[研究生入学考试]7[1]1-电荷、库仑定律-2-电场强度

1、电磁学电磁学是研究物质间的电磁相互作用以及电是研究物质间的电磁相互作用以及电磁场的产生、运动和变化规律的学科。磁场的产生、运动和变化规律的学科。电磁理论是到目前为止最完美的物理学理论。电磁理论是到目前为止最完美的物理学理论。它与力学相比，研究思路和方法有明显不同。它与力学相比，研究思路和方法有明显不同。力学：从牛顿定律出发，得到动量及动能的规律。力学：从牛顿定律出发，得到动量及动能的规律。电磁学：电磁学：电现象、磁现象、电生磁、磁生电、电磁电现象、磁现象、电生磁、磁生电、电磁场方程组；由现象、实验规律，形成理论场方程组；由现象、实验规律，形成理论电动力学中，也有从电动力学中，也有从Maxwel

2、l方程组出发来的；静电学、方程组出发来的；静电学、稳恒电流、稳恒磁场、电磁感应等都是其特例情形稳恒电流、稳恒磁场、电磁感应等都是其特例情形电磁学中对高等数学知识的利用较多，特别是电磁学中对高等数学知识的利用较多，特别是 微积分微积分和和矢量代数矢量代数的大量运用的大量运用。电学电学和和磁学磁学，原是两个独立学科，研究思路及规律在形式，原是两个独立学科，研究思路及规律在形式上也有很多相似处；上也有很多相似处；Faraday+Maxwell的工作使之统一。的工作使之统一。 LSdE dlB dSdtSSVD dSdV LLLSSDH dlJ dSdStMaxwell方程组的积分形式：方程组的积分形

3、式：0SB dSFaraday电磁感应定律电磁感应定律推广的推广的Ampere环路定理环路定理电场电场 Gauss 定理定理磁场磁场 Gauss 定理定理00/HBMDEP 定义：定义：00/HBDE 真空中：真空中：00rrBHDEJE 线性介质中：线性介质中：BEt D DHJt Maxwell方程组的微分形式：方程组的微分形式：0B(变化的磁场可产生电场变化的磁场可产生电场)(电流或变化的电场产生磁场电流或变化的电场产生磁场)(电场可由电荷源产生电场可由电荷源产生)(磁场是无源场磁场是无源场)真空中（）：真空中（）：0,0J 满足电荷守恒律：满足电荷守恒律：0Jt 2,01,0BEEtE

4、BBct 0sE0/sE 静静(Static)电场情形：电场情形： (不含时变项时的电场不含时变项时的电场)积分形式（真空中）积分形式（真空中）(静电场是保守场静电场是保守场)(静电场是有源场静电场是有源场)(静电场线起止于电荷源静电场线起止于电荷源)0sLEdl(inside )001iSsSVQE dSdV 微分形式（真空中）微分形式（真空中）(静电场是无旋场静电场是无旋场)第第7章章 真空中的静电场真空中的静电场本章主要内容本章主要内容静电场的基本定律：静电场的基本定律：库仑定律、场强叠加原理库仑定律、场强叠加原理静电场的基本定理：静电场的基本定理：高斯定理、环路定理高斯定理、环路定理描

5、述静电场的物理量：描述静电场的物理量：电场强度、电势电场强度、电势 研究真空中带电体激发的静电场在研究真空中带电体激发的静电场在空间的分布规律及其基本特性空间的分布规律及其基本特性一、电荷一、电荷(Electric Charge) ：7.1 电荷电荷Coulomb定律定律 自然界只存在两种电荷，同种电荷相自然界只存在两种电荷，同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。排斥，异种电荷相吸引。美国物理学家美国物理学家B. Franklin首先将其称为首先将其称为正电荷和负电荷。正电荷和负电荷。电荷的获得：摩擦、感应、接触起电等电荷的获得：摩擦、感应、接触起电等脱尼龙衫时，衣体电势差可达2000V应用应用：复

