二离散型随机变量函数的分布教学学习教案

1、会计学1二离散型随机变量二离散型随机变量(su j bin lin)函数函数的分布教学的分布教学第一页，共52页。.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXfZYXZZYX 为了解决(jiju)类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.第1页/共51页第二页，共52页。例1 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,jij

2、iyYPxXPyYxXP 得YX421318. 012. 042. 028. 0因为 X 与 Y 相互独立, 所以解二、离散(lsn)型随机变量函数的分布第2页/共51页第三页，共52页。可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0第3页/共51页第四页，共52页。结论(jiln)的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随

3、机变量函数),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1 , ),( kpjikyxfzij第4页/共51页第五页，共52页。的分布函数为则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),( xyOzyx yxyxpyzdd),( yux yuyyupzdd),( .dd),(uyyyupz 1. Z=X+Y 的分布(fnb)第5页/共51页第六页，共52页。由此可得概率密度函数为.d),()( yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时,也也可可表表示示为为)(zpZ,d)()()( yyp

4、yzpzpYXZ.d)()()(xxzpxpzpYXZ 或第6页/共51页第七页，共52页。,21)(22 yeypyY 例4 设两个独立的随机变量(su j bin lin) X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,21)(22 xexpxX 由于由于解解.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由由公公式式第7页/共51页第八页，共52页。.)2 , 0(分布分布服从服从即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze xeezpxzxZd21)(2)(222 xeezxzd212242 得第8页/共51页第九页，共52页。说明(shumng).,(,).,(),

5、(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独立且设设一般一般 有限(yuxin)个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立(dl)，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.第9页/共51页第十页，共52页。为确定积分(jfn)限,先找出使被积函数不为0的区域 例6 若X和Y 独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度 . 其它其它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解: 由卷积公式(gngsh) 1010 xzx也即 zxzx110第10页/共51页第十一页，共

6、52页。为确定积分限,先找出使被积函数不为(b wi)0的区域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如图示:1010 xzx也即zxzx110于是(ysh) dxxzpxpzpYXZ)()()(第11页/共51页第十二页，共52页。的分布的分布YXZ . 2分布函数为的则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ zYXP xyOzyx 1G2GyxyxpGdd),(1 yxyxpGdd),(2 yxyxpyzdd),(0 ,dd),(0yxyxpyz ,yxu 令令第12页/共51页第十三页，共52页。yxyxpGdd),(1 yxyxpyzdd),(

7、0 yuyyuypzdd),(0 uyyyuypzdd),(0 同理可得 zGuyyyuypyxyxp02,dd),(dd),(故有)(zZPzFZ yxyxpGdd),(1 yxyxpGdd),(2 第13页/共51页第十四页，共52页。yyyzypyyyzypzpd),(d),()(00 .d),(yyyzpy 当 X, Y 独立(dl)时,.d)()()(yypyzpyzpYX .dd),(d),(00uyyyuypyyyuypz 由此可得分布(fnb)密度为第14页/共51页第十五页，共52页。., 0, 0,2)(, 0, 0,)(,2的概率密度函数的概率密度函数试求试求其它其它其它

8、其它它们的概率密度分别为它们的概率密度分别为相互独立相互独立寿命寿命的灯泡的的灯泡的分别表示两只不同型号分别表示两只不同型号设设YXZyeypxexpYXYXyYxX ,d),(d),()(00yyyzypyyyzypzpZ 解由公式例7第15页/共51页第十六页，共52页。 ., 0, 0, 0,2),(2其它其它yxeeyxpyx得所求密度(md)函数)0(时时当当 z)0(时时当当 z,0)( zpZ,)2(22z yeyzyd2)2(0 yeeyzpyyzZd2)(20 得 .0,0,0,)2(2)(2zzzzpZ第16页/共51页第十七页，共52页。),min(),max(YXNYX

9、M 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设第17页/共51页第十八页，共52页。则有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP 第18页/共51页第十九页，共52页。).(1)(1 1zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(1 1)(minzFzFzFYX 第19页/共51页第二十页，共52页。推广(tugung)的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),

10、min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(1 1)(minnzFzF 第20页/共51页第二十一页，共52页。若 X与Y 相互独立同分布(fnb)且为连续型随机变量,X的分布(fnb)密度为p(x), 则M

11、与N的分布(fnb)密度为 上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量(su j bin lin) 相互独立同分布,令 则它们的分布函数分别为 )().(1 2)()().(2)(zpzFzpzpzFzpNM nXXX.,21)maxnnXXXXM.,min(N ),.,(1,1, 第21页/共51页第二十二页，共52页。)(.)(n1)()(.)(n)(1 -n1 -nzpzFzpzpzFzpNM n)()(zFzFM n)(11)(zFzFN 第22页/共51页第二十三页，共52页。例1* 设X,Y独立同分布(fnb),PX=i=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(

