（整理版）课题分式不等式高次不等式的解法

1、课 题：分式不等式 高次不等式的解法 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法那么可知，假设原不等式成立，那么左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组：与的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4<x<1.书写时可按以下格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.解三：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x从小到大排列分别为-4，1，这两根将x轴分为三局部：-，-4-4，11，+；分析

2、这三局部中原不等式左边各因式的符号-，-4-4，11，+x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2<x<1或x>3.小结：此法叫列表法，解题步骤是：将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式各项x的符号化“+，令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出

3、各根，不妨称之为分界点，一个分界点把实数数轴分成两局部，n个分界点把数轴分成n+1局部；按各根把实数分成的n+1局部，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列由对应较小根的因式开始依次自上而下排列；计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之

4、为根轴法零点分段法将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+；(为了统一方便)求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点为什么？；假设不等式x的系数化“+后是“>0,那么找“线在x轴上方的区间；假设不等式是“<0,那么找“线在x轴下方的区间.注意：奇过偶不过例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：-1，2，3注意：2是二重根，3是三重根；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次自右上方开始奇过偶不过，如以下图：原不等式的解集为：x|-1

5、<x<2或2<x<3.说明：3是三重根，在c处过三次，2是二重根，在b处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相应方程的根为：-2二重，-1，3；在数轴上表示各根并穿线，如图：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.说明：注意不等式假设带“=号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=的

6、条件，不能漏掉. 2分式不等式的解法例4 解不等式：.错解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化为两个不等式组来解：x或，原不等式的解集是.解法2：化为二次不等式来解： ，原不等式的解集是说明：假设此题带“=，即(x-3)(x+7)0，那么不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是x| -7<x3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，假设讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边

7、化为0，左边化为的形式.例5 解不等式：.解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：，原不等式的解集为x| -1<x1或2x<3.也可以直接用根轴法零点分段法求解：练习：1.课本p21练习：3.答案：1.x|-5<x<8；x|x<-4,或x>-1/2；2.x|-13<x<-5.2解不等式：.答：x|x0或1<x<2三、小结：1特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：左边各因式中x的系数化为“+，假设有因式为二次的不能再分解了二次项系数也化为“+，再按我们总结的规律作；注意边界点数轴上

8、表示时是“0”还是“.2分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 .也可以直接用根轴法零点分段法求解3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4注意必要的讨论.5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.四、布置作业五、思考题：1 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：将二次项系数化“+为：(x2-x-12)(x+a)>0，相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？讨论：当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及

9、穿线如下：原不等式的解集为x| -3<x<4或x>-a.当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -3<x<-a或x>4.当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| -a<x<-3或x>4.当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| x>-3.当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x| x>4.2假设不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.(提示：4x2+6x+3恒正)答：1<k<3解： (4x2+6x+3恒正)，原不