[工学]8-3三重柱球坐标

1、1利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分小结小结 8.3三三 重重 积积 分分(2)利用柱面坐标计算三重积利用柱面坐标计算三重积分分,0 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面

2、；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 通常是通常是先积先积再积再积后积后积、r、z. 将三重积分化为将三重积分化为三次积分三次积分解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 rrzr，解解由由 022xz

3、y 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 128221DrdzrrdrdI,345 222222DrdzrrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd 当被积函数是当被积函数是),(),(),(22xyzfxyzfy

4、xzf 积分域积分域由圆柱面由圆柱面 (或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.20 ,0az ,cos20 r解解 cos2 r积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为.982a 20d azz0d cos202drr zr原式原式rzrddd 例例,d22 vyxz计算计算)0(0222 yxyx 所围成所围成.其中其中由半圆柱面由半圆柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222 xyx解解zrezddd2 如先对如先对z积

5、分积分其中其中是由锥面是由锥面例例,ddd222zyxyxez 计计算算与平面与平面22yxz zyxyxezddd222 21 zz、所围成的锥台体所围成的锥台体.柱面坐标柱面坐标xyzO22yxz xyzO可看出如先对可看出如先对z积分积分,zezd2 (积不出来积不出来).zrezddd2 ).(4ee zzezd2212 212ze 将遇到积分将遇到积分最后对最后对z积分积分.zyxyxezddd222 rzezddd20z 2120这里应先对这里应先对 、r 积分积分,22yxz 曲面曲面 之内及曲面之内及曲面 zzyx2222 22yxz 之外所围成的立体的体积之外所围成的立体的体

6、积D).( VxyzOxyzOxyzO1:22 yxDxy.ddd)(2211020 rrzrrA .ddd)(110202 rrzrrC .ddrd)(22111020 rrzrD .ddd)(2111020 rrzrrB 解解V=2V1, 提示提示 1d2VvV.932 锥面锥面 被圆柱面被圆柱面22yxz 所截所截,求锥面下方、求锥面下方、 xOy面上方、圆柱内的区域面上方、圆柱内的区域V 的体积的体积.xyx222 12V zrrddd2 0r cos2002 V1为第一卦限部分的体积为第一卦限部分的体积.柱坐标柱坐标xyzOxyzOxyzOdzrdrd r P zyxA, ),(zy

7、xM OM再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zOM, r之之长长为为记记向向量量OM 二二. 利用利用球面坐标球面坐标计算三重分计算三重分xyzO设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,的的角角段段逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线轴轴按按轴轴来来看看自自为为从从正正OPxz 称称),( r为点为点M的的球面坐标球面坐标.,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标

8、与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则体积元素体积元素为为rxyzo ddr d d dddsind2rrv sinr rd drsin球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d .区域由六个区域由六个坐标面坐标面围成：围成： dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf化为化为三次

9、积分三次积分, , 通常是通常是、先先积积r、再再积积 . 后后积积解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,

10、2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 当积分区域是球形域当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面, ,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时, ,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便. .或是球的一部分或是球的一部分;)(222zyxf 解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222

11、dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐标下：在柱面坐标下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 .2:,222zzyxzdvI 其其中中算算三三重重积积分分试试用用三三种种坐坐标标系系分分别别计计oxyz解法解法1)

12、,(zyx后后先先直直角角坐坐标标系系2zD;2:)(222zzyxDz zDyxz ),( , 20: 20zDzdxdydzIdzzz 20 dzzzz 202)2( .34 1oxyzxyD112解法解法2柱面坐标系计算柱面坐标系计算; 1:)(22 yxDxoyxy面面上上投投影影为为:的的范范围围则则z.111122rzr 1020drdI 221111rrzrdz 102122drrr .34 1)1(222 zyx zdvoxyz2zzyx2222 cos2 r,cos202020: r 2/020 ddI cos202sincosdrrr 2/05sincos42 d.34 解法解法3球球面面坐坐标标系系计计算算 zdv（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算三