6、印、除尘、喷涂、保鲜、分选、：复印、除尘、喷涂、保鲜、分选、扬声器、医疗器械、转速计扬声器、医疗器械、转速计防害防害：起火、弹药爆炸、雷击：起火、弹药爆炸、雷击自自J. J. Thompson发现电子发现电子(1897)之之后，研究者们提后，研究者们提出了各种各样的出了各种各样的方法测量电子的方法测量电子的电量。电量。二、电荷量子化二、电荷量子化 (Charge Quantization )密立根密立根的实验从的实验从1906年持续到年持续到1917年年 美国芝加哥大学的美国芝加哥大学的R.A.Millikan 于于1913年发表了一份报告，他用一个油滴在两个水年发表了一份报告，他用一个油滴在

7、两个水平带电板间的升降实验精确地测量了电子的平带电板间的升降实验精确地测量了电子的电量电量.e =1.602189210-19库仑库仑 电荷电荷是微观基本粒子的内禀性质（类似是微观基本粒子的内禀性质（类似于静质量），于静质量），不随参考系或运动状态而变不随参考系或运动状态而变！ 他同时证明：任何带电体的电量的变化他同时证明：任何带电体的电量的变化是不连续的，只能是基本电荷是不连续的，只能是基本电荷 e 的整数倍，的整数倍， 目前，目前，电荷量子化电荷量子化已在相当高的精度下已在相当高的精度下得到了验证；但得到了验证；但其其本质原因仍不清楚本质原因仍不清楚。即：任何带电体或其它微观粒子所带的电量

8、都即：任何带电体或其它微观粒子所带的电量都是是 e 的的 整数倍，即：整数倍，即： ， N=1,2,3,.QNe电荷的这种只能取离散的、不连续的量电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的性质，叫作值的性质，叫作电荷的量子化电荷的量子化。电子的电荷。电子的电荷e称为称为基元电荷基元电荷，或，或电荷的量子电荷的量子。 光子不带电，而电子对的产生和湮灭光子不带电，而电子对的产生和湮灭并不破坏电荷守恒。并不破坏电荷守恒。三、三、 电荷守恒电荷守恒（Conservation of Charge）定律定律 +- 电子对电子对产生产生电子对电子对湮灭湮灭 -现代物理实验现代物理实验+表述：表述： 在一个和外界

9、没有电荷交换的系在一个和外界没有电荷交换的系统内（即孤立系统中），正负电荷的代数统内（即孤立系统中），正负电荷的代数和在任何物理过程中都保持不变。和在任何物理过程中都保持不变。VVSdVJ dSt 表面电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程( 例例如核反应和基本粒子过程如核反应和基本粒子过程 )，是物理学中普遍，是物理学中普遍的基本定律之一的基本定律之一。数学上，电荷守恒定律可用连续性方程表达：数学上，电荷守恒定律可用连续性方程表达：电荷只能从一物体转移到另一物体，或从物体电荷只能从一物体转移到另一物体，或从物体的一部分转移到另一部分，但电荷既不能被创的一部分

10、转移到另一部分，但电荷既不能被创造，也不能被消灭。造，也不能被消灭。即使有微观带电粒子在某过程中产生或湮灭即使有微观带电粒子在某过程中产生或湮灭了，电荷的总量仍守恒。例如，一个中子衰变了，电荷的总量仍守恒。例如，一个中子衰变后产生一个质子、一个电子和一个中微子。后产生一个质子、一个电子和一个中微子。电荷最基本的性质是能与其他电荷相互作电荷最基本的性质是能与其他电荷相互作用，所以电荷之间相互作用的规律是电现象最用，所以电荷之间相互作用的规律是电现象最基本的规律。这方面的规律由法国工程师基本的规律。这方面的规律由法国工程师C.A. Coulomb (17361806)通过实验确定，称为通过实验确定

11、，称为库仑库仑定律定律。库仑定律直接给出的是。库仑定律直接给出的是点电荷点电荷之间相互之间相互作用的规律。作用的规律。库仑定律适用于点电荷库仑定律适用于点电荷.点电荷点电荷：只考虑带电体的电量，可以忽略形状只考虑带电体的电量，可以忽略形状 和大小的带电和大小的带电 体体点电荷模型（近似）成立的点电荷模型（近似）成立的条件条件：带电体线度带电体线度 0 的金属球，在它附近的金属球，在它附近P 点点产生的场强为产生的场强为 。将一点电荷。将一点电荷q 0 引入引入 P 点，点，测得测得 q 实际受力与实际受力与 q 之比之比 是大于、小于、是大于、小于、还是等于还是等于 P 点的点的 ?0EqF0

