集合问题中常见易错点归类分析答案

1、集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变.初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全， 而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1 .代表元素意义不清致误例 1 设集合 A= (x, V) X+2 y=5,B= (x, V)1X 2 y=3,求 AB错解： 由x + 2y =5x 2y = 3x = 1c得从而Al B=1 , 2.J = 2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合 A、B中元素为点集，所以 A riB = (1 , 2)例 2 设集合 A = y I y=x2+i, x w R , B = x I y= v'

2、;x + 2,求 A n B .错解： 显然 A= y|y>lB= xly>2.所以 An B=B .分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,从而A = yI y > 1,但集合B中的元素为x,所以B = x I x>0,故A A B=A .变式：已知集合 A = y | y = x2 +1,集合 B =y | x = y2,求 A。B解：A = y | y = x2 +1 = y | y 2 1 , B=y|x=y2 = RA B =y |y _122_例3设集合A=x x6 = 0,B=x|x x6= 0 ,判断A与B的关系。错解：A = B=

3、2,3分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合 A中的元素属性是方程， 集合B中的元素属性是数，故 A与B不具包含关系。例4设B = 1,2 , A=x|x? B,则A与B的关系是()A. A? B B. B? A C. AC B D. BC A错解：B分析：选D. /B的子集为1 , 2 , 1,2 , ?, .A = x|x? B=1 , 2 , 1,2 , ?,从集合与集合的角度来看待A与B,集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待 B 与 A,

4、 BC A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 a= 1 , 3, a, b= 1, a2 a + i ,且 a二B,求 a 的值.错解：经过分析知，若 a2 a+1 =3，则a2 a - 2 = 0，即a = T或a = 2 .若 a2 a+1 =a,则 a2 2a+1 = 0，即 a = 1 .从而 a = 1 , 1, 2.分析 当a=i时，a中有两个相同的元素 1,与元素的互异性矛盾，应舍去，故例6 设人= x I x2+(b + 2)x + b+l = 0,b WR,求A中所有元素之和.

5、错解：由 X2 + (b + 2) x + b+ l = O 得 (x+1) (x + b + 1) = 0(1 )当b = 0时，x i = X2 - 1 ,此时A中的元素之和为一2 .(2)当 b ¥0 时，x i + X2 = b 2 .分析 上述解法错在(1 )上，当b = 0时，方程有二重根1 ,集合A= 1 ,故元素之和为一1 ,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” .评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求

6、。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。3 .忽视空集的特殊性致误例 7 若集合 A=x|x2+x 6=0, B=x|mx+ 1 = 0,且 B三 A,求实数 m 的值.错解：A= x|x2+x- 6=0 = - 3,2.B 注 A,(1) B=-3mx+ 1 = 0的解为一3,1 由 m(3)+1 = 0,得 m = -;3(2) B =2mx+1 = 0的解为2,1 由 m2+1 = 0,得 m= 2;八，一11综上所述，m =或m = 一32分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B=e的情况。正解：A= x|x2+x- 6=0 = - 3,2.- B A,(1) B=d,

7、此时方程 mx+1=0无解，m=0(2) B=-3mx+ 1 = 0的解为一3,1由 m (-3)+1 = 0,得 m = -;3(3) B =2mx+1 = 0的解为2,1由 m2+1 = 0,得 m= 2;1 .1 .综上所述，m= 或m =- 或m=0 32例 8 已知 A=x|x2 +4x=0 , B=x|x2+2(a+1)x + a2 1 = 0,若 B= A,求 a的取值范围。解：A =x|x2 4x =0 =-4,0(1) B=" A =4(a+1)2 4(a2 1)=8(a+1) <0,即 a <1(2) B =工，方程 x2 +2(a+1)x+a2 -1

8、 =0有两等根4, = 0'a = _1由J9 得所以无解16-8(a +1) +a2 -1 =0§ =1 或7(3) b =0,方程 x2 +2(a+1)x + a2 1 = 0有两等根o所以a = 1a=0/日'a = -12得*a 1=0 a = ±1!L(4) B=4,0,方程 x2 +2(a+1)x + a2 1=0有两不等根4,l 01a 一1由_4 +0 = -2(a +1)得 <a =1 ，所以 a =1-4*0 =a2 -1a =±1综上所述，2=1或24-1例 9已知集合 A=x|x<1 或x>4, B=x|2

9、a WxWa+3,若 B J A,求a 的取值范围。解：(1) B =4 , 2a >a +3得a >3(2) B #弧则 a E3”3或a + 3 < -1a <32a >4得 acM 或 2<aM3综上所述 a < -4或a >2例10 已知集合 A=x|xc 1 或x >4 , B =x| 1 a Ex E1 + a,若 Ab =G , 求a的取值范围。解：(1) B =6 ,则a <0,符合题意a >0(3) B。，则1 a 之一1= 0 Ma W21 +a <4综上所述，a <2变式：已知集合 A =x |

10、 x < -1或 x > 4 , B=x|1aMxE1+a,若 AB# ，求 a的取值范围。解：当aCb =中时，a <2所以当Ab"小时，a >2评注：对于任何集合A ,皆有A n* = *,AU*=A, ©土 A.4的特殊性不容忽视.尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能 是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘 了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。4 .忽视端点值能否取得致误例 11 已知集合 A = x I x > 4 ,或 xV5 , B = x

11、I a+lWxW a+3,若AUB = A，求a得取值范围.错解：由AU B = A得B三A.，a + 3w5,或 a+i>4,解得 aw 8,或 a>3.分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当 a = 8时，不符合题意；当 a =3时，符合题意，故正确结果应为av8,或a>3.评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号, 否则会导致解题结果错误.5 .忽视隐含条件致误例 12 设全集 U= 2, 3,a2 + 2a-3,A=l2 a II, 2,CuA=5,求实数a的值.错解：Q A= 5 , 5 W S且 5 更 A,从而，a2 +

12、2 a 3 = 5 ,解得 a =2 ,或 a = - 4 .分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为U是全集，所以A EU.当a = 2时，12 a- 1 1=3 w s ,符合题意；当 a = 4时，12 a- 1 1=9更s ,不符合 题意；故a = 2.评注：在解有关含参数的集合时， 需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件.6、忽视补集的含义致错1例13已知全集I = R,集合M =xx -x<0,集合N =x| <1,则下列关 x系正确的是()AB.CT" D. -J：-R11错解：N =x|1 <1的补集为Ci N =x|- >1,故选Co xx剖析：本题错误地认为A=x| f(x)M0的补集为CiA=x| f(x) >0。事实上对于全集I=R,由补集的定义有AUcI A = R，但幻式幻工口)Ux|f外>口>x| f(x) W0Ux| f(x) >0 =x 使 f(x)有意义，xW R,即为 f(x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有A=x| f(x)E0的补集为CI A=x| f (x) >0,否则先求 A,再求 CIA。一一1x -1正解：N =x|W1 =x|之 0 = x | x < 0或 x 之