[理学]9-4多元复合函数求导法则

1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 一、多元函数与一元函数的复合( , )zf x y( )( )xtvt多元套一元( ( ),( )( )zfttz t?dzdt多元函数的复合情况要复杂一些多元函数的复合情况要复杂一些大体上可以分为三类：大体上可以分为三类：多元复合函数的求导法则：链式法则二、多元函数与多元函数的复合( , )zf u

2、 v( , )( , )ux yvx y多元套多元( ( , ),( , )( , )zfx yx yz x y?zx?zy链式法则链式法则三、一元函数与多元函数的复合( )zf u( , )ux y一元套多元( ( , )( , )zfx yz x y?zx?zy一、链式法则一、链式法则定理（定理（多元函数与一元函数的复合） dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算且其导数可用下列公式计算 ( ),( )zftt t则复合函数则复合函数在对应点在对应点可导，可导，),(vufz ),(vu函数函数在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，可导，可导， ( )ut )(

3、tv t如果函数如果函数及及都在点都在点uvtz( ),zzzuvouv( )zzuzvotutvttdudtd vd t证证()( ),uttt则则);()(tttv tt 设设 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtvdt 22()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 时时, ,取取“”号号0t 当当时时， 由于函数由于函数),(vufz 在点在点故可微，即故可微，即),(vu有连续偏导数，有连续偏导数，多元函数与一元函数的复合( , )zf x y( )( )xtvt多元套一元( ( ),( )( )zfttz tdzz dxz dydtx dt

4、y dtzxyttzxdxdtzydydt沿线相乘沿线相乘分线相加分线相加例例1. 设 ,zu v.ddtzzuvttzddtvee (cossin )ttttuuzddtvvzdd求全导数,etu ,costv 解解:tusin例例2 设设 而而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中其中 可导，求可导，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydtx dty dt 解解z dxz dyx dty dt 22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett 1.1.上定理的结论可推广到上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz

5、以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz推广推广)(),(),(tttfz 中间变量多于两个的情况中间变量多于两个的情况: :思考：思考：若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y)是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?多元复合函数的求导法则：链式法则2、多元函数与多元函数的复合、多元函数与多元函数的复合( , )zf u v( , )( , )ux yvx y多元套多元( ( , ),( , )( , )zfx yx yz x yzzuzvxu

6、xv x zzuzvyuyv y 只须将定理中右端导数符号改为偏导符号zzuzvxuxv x zzuzvyuyv y ( , )zf u v( , )( , )ux yvx yzuvxyzuuxuyvxzvvy沿线相乘沿线相乘分线相加分线相加解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy)cos()sin(eyxyxyyx例例4. , ,),(122yzxzCfxyyxfz求其中设解解:此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达式未给出, 只能用链式法则

7、求偏导.引进中间变量( 引进几个中间变量? )记 u = x2 y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得xvvzxuuzxzyvvzyuuzyzyvzxuz2vzyuzx 2vzxuzy2z = f (u, v), u = x2 y2, v = xy. 思考思考1( ,), .zzf x xyfCx设求解解:引进2个中间变量. 记 u = x, v = xy, 则 z = f (u, v). 有zzuzvxuxvxzzuzvxxxvx.,xzuzxu写成故常可将右边的因.,xz则似可抵消移项这是否对? 为什么?11( , )( , ),uzfu vf u vf

8、u记22( , )( , ), .vzf u vf u vfvf表示对第二个变量的偏导数. 对第一个变量的偏导数表示 f等等.引进记号, 设 z = f (u, v), 其他情况其他情况( , , )zf u v w( , )( , )( , )ux yvx ywx y( ( , ),( , ), ( , )( , )zfx yx yx yz x yzzuz vzwxuxv xwx zzuzvzwyuyv ywy 三元套两元“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”一元函数与多元函数的复合( )zf u( , )ux y一元套多元( ( , )( , )zfx yz x y( )zdzuuf u

9、xduxx( )zdzuuf uyduyyzuxydzduuxuy沿线相乘沿线相乘),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中两者的区别两者的区别yyxzxu区别类似区别类似中间变量即有一元函数中间变量即有一元函数, ,也有多元函数的情况：也有多元函数的情况：解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff 2,ffv xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 2

10、2;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 多元复合函数的微分不变性多元复合函数的全微分多元复合函数的全微分 回忆一元函数的回忆一元函数的微分形式不变性微分形式不变性微分形式：微分形式：( )dyfx dx( ),( )yf u ug x ( )yf g x ( ) ( )dyfg x g x dx( )( )g x dxdg x ( )( )fg x dg x( )f u du( )dyf u du微分形式不变微分形式不变设 z = f (u, v)可

11、微, 当 u, v 为自变量时, 有vvzuuzzddd若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是否仍有这一形式?设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则z = f (u (x, y), v (x, y), yyzxxzzddd二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性由链式法则,xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz代入,得中,dddyyzxxzzz = f (u (x, y), v (x, y)yyvvzyuuzxxvvzxuuzzdddyyvxxvvzyyuxxuuzddddvvzuuzdd全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论z是

12、自变量是自变量x,y的函数或中间变量的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.例例5 设设 而而cos ,uzev ,uxy vxy,.zzxy求求解解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),dud xyydxxdy (),dvd xydx dy (cossin )(cossin )uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy比较比较1 1、链式法则（连线相乘，分线相加）、链式法则（连线相乘，分线相加）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性小结zzdzdudvuv分段（步）用乘分段（步）用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉叉路偏导路偏导思考题思考题),(xvufz ( ),ux )(xv 设设，而，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 试问试问与与是否相同？为什么？是否相同？为什么？uzvx