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文档简介
1、高三数学精品复习之空间中的角和距离1解立几题要有化平几思想:所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解,有时还可以将要求的角或线段所在的平面别离出来,这样清楚醒目,便于求解,不易出错。qbcpadon图1-12研究异面直线所成的角通常有两种方法。通过平移使之成为一个平面角,然后解三角形求得;在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。注意 异面直线所成角的范围是:00,900, 如: cos <,>=-,那么异面直线 a, b所成的角为 arccos。举例 如图, 两个正四棱锥的高分别为1和2, ,() 证明: ; () 求异面直线aq与pb所成的角;解析:()记ac、bd交于o,
2、连po、qo,那么po面abcd,qo面abcd,p、q、o共线,pq面abcd;()方法一:“平移:注意到ac、pq交于o,取oc的中点n,连结pn,bn,qbcpadon图1-2xyz,故aqp. bp是异面直线aq与pb所成的角或其补角. 故异面直线aq与pb所成的角是方法二:“建系:由题设知,abcd是正方形,由i,平面,故可以分别以直线ca、db、qp为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图1-2,由题设,相关各点的坐标分别是,,于是注:在“平移时常用到一些平面图形的性质,如:三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。稳固1异面直线 a, b所
3、成的角为600,那么过空间中一点p与a, b都成300的直线有几条?与a, b都成500的直线有几条?与a, b都成600的直线有几条?与a, b都成700的直线有几条?变形过大小为600的二面角外一点p作与它的两个面都成600的直线有几条?稳固2 设m、n是直角梯形abcd两腰的中点,deab于e(如图)现将ade沿de折起,使二面角adeb为45°,此时点a在平面bcde内的射影恰为点b,那么m、n的连线与ae所成角的大小等于_图3-13直线与平面所成的角要“抓住直线在平面内的射影,然后在直角三角形内求得;直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围:00
4、,900。举例1 在如图3-1所示的几何体中,平面,平面,且,是的中点求与平面所成的角07高考浙江理16解析:方法一:“找射影。过m作mfed于f,连cf,由cmab,cmae得cm面abde,故cmed,ed面cmf,于是有面ced面cmf于cf,过m作mhcff于h,那么mh面ced,mch为与平面所成的角;设,在直角梯形中,是的中点,所以,得是直角三角形,其中,mf=在中,cm=mf, ,故与平面所成的角是注:“作垂面是求作点m在面内的射影的最重要、最常用的方法,其过程是:过m点作平面于,那么m在面内的射影m/。方法二:“建系。如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点作与平面垂直的直
5、线为轴,建立直角坐标系,设,那么,设向量与平面垂直,那么,即n·=0 , n·=0,,得:,即,由向量夹角公式得:cos< n,>=,直线与平面所成的角是与夹角的余角,所以,故直线与平面所成的角是注:线与面的法向量所成的角与线面角互余;注意到线面角不为钝角,故:ab与面所成的角为:arcsin为面的法向量。用法向量求线面角,以计算代替说理找射影,最大限度地实现了“去逻辑化,为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径;但是,并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。bcadpnm图3-3ebcadpnm图3-2qbcadpnm图3-1举例2如图3-1,在
6、四棱锥p-abcd中,底面为直角梯形,adbc,bad=90°,pa底面abcd,且paad=ab=2bc,m、n分别为pc、pb的中点. 求cd与平面admn所成的角。解析:确定c点在面admn上的射影q的位置很困难。方法一:“射影悬空。先不管q点的位置,cdq为cd与平面admn所成的角,入图3-2;记bc=a,在rtcqd中,cd=a,只需求出cqc到面admn的距离即可,记为h;注意到,不难知道amd中ad边上的高为an,an=a,=a2;=2a2,m到面acd的距离为a,h=a,故在rtcqd中,cdq= arcsin。注:射影“悬空求线面角的“革命性意义在于绕开了求线面角
7、中最困难的一步确定射影的位置,把问题化归为求点到面的距离;而求点到面的距离可以通过“等积转换实现,并不需要知道射影确实切位置。方法二:“平移线段。取ad中点e,连be,如图3-3,易见:becd,cd与平面admn所成的角即be 与平面admn所成的角;不难证明:bnan,bnac,bn面admn,即点b在面admn上的射影为n,ben为be 与平面admn所成的角;记bc=a,bn=a,be=a,在rtbne中,ben=arcsin。此题也可以“建系求,略。稳固1太阳光线斜照地面,地面上与太阳光线成600角的直线有_条?假设太阳光线与地面成60°角时,要使一根长2米的竹竿影子最长,