12、E2、场强叠加原理、场强叠加原理:多个点电荷产生的电场在空间某点的多个点电荷产生的电场在空间某点的电电场强场强度度，等，等于各点电荷在该点单独存在时产生的场强的于各点电荷在该点单独存在时产生的场强的矢量和矢量和。( , )( , )iiE rE rtt通常通常教材：教材：“场强叠加原理源于电场力的叠加原理场强叠加原理源于电场力的叠加原理”0001iiiiiiFFEFEqqq注意注意：场强叠加是矢量叠加！：场强叠加是矢量叠加！（带来计算复杂性）（带来计算复杂性）王注王注：场强叠加原理更一般；微观理论中常淡化：场强叠加原理更一般；微观理论中常淡化“力力”的概念（已不是好用的概念）的概念（已不是好用

13、的概念）3、电场强度的计算、电场强度的计算（静电场）（静电场）：(1) 点电荷的场强：点电荷的场强：00300()4q QrrFrr由库仑定律，位于场点处的试验点电荷由库仑定律，位于场点处的试验点电荷 q0 受到的位受到的位于点处的点电荷于点处的点电荷Q的静电场力为的静电场力为:r0r位于处的点电荷位于处的点电荷Q产生的产生的静电场静电场在处的电场强度在处的电场强度:r0r0300()( )4QrrE rrr运动电荷的电场时时变的，严格说还要时间推迟效应运动电荷的电场时时变的，严格说还要时间推迟效应.(2) 点电荷系的场强：点电荷系的场强：30()( )4iiiiQrrE rrr各点处的点电荷

14、各点处的点电荷产生的静电场在处的总场强产生的静电场在处的总场强:ririQ(3) 连续分布电荷的场强：连续分布电荷的场强：30()4( )( )E rrdEdQrrrr30( ) ()4VrdrrrVr（体分布情形）（体分布情形）对面（线）分布情形，只需要将电荷的体密度对面（线）分布情形，只需要将电荷的体密度换成面密度（线密度）即可；积分区域遍换成面密度（线密度）即可；积分区域遍及及电荷源电荷源所在的区域。所在的区域。( )r( )r( )r利用定义（库仑定律）计算场强的一般方法：利用定义（库仑定律）计算场强的一般方法： 看分布：点电荷系？或是连续分布？看分布：点电荷系？或是连续分布？ 建坐标

15、：为表达建坐标：为表达/计算方便（注意电荷源分布的对计算方便（注意电荷源分布的对称性特点）称性特点） 电荷元电荷元：(或或)的选择的选择/表达表达 把电荷元看成点电荷？或是已知分布的电荷系？把电荷元看成点电荷？或是已知分布的电荷系？给出元的电场分布（注意：大小、方向）给出元的电场分布（注意：大小、方向） 对称性：利用电荷源分布的对称性特点，判断某对称性：利用电荷源分布的对称性特点，判断某些电场方向，可少计算部分场强分量。些电场方向，可少计算部分场强分量。dVdSdl、dQdE、OxryzEQQPlE例例电偶极子（电偶极子（dipole）的电场强度分布）的电场强度分布E解：解：Q在处分别产生电场

16、强度在处分别产生电场强度r222 3/20(2)4(2)xyzxleyezeQExlyz EEE223/2223/20223/2223/2114(4)(4)11 -2 (4)(4) Qrrllxrllxlrllxrllx 222( , )xllerxyzOxryzEQQPlEE223/2223/20223/2223/211 4(4)(4)11 -2 (4)(4)QErrllxrllxlrllxrllx 53034QxlrrrEl 当当l r 时，利用函数的级数展开式时，利用函数的级数展开式2(1)1(1)/2! ., 1 XXXX 只保留到只保留到 l /r 的一次项时，的一次项时，3013(

17、)4 rrp e epr 其中称为电偶极子的其中称为电偶极子的电偶极矩电偶极矩。 pQ l延长线上：延长线上：30124pEx 中垂线上：中垂线上：223/2014()pEyz 例题例题 均匀带电圆环轴线上一点的场强均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为设圆环带电量为q ，半径为，半径为R。解：解：建坐标；建坐标；dqdl 204dldEr 取电荷元：取电荷元：确定确定 的方向的方向dEcosdEdE sindEdE 确定确定 的大小的大小dE将将 投影到坐标轴上投影到坐标轴上dEdEr xRLdqcosqEdEdE 20cos4qEr 3 2220302441qxqExRxx讨论讨论：

