（整理版）课时作业(五十二)

1、课时作业(五十二)1不同直线m、n及不重合平面、，给出以下结论：m，n，mnm，n，mnm，n，mnm，n，mn()a1个b2个c3个 d4个答案c解析m不一定与平面垂直，所以平面与与中两平面可以相交，没有任何实质意义只有2(·安徽)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，那么“是“ab的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案a解析假设，因为m，b，bm，那么根据两个平面垂直的性质定理可得b.又因为a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.3m、n是两条不同的直线，、()a假设，那

2、么b假设mn，m，n，那么c假设mn，m，那么nd假设mn，m，n，那么答案d解析对于选项a，两平面、同垂直于平面，平面与平面可能平行，也可能相交；对于选项b，平面、可能平行，也可能相交；对于选项c，直线n可能与平面平行，也可能在平面内；对于选项d，由mn，m，n.又n，应选d.()a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案d解析对于d，假设平面平面，那么平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的5m、n是两条不同的

3、直线，、()a假设m，n，那么mn b假设m，n，那么mnc假设m，m，那么 d假设，那么答案b解析对于选项a，假设m，n，那么m与n可能平行、相交或异面；对于选项c，与也可能相交；对于选项d，与也可能相交应选b.6如图，在正方形abcd中，e、f分别是bc和cd的中点，g是ef的中点，现在沿着ae和af及ef把正方形折成一个四面体，使b、c、d三点重合，重合后的点记为h，那么，在四面体aefh中必有()aahefh所在平面bagefh所在平面chfaef所在平面dhgaef所在平面答案a解析addf，abbe，又b、c、d重合记为h，ahhf，ahhe.ah面efh.7如图，四边形abcd中

4、，abadcd1，bd，bdcd.将四边形abcd沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，那么以下结论正确的选项是()aacbdbbac90°cca与平面abd所成的角为30°d四面体abcd的体积为答案b解析取bd的中点o，abad，aobd，又平面abd平面bcd，ao平面bcd.cdbd，oc不垂直于bd，假设acbd，oc为ac在平面bcd内的射影，ocbd，矛盾，ac不垂直于bd.a错误；cdbd，平面abd平面bcd，cd平面abd，ac在平面abd内的射影为ad，abad1，bd，abad，abac，b正确；cad为直线ca与平面abd所成的角

5、，cad45°，c错误；vabcdsabd·cd，d错误，应选b.8. 在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m为ab的中点，那么点c到平面a1dm的距离为()a.a b.ac.a d.a答案a解析设点c到平面a1dm的距离为h，那么由得dma1ma，a1da，sa1dm×a×a2，连接cm，scdma2，由vca1dmva1cdm，得sa1dm·hscdm·a，即a2·ha2·a.所以ha，即点c到平面a1dm的距离为a，选a.9. 如下图，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e、f分

6、别是点a在pb、pc上的正投影，给出以下结论：afpb；efpb；afbc；ae平面pbc.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知pa平面abc，pabc.又acbc，paaca，bc平面pac.bcaf.afpc，bcpcc，af平面pbc.afpb，afbc.又aepb，aeafa，pb平面aef.pbef.故正确10四面体abcd中，acbd，e、f分别是ad、bc的中点，且efac，bdc90°.求证：bd平面acd.证明如下图，取cd的中点g，连接eg、fg、ef.e、f分别为ad、bc的中点，eg綊ac，fg綊bd.又acbd，fgac.在efg中，eg2fg2ac2ef

7、2.egfg.bdac.又bdc90°，即bdcd，accdc，bd平面acd.11. 如图，在三棱柱abca1b1c1中，acbc，abbb1，acbcbb12，d为ab的中点，且cdda1.(1)求证：bb1平面abc；(2)求证：bc1平面ca1d；(3)求三棱锥b1a1dc的体积解析(1)证明：acbc，d为ab的中点，cdab.又cdda1，cd平面abb1a1.cdbb1.又bb1ab，abcdd，bb1平面abc.(2)证明：连接bc1，连接ac1交ca1于e，连接de，易知e是ac1的中点又d是ab的中点，那么debc1.又de平面ca1d，bc1平面ca1d，bc1

