“载波”或中心频率相比很窄，则称其为窄带随机过程。表示法一：表示法一： 表示法二：表示法二： 0 tttttnc,cos ttnttntttttttncsccccsincossinsincoscos (x)为为X(t)的随机的随机(su j)包络包络(t)为为X(t)的随机相位的随机相位 3.6 通信系统中常见的噪声第32页/共43页第三十三页，共43页。222nn

27、nscnc(t)和和ns(t)特性特性(1) n(t)是一个是一个0均值平稳窄带高斯噪声，则均值平稳窄带高斯噪声，则nc(t)和和ns(t)也是也是0均值平均值平稳窄带高斯噪声；稳窄带高斯噪声； Enc(t)Ens(t)0 (2) 由于由于n(t)是平稳的，故有：是平稳的，故有： ，即它与时间，即它与时间(shjin)起点无关，仅与起点无关，仅与有关。有关。(3)n(t)在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的nc(t)和和ns(t)是不相关的，且统计独立。是不相关的，且统计独立。)(),(XXRttR 3.6 通信系统中常见(chn jin)的噪声第33页/共43页第三十四页，共43页。 经计算

28、得到(d do)结论：一个均值为0，方差为的平稳高斯窄带过程，其包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布，并且，就一维分布而言随机包络和随机相位是统计独立的。 )(),(),(ppp 2021220222 ddppnnexp),()(02222 nndppexp),()( 3.6 通信系统(xtng)中常见的噪声第34页/共43页第三十五页，共43页。 3.7 随机过程(guchng)通过线性系统通信系统的作用就是传递信号，而通信系统中所遇到的信号或噪声一般都是随机的，因此我们需要讨论随机过程通过系统后输出过程的问题。本书，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析(fn

29、x)，是建立在确知信号通过线性系统的分析(fnx)原理的基础上的。即若系统的响应为vo(t)/Vo()，输入信号为vi(t)/ Vi() ，系统的单位冲激响应为h(t)/H()，则有：dthvthtvtviio)()()()()()()()(ioVHV第35页/共43页第三十六页，共43页。 3.7 随机过程(guchng)通过线性系统若线性系统是物理(wl)可实现的，则0)()()(dthvtvio若把vi(t)看作是输入(shr)随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。则输入(shr)过程Xi(t)的每个样本与输出过程 Xo(t)的响应样本之间满足：假定输入(shr

30、)过程Xi(t)是平稳随机过程，根据上述关系，可求出系统输出过程Xo(t)的统计特性。0)()()(dtXhtXio第36页/共43页第三十七页，共43页。 3.7 随机(su j)过程通过线性系统输出过程输出过程Xo(t)的数学的数学(shxu)期望：期望：输出过程的数学输出过程的数学(shxu)期望等于输入过程的数学期望等于输入过程的数学(shxu)期望与期望与直流传递函数直流传递函数H(0)的乘积，与时间的乘积，与时间t无关。无关。输出过程输出过程Xo(t)的自相关函数：的自相关函数：000)()()()()()(dhadtXEhdtXhEtXEiio0)()0(dhH)0()(HatX

31、Eo 011001011111)()()()()()()()()()(),(ddtXtXEhhdtXhdtXhEtXtXEttRiiiiooo)()()(11iiiRtXtXE)()()()(),(0011oioRddRhhttR 第37页/共43页第三十八页，共43页。 3.7 随机(su j)过程通过线性系统输出过程输出过程Xo(t)的功率的功率(gngl)谱密度：谱密度： 令令= +-输出过程输出过程Xo(t)的概率分布：的概率分布：从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，利用输入输出关系从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，利用输入输出关系式总可以确定输出过程的分布。式总可以确定输出过程的分布。注：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也注：如果线性系