18、当：当x 远大于环的半径时，远大于环的半径时，方向方向在在 x 轴上，正负由轴上，正负由q 的正负决定。的正负决定。由对称性可知，由对称性可知，P点场强只有点场强只有x 分量分量20cos4Ldqr 20cos4Ldqr 22 3 204()qxRxdEr xRLdqP说明远离环心处的场强相当于说明远离环心处的场强相当于点电荷的场。点电荷的场。R例例 均匀带电圆盘轴线上的场强分布均匀带电圆盘轴线上的场强分布。 圆盘面电荷密度为圆盘面电荷密度为 ，半径为，半径为 R解：解：r将带电圆盘可看成许多同心圆环将带电圆盘可看成许多同心圆环 组成，组成，取一半径为取一半径为 r ，宽度为，宽度为dr 的细

19、圆环带电量的细圆环带电量2dqr dr 223 204()zdqdErz 223 2002()RzrdrErz 221 2012()zRz zdE方向方向：沿轴向（只有：沿轴向（只有z 分量）分量）相当于相当于均匀无限大带电平面均匀无限大带电平面附近的电场，场附近的电场，场强垂直于板面，方向由电荷的符号决定强垂直于板面，方向由电荷的符号决定02E =221 2012()xERx 利用级数展开利用级数展开22 1 2221()1xRxRx22022REx 22022Rx204qx在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。讨论讨论 211()2Rx当当x R时时,

20、当当x R时时 两块无限大均匀带电平面，已知电荷面两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为密度为 ，计算场强分布。计算场强分布。解：例题 ：由场强叠加原理由场强叠加原理 E E E E E E0022 EEE两板之间：两板之间：两板之外：两板之外： E = 0如图已知如图已知 q、d、及板的横截面积、及板的横截面积S求两板间的所用力求两板间的所用力qqd20022qfqS 2204qfd?讨论讨论库仑定律仅适用于点电荷！库仑定律仅适用于点电荷！考虑正极板电荷的场，大小为考虑正极板电荷的场，大小为02E 取负极板上一电荷元取负极板上一电荷元dq，它受到的电场力为，它受到的电场力为dfEdq负极板

21、上所有电荷受力方向相同负极板上所有电荷受力方向相同则则fEdq一无限大均匀带电平面上有一半径为一无限大均匀带电平面上有一半径为R 的圆形的圆形小孔。求通过圆孔中心轴线上一点的场强。小孔。求通过圆孔中心轴线上一点的场强。解：例题 ：补偿法补偿法此例可以看成均匀带电此例可以看成均匀带电的无限大平面与均匀带的无限大平面与均匀带电电 半径为半径为R 的圆形平面的电场叠加。的圆形平面的电场叠加。221 200122()xERx 2202xRx 积分解法积分解法：22 3 2024()RxrdrErx求均匀带电半球面在圆心处的场强求均匀带电半球面在圆心处的场强解：例题 ：由电荷分布对称性知，电场有柱对称性

22、。由电荷分布对称性知，电场有柱对称性。选用柱坐标选用柱坐标Rzo 20()140rOdSeEr 带正电时，带正电时，沿沿 z 轴负向轴负向222002sin ( cos )4zrder 2000sin244zzede 求均匀带正电半球面在圆心处的场强求均匀带正电半球面在圆心处的场强解：例题 ：取微元环面取微元环面2dSdlsinRRdlRd zo dEcoszR 3302cos sin4RdR /200sincos2Ed 223 204()z dSdEz 04 方向必须说明方向必须说明对比解法对比解法2204RR 若取球面面元若取球面面元dSdld 更好的解法：更好的解法：20cos()4xdSdER dS 任意任意204xdSER 04 d Rd sinRd Rd 看成点电荷看成点电荷, 场强场强:204dSdER 2/2000cos sin4Edd cos()xdEdE04 Rxo dEdE一均匀带电圆形平面，其轴线上距圆心为一均匀带电圆形平面，其轴线上距圆心为 x处的场强是同样电荷密度的无限大均匀带电处的场强是同样电荷密度的无限大均匀带电平面外一点场强的一半，该平面半径多大？平面外一点场强的一半，该平面半径