椭圆曲线知识点与讲义

1、圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数（大于| F1F2 |）的点的轨迹。abf2的周P,Q两点,其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F,F2|表示线段F1F2 ； 2a |F1F2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x轴上中心在原点，焦点在 y轴上标准方程2 2冷占1(a b 0) a b2 2占笃 1(a b 0)ab图形0A2xPA£yB1Ir顶点A( a,0), A2(a,0)B(0, b),B2(0,b)A( b,0),A

2、2(b,0)B0, a),B2 (0,a)对称轴x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a隹占八、八、F1( c,0), F2(c,0)£(0, c),F2(0,c)焦距|吋2丨 2c(c 0) c2 a2 b2离心率ce -（0 e 1）（离心率越大，椭圆越扁）a通径2b 2 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）a2 23常用结论：（1）椭圆x_ y_ i（a b 0）的两个焦点为F1,F2，过卩勺直线交椭圆于 代B两点，则a2 b2长=2 2（2）设椭圆x- y- 1（a b 0）左、右两个焦点为F2，过F1且垂直于对称轴的直线交椭圆于 a b则 P,Q 的坐标分别是 | PQ

3、 |二、例题讲解。例1、已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b （或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在x轴上时，设其方程为9由椭圆过点P 3,0 ,知笃a1 又a3b，代入得b21, a29，故椭圆的方程为9当焦点在y轴上时，设其方程为2y2ax29由椭圆过点P 3,0 ,知仝2a0b21 又a3b ,联立解得a2281, b2 9，故椭圆的方程为81例2、 ABC的底边BC的轨迹.16，AC和AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 G的轨迹

4、和顶点分析：（1）由已知可得GCGB 20,再利用椭圆定义求解.（2 ）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解： （1 ）以BC所在的直线为x轴,BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为 x, y，由GC GB 20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因a 10，c 8，有b 6，x2故其方程为1002y36(2)设 A x, y2，则1002y36xx 3， 由题意有3代入，得A的轨迹方程为y900324y 31 y 0，其轨迹是椭圆（除去 x轴上两点).4/52 J 5例3、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和三卫，过P

5、点作焦33点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF14.53，価从椭圆定义知2a PF1 PF22阿即a -5 .从PF1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在 Rt PF2F1中，sin PF1F2PF2PF1可求出 PF2-,62c PRcos6晋，从而b2 a2 c22所求椭圆方程为3y210102 y b2长轴端点为A1 , A2，焦点为2x例4、已知椭圆方程a椭圆上一点,APA2F1PF2求：F1PF2的面积(用a、分析：求面积要结合余弦定理及定义求角1的两邻边，从而利用S 丄absin C求面积.2解：如图，设P x， y，由椭圆的对

6、称性,不妨设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P表示).在第一象限.由余弦定理知:F1F22 PF12 |PF2 2 2 PR IPF2COS4c2 .由椭圆定义知:PF1PF22a，则2得PF1PF22b21 cos1故 S F1PF22-|PF1 |PFsin1 2b2sin21 cos三、习题讲解。一、选择题。1.圆6x2+ y2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)?(1,0)B.(-6,0) ?(6,0)C.(- ' 6 ,0)?( 6 ,0)D.(0,- 6 )?(0, - 6 )2.椭圆x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是C.(2 - 2 ,0)、(- 2 ,0)D.

7、(0,2 2 )、(0, 2 2 )二 二A.(0,- 4 卜(0, 4 )B.(-1,0)、(1,0)3. 椭圆3x2+2y2=1的焦点坐标是一 66 )B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0).6D.(- 6 ,0)、(6 ,0)22xy_4.椭圆b22 a2yaA.a2 b222xy)、(0,5.椭圆1(a>b>0)的准线方程是A.(0, 6a2B.y a2 b2yC.b2a2 b2yD.2a2.2、a b1的焦点到准线的距离是V5和 9 药A. 55巴5D. 59® 14.、5 餐5和 14、5B. 55C. 556.已知Fi、F2为椭圆2X2a1