8、平面ca1d.(3)由(1)知cd平面aa1b1b，故cd是三棱锥ca1b1d的高，在rtacb中，acbc2，ab2，cd.又bb12，vb1a1dcvca1b1dsa1b1d·cda1b1×b1b×cd×2×2×.12. (·江苏)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，a1b1a1c1，d，e分别是棱bc，cc1上的点(点d不同于点c)，且adde，f为b1c1的中点求证：(1)平面ade平面bcc1b1；(2)直线a1f平面ade.证明(1)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc，又ad平面abc，所以

9、cc1ad.又因为adde，cc1，de平面bcc1b1，cc1dee，所以ad平面bcc1b1.又ad平面ade，所以平面ade平面bcc1b1.(2)因为a1b1a1c1，f为b1c1的中点，所以a1fb1c1.因为cc1平面a1b1c1，且a1f平面a1b1c1，所以cc1a1f.又因为cc1，b1c1平面bcc1b1，cc1b1c1c1，所以a1f平面bcc1b1.由(1)知ad平面bcc1b1，所以a1fad.又ad平面ade，a1f平面ade，所以a1f平面ade.13. (·新课标)如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb90°，acbcaa1，

10、d是棱aa1的中点(1)证明：平面bdc1平面bdc；(2)平面bdc1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比解析(1)证明：由题设知bccc1，bcac，cc1acc，所以bc平面acc1a1.又dc1平面acc1a1，所以dc1bc.由题设知a1dc1adc45°，所以cdc190°，即dc1dc.又dcbcc，所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1，故平面bdc1平面bdc.(2)设棱锥bdacc1的体积为v1，ac1.由题意得v1××1×1.又三棱柱abca1b1c1的体积v1，所以(vv1)v111.故平面bdc1分此棱柱所得两局部

11、体积的比为11.14(·江西)如图，在梯形abcd中，abcd，e，f是线段ab上的两点，且deab，cfab，ab12，ad5，bc4，deade，cfb分别沿de，cf折起，使a，b两点重合于点g，得到多面体cdefg.(1)求证：平面deg平面cfg；(2)求多面体cdefg的体积解析(1)证明：因为deef，cfef，所以四边形cdef为矩形由gd5，de4，得ge3.由gc4，cf4，得fg4.所以ef5.在efg中，有ef2ge2fg2，所以eggf.又因为cfef，cffg，所以cf平面efg.所以cfeg.所以eg平面cfg，即平面deg平面cfg.(2)在平面egf

12、中，过点g作ghef于点h，那么gh.因为平面cdef平面efg，所以gh平面cdef.所以vcdefgscdef·gh16.15(·广东)如下图，在四棱锥pabcd中，ab平面pad，abcd，pdad，e是pb的中点，f是dc上的点且dfab，ph为pad中ad边上的高(1)证明：ph平面abcd；(2)假设ph1，ad，fc1，求三棱锥ebcf的体积；(3)证明：ef平面pab.解析(1)由于ab平面pad，ph平面pad，故abph.又ph为pad中ad边上的高，故adph.abada，ab平面abcd，ad平面abcd，ph平面abcd.(2)由于ph平面abcd

13、，e为pb的中点，ph1，故e到平面abcd的距离hph.又因为abcd，abad，所以adcd.故sbfc·cf·ad×1×.因此vebcfsbcf·h××.(3)证明：过e作egab交pa于g，连接dg.由于e为pb的中点，所以g为pa的中点因为dadp，故dpa为等腰三角形，所以dgpa.ab平面pad，dg平面pad，abdg.又abpaa，ab平面pab，pa平面pab，dg平面pab.又ge綊ab，df綊ab，ge綊df.四边形dfeg为平行四边形故dgef，于是ef平面pab.1. 如图，pa矩形abcd所在平

14、面，m，n分别是ab，pc的中点(1)求证：mncd；(2)假设pda45°，求证：mn平面pcd.证明(1)连接ac，pa平面abcd，paac，在rtpac中，n为pc中点anpc.pa平面abcd，pabc.又bcab，paaba，bc平面pab，bcpb.从而在rtpbc中，bn为斜边pc上的中线，bnpc.anbn，abn为等腰三角形又m为底边的中点，mnab，又abcd，mncd.(2)pda45°，paad，apad.abcd为矩形adbc，pabc.又m为ab的中点，ambm.而pamcbm90°，pmcm，又n为pc的中点，mnpc.由(1)知m