8、那么竹竿与地面所成的角为 。稳固2 在三棱锥pabc中,abbc,abbc,pa=2bc,点o是ac的中点,op底面abc求直线pa与平面pbc所成角的大小4求二面角的方法很多,概括起来有两类,一类是作平面角,一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种,形形色色的方法都是在做一件事:作二面角的棱的垂面;而不作平面角,要么建系用法向量求,要么用公式cos=其中s表示平面内的封闭图形c的面积,s/表示c在平面内的射影c/的面积,表示与所成的锐二面角的大小。二面角的范围00,1800)。如cos=-,那么= arccos-=- arccos。abedcpfo举例如图在四棱锥p-abcd中,底面
9、abcd是直角梯形,adc=,abcd,pc面abcd,pc=ad=dc=ab,e为线段ab的中点。1求证:平面pac平面pde;2求二面角a-pe-d的大小。解析:1在直角梯形abcd中,容易知道四边形aecf是正方形,deac,又depcde面pac,面pde面pac;2记pc=a,abedcpf方法一:用三垂线定理作二面角的平面角。记ac、de交于o,连po,po是相互垂直的平面pde和pac的交线,过a作po的垂线交po的延长线于f,那么af面pde,即f是a在面pde内的射影,又容易证明ae面pec,那么aepe,于是fepe,aef是二面角a-pe-d的平面角;在pao中有面积相等
10、不难算出af=a,而ae=a,在rtafe中,aef=arcsin。注:用三垂线定理作二面角的平面角,是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其过程概括为:找一垂找作一个面内一点p在另一个面内的射影p/,作二垂过p或p/作二面角棱l的垂线,垂足为q,连三垂连p/q,那么lp/q,于是pq p/为二面角的平面角;计算该角在直角三角形内进行;在上述过程中,“找一垂是关键。方法二:射影“悬空作二面角的平面角注意到aepe,记点a在面pde内的射影为f无须知道点f确实切位置,连ef,那么pefe,于是aef是二面角a-pe-d的平面角;以下问题化归到求af的长度即a点到面pde的距离上。以下用“等积
11、转换求af,计算略。abedcpmn方法三:利用平面图形的有关性质作二面角的平面角注意到dp=de=a,取pe的中点m,那么pedm,又容易知道aepe,取pa的中点n,连nm,那么nmae,pemn,于是nmd为二面角a-pe-d的平面角;以下在dmn中,用余弦定理求nmd,计算略。abedcpm方法四:用割补法求。视二面角a-pe-d为二面角a-pe-c与二面角d-pe-c的差。对二面角a-pe-c, ae面pec,面aep面pec,即二面角a-pe-c为;对二面角d-pe-c,点c是点d在面pec内的射影,取be的中点m,cp=ce=a,pemc,于是有:pemd,那么dmc为二面角d-
12、pe-c的平面角,abedpxycz在rtdcm中,dmc=arctan,二面角a-pe-d的大小为- arctan。注:在求钝二面角时“割补法往往很有效。方法五:用平面的“法向量求cpce, cpcd, cecd,故可以c为原点,、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。aa,a,0、d(a,0,0)、e(0,a,0)、p(0,0,a),那么=(a,0,0),=(a,-a,0),=(0,-a,a)由此不难求出平面pae的法向量=0,1,1, 平面pae的法向量=1,1,1cabde那么有:cos<,>=,二面角a-pe-d的大小为arccos。注:用“法向量求二面角有一处严重的缺乏
13、:二面角两个面的法向量的夹角未必等于二面角,也可能与二面角互补,这取决于法向量稳固 如图,在多面体abcde中,ae面abc,bdae,且ac=ab=bc=bd=2,ae=1,求面cde与面cab所成的锐二面角 5求点到面的距离一般有三种方法:直接法过“点作“面的垂线尽可能找到过这一点的一个与“面垂直的平面,然后过“点作它们交线的垂线;等积转换;法向量: 假设平面的法向量为,直线ab与平面交于点a,那么点b到平面的距离=。举例1 线段ad平面,且与平面的距离为4,点b是平面内的动点,且满足ab=5,ad=10,那么b、d两点之间的距离 a有最大值,无最小值; b有最小值,无最大值;c有最大值,
14、最小值; d有最大值,最小值;解析:记a、d在面内的射影分别为a1、d1,ab=5,aa1=4,a1b=3,即b在面内以a1为圆心、3为半径的圆周上,又a1d1=10,故d1b最大为13,最小为7,而dd1=4,于是:由勾股定理得bd最大,最小,选d。z举例2 在棱长为4的正方体abcd-a1b1c1d1中,o是正方形a1b1c1d1的中心,点p在棱cc1上,且cc11的距离;·b1pacda1c1d1boh·图5-2·b1pacda1c1d1boh·图5-1e图5-3·b1pacda1c1d1boh·xyq解析:方法一:“等积转换。
15、如果直接研究三棱锥p-abd1的体积,无论怎样“转换都不易求;在dd1上取一点q,使dd1=4dq,那么pq面abd1,如图5-1;故=,记p到面abd1的距离为h,那么q到面abd1的距离为h, 由=得:h=;方法二:以d为原点建系,如图5-2,a4,0,0,b4,4,0,d10,0,4,p0,4,1,不难求出面abd1的法向量=(1,0,1),=(4,0,-1), h=;方法3:“补齐截面abd1即正方体的对角面abc1d1,过p作pebc1于e,如图5-3,peab,pe面abd1,pe的长度即为点p到平面abd1的距离,易求pe=。稳固1平面平面,直线,点,平面、之间的距离为8,那么在内到p点的距离为9的点的轨迹是: a一个圆 b两条直线 c四个点 d两个点稳固21 正三棱锥的高为,侧棱与底面成角,那么点到侧面的距离为_07高考江苏卷14。2正三棱柱的所有棱长都为,为中点,那么点到平面的距离为 07高考福建理1
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