8、(a> b> 0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB,若 AFiB的周长为16,椭圆离心率2，则椭圆的方程是A. 4B.16C.162y12D.167.离心率为2，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A. 4B. 42彳 2 y1 X或 4C.D. 42乞1168.椭圆2 y b2k(k>0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长？短轴9.点A(a,1)在椭圆2 2乞厶142 的内部,则a的取值范围是A.-2 <a<2iiB.a<-2 或a> 2C.-2< a<2D.-1<a<12X-210.设F是椭圆a2 y

9、 b21的右焦点，P(x,y)是椭圆上一点，贝U |FP|等于A. ex+ aB.eX aC.ax e D.a ex二、填空题1.椭圆的焦点F1(0,6)，中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是2.椭圆91上的点到直线2x 3y 3 30距离的最大的值是3.已知F 1?F2是椭圆252厶19的两个焦点,AB是过焦点F啲弦若| AB| =8,则| F2A| + | F2B|的值是A.16B.12C.14D.84. 若A点坐标为(1 , 1), F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，贝U |PA| + |PF1|的最小值是5. 直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M

10、 , N两点，弦MN的中点为P,若Kop= 2 n .6. 若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是._27. 已知椭圆的准线方程是y= 9,离心率为 3，则此椭圆的标准方程是 .428. 到定点(1，0)的距离与到定直线x=8的距离之比为 2的动点P的轨迹方程是.9. 已知椭圆x2+2 y2=2的两个焦点为Fi和F2，B为短轴的一个端点，则 BF1F2的外接圆方程是10. 已知点A(0，1)是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦 AP的长度最大时，则点P的坐标是三、简答题。2 21、已知动圆P过定点A 3,0，且在定圆B: x 3 y 迹方程.292、已知

11、椭圆4x y1及直线y x m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？£2 710(2)若直线被椭圆截得的弦长为 仝10，求直线的方程.53以椭圆x21221的焦点为焦点，过直线l: x y 90上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,3点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.4已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点Fi作倾斜解为的直线交椭圆于 A,3B两点，求弦AB的长.3. A 4. B5. C6. D7. D 8. A 9. A 10. D1.2x242y602. 213. B4. 625.2 12 6. 2x27. 142y181 2 28. x2 2y

12、212x621、分析：关键是根据题意, 解：如图所示，设动圆09.X21 10.P满足的关系式.P和定圆B内切于点M .动点P到两定点,列出点3（士 3即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,PAPBPMPBBM8.二点P的轨迹是以A ,B为两焦点,半长轴为4，半短轴长为b（_ 2、42 32. 7的椭圆的方程：162y- 1.7说明：本题是先根据椭圆的定义, 迹方程的一种重要思想方法.判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨2、解：（1）把直线方程y xm代入椭圆方程4x2 y21 得 4x2即 5x2 2mx m2102m 2 45 m2 116m

13、2 205. 5m 2 2x（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ,X2，由（1 ）得 X22mT，XyX2根据弦长公式得 ：.11222i 经 4竺.解得555mm 0 .方程为y x .说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.3分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线 同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.2解

14、：如图所示，椭圆122厶1的焦点为F13,0 , F2 3,0 .3点F1关于直线y 9 0的对称点F的坐标为（一9, 6）,直线FF2的方程为 x 2y 30.x解方程组x2y 3900得交点M的坐标为（一5, 4）.此时MF1|MF2最小.所求椭圆的长轴：2a MFj MF2FF2 6J5 ,. a 35，又c 3,4536二b2 a2 c25 2 32 36因此，所求椭圆的方程为2 2为X-乞1.(1 k2)% X2)2 4x1X2求得,1554分析：可以利用弦长公式 AB 1 k2|x1 x2也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求. 解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB V1 k2X1 x2(1疋）（兀X2)2 4X1X2.因为a 6 , b 3，所以c 3. 3 .因为焦点在x轴上,2 2左焦点F（ 3.3,0），从而直线方程为 y 3x 9 .所以椭圆方程为1,369由直线方程与椭圆方程联立得:13x272 . 3x 36 80 .设X1 , X2为方程两根，所以X1X212、313，X1X2从而AB1 k2X1X2.(1 k2)(x1 X2)2 4x1X24813（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解2 2由题意可