12、X,Y)的分布(fnb)律. 解 从而M的分布(fnb)律为 952113312; 22; 11; 2291111; 11 MPMPMPYXPYXPYXPMPYPXPYXPMP第23页/共51页第二十四页，共52页。类似(li s)可得N的分布率为 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 从而(cng r)M的分布律为第24页/共51页第二十五页，共52页。002.25( ),( ),0,0,min(,).( )1(0)( )1(0)xuxXyvyYXExpYExpXYZX YFxeduexFyedvey 例已知例已知与 相互独立 求的分布密度与

13、 相互独立 求的分布密度解 由题设知解 由题设知第25页/共51页第二十六页，共52页。()()( )11( )1( )1(0)( )()(0)().ZXYzzZZFzFzFzezPzezZExp 则 的分布函数为则 的分布函数为则则说明说明第26页/共51页第二十七页，共52页。1. 离散(lsn)型随机变量函数的分布律的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1),( kpjikyxfzij第27页/共51页第二十八

14、页，共52页。2. 连续型随机变量函数(hnsh)的分布的分布的分布YXZ )1(的分布的分布及及),min(),max()3(YXNYXM 的分布的分布YXZ )2(第28页/共51页第二十九页，共52页。 xd)zx, x(pyd)y, yz(p)z(pZ（5）Z=kx+Y,(k0)的概率密度为 xd)kxz, x(p)z(pZ（6）Z=XY的概率密度为 xd)xz, x(p|x1|)z(pZ第29页/共51页第三十页，共52页。第30页/共51页第三十一页，共52页。例1 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密度分别为 , 0, 10, 1)(xxfX其它. , 0, 0,)(ye

15、yfyY其它.求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度.),(yxf 由于 X 与Y 相互独立,所以 ( X,Y ) 的分布密度函数为解)()(yfxfYX ., 0, 0, 10,其它其它yxey第31页/共51页第三十二页，共52页。.dd2yxezYXy )(zZPzFZ 2zYXP yxyxfzYXdd),(2 xyOzyx 2)0, 10( yx随机变量 Z 的分布(fnb)函数为第32页/共51页第三十三页，共52页。所以随机变量 Z 的分布(fnb)密度为 . 2,2)1(, 20,2)1(, 0, 0)()(2zeezezzFzfzzZZ 102202. 2,d)1 (, 20,d

16、)1 (, 0, 0)(zxezxezzFzxzzxZ第33页/共51页第三十四页，共52页。解),max(54321XXXXXD 设设例2.4),max(:., 0, 0,1)(:,55432182543212的概率的概率试求试求其它其它且都服从同一分布且都服从同一分布机变量机变量设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随察值为察值为得到的观得到的观次次测量了测量了对某种电子装置的输出对某种电子装置的输出 XXXXXzezFXXXXXze第34页/共51页第三十五页，共52页。,)()(5maxzFzF 因因为为41 DP.)1(152ee )4(1maxF 5)4(1F 4 DP所以所以第3

17、5页/共51页第三十六页，共52页。. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻其它其它它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻在一简单电路中在一简单电路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxpRRRR 解的概率密度为的概率密度为由题意知由题意知 R.d)()()( xxzpxpzpR例3第36页/共51页第三十七页，共52页。 ,100,100 xzx当当,10,100时时即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被积函数不为零 xxzpxpzpR第37页/共51页第三十八页，共52页。) 1 (.,

18、0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其它zzRzxxzpxpzxxzpxpzp ., 0,100,5010)(其它将xxxp此时(c sh)第38页/共51页第三十九页，共52页。.),(iii),(ii),(i),2121图所示图所示如如开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例9度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL第39页/共51页第

19、四十页，共52页。 , 0, 0, 0,)(xxexfxX由由解串联情况串联情况(i),21就就停停止止工工作作系系统统中中有有一一个个损损坏坏时时由由于于当当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL , 0, 0, 0,1)(xxexFxX , 0, 0, 0,)(xxexfxX , 0, 0, 0,)(yyeyfyY第40页/共51页第四十一页，共52页。 ; 0, 0, 0,)(yyeyfyY由由 . 0, 0, 0,1)(yyeyFyY)(1)(1

20、1)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,1)(zzez . 0, 0, 0,)()()(minzzezfz第41页/共51页第四十二页，共52页。的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的分布函数为的分布函数为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),1)(1(zzeezz . 0, 0, 0,)()()(maxzzeeezfzzz并联情况并联情况(ii),21才停止工作才停止工作系统系统都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LLL第42页/共51页第四十三页，共52页。,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系

21、统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzyee0)(d zyzyee0)(d备用的情况备用的情况(iii)第43页/共51页第四十四页，共52页。例1 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是XY1010221221221221解,相互独立相互独立与与因为因为YX第44页/共51页第四十五页，共52页。),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221第45页/共51页第四十六页，共52页。XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(Y