15、ncd，pccdc，mn平面pcd.2. 如图，矩形abcd，过a作sa平面ac，再过a作aesb交sb于e，过e作efsc交sc于f.(1)求证：afsc；(2)假设平面aef交sd于g，求证：agsd.证明(1)sa平面ac，bc平面ac，sabc.abcd为矩形，abbc且saaba.bc平面sab.又ae平面sab，bcae.又sbae且sbbcb，ae平面sbc.又sc平面sbc，aesc.又efsc且aeefe，sc平面aef.又af平面aef，afsc.(2)sa平面ac，dc平面ac，sadc.又addc，saada，dc平面sad.又ag平面sad，dcag.又由(1)有sc

16、平面aef，ag平面aef，scag且sccdc，ag平面sdc.又sd平面sdc，agsd.3. (·江苏)如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60°，e，f分别是ap，ad的中点求证：(1)直线ef平面pcd；(2)平面bef平面pad.解析(1)在pad中，因为e，f分别为ap，ad的中点，所以efpd.又因为ef平面pcd，pd平面pcd，所以直线ef平面pcd.(2)连接bd.因为abad，bad60°，所以abd为正三角形因为f是ad的中点，所以bfad.因为平面pad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abc

17、dad，所以bf平面pad.又因为bf平面bef，所以平面bef平面pad.4直棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是直角梯形，badadc90°，ab2ad2cd2.(1)求证：ac平面bb1c1c；(2)在a1b1上是否存在一点p，使得dp与平面bcb1和平面acb1都平行？证明你的结论解析(1)证明：直棱柱abcda1b1c1d1中，bb1平面abcd，bb1ac.又badadc90°，ab2ad2cd2，ac，cab45°.bc.bc2ac2ab2，bcac.又bb1bcb，bb1平面bb1c1c，bc平面bb1c1c，ac平面bb1c1c.(2)

18、存在点p，p为a1b1的中点由p为a1b1的中点，有pb1ab，且pb1ab.又dcab，dcab，dcpb1，且dcpb1.dcb1p为平行四边形，从而cb1dp.又cb1平面acb1，dp平面acb1，dp平面acb1.同理，dp平面bcb1.5. (·安徽理)如图，abedfc为多面体，平面abed与平面acfd垂直，点o在线段ad上，oa1，od2，oab，oac，ode，odf都是正三角形(1)证明：直线bcef；(2)求棱锥fobed的体积解析(1)(综合法)设g是线段da与线段eb延长线的交点，由于oab与ode都是正三角形，所以ob綊de，ogod2.同理，设g是线段

19、da与线段fc延长线的交点，有ogodg和g都在线段da的延长线上，所以g与g重合在ged和gfd中，由ob綊de和oc綊df，可知b，c分别是ge和gf的中点，所以bc是gef的中位线，故bcef.(向量法)过点f作fqad，交ad于点q，连接qe，由平面abed平面adfc，知fq平面abed，以q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如下图空间直角坐标系由条件e(，0,0)，f(0,0，)，b(，0)，c(0，)那么有(，0，)，(，0，)所以2，即得bcef.(2)由ob1，oe2，eob60°，知seob，而oed是边长为2的正三角形，故soed，所以sobe

20、dseobsoed.过点f作fqad，交ad于点q，由平面abed平面acfd知，fq就是四棱锥fobed的高，且fq，所以vfobedfq·sobed.6. (·辽宁文)如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：pq平面dcq；(2)求棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值解析(1)由条件知pdaq为直角梯形因为qa平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交线为ad.又四边形abcd为正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dqpqpd，那么pqqd.又dqdcd，所以pq平面dcq.(2)设aba.由题设知aq为棱锥qabcd的高，所以棱锥qabcd的体积v1a3.由(1)知pq为棱锥pdcq的高，而pqa，dcq的面积为a2，所以棱锥pdcq的体积v2a3.故棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值为1.7. (·潍坊质量抽测)三棱锥sabc中，平面asc平面abc，o、d分别为ac、ab的中点，ascscdadac.(1)求证：平面asc平面bcs；(2)设ac2，求三棱锥sbcd的体积解析(1)证明：连接so，od，因为ascscdadac，o为