（整理版）高三数学精品复习之空间中的角和距离

1、高三数学精品复习之空间中的角和距离1解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角或线段所在的平面别离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。qbcpadon图1-12研究异面直线所成的角通常有两种方法。通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。注意 异面直线所成角的范围是：00，900， 如： cos <，>=-,那么异面直线 a, b所成的角为 arccos。举例 如图, 两个正四棱锥的高分别为1和2, ，() 证明: ; () 求异面直线aq与pb所成的角;解析：()记ac、bd交于o，

2、连po、qo，那么po面abcd，qo面abcd，p、q、o共线，pq面abcd；()方法一：“平移：注意到ac、pq交于o，取oc的中点n，连结pn，bn，qbcpadon图1-2xyz，故aqp. bp是异面直线aq与pb所成的角或其补角. 故异面直线aq与pb所成的角是方法二：“建系：由题设知，abcd是正方形，由i，平面，故可以分别以直线ca、db、qp为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图1-2，由题设，相关各点的坐标分别是，,于是注：在“平移时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。稳固1异面直线 a, b所

3、成的角为600，那么过空间中一点p与a, b都成300的直线有几条？与a, b都成500的直线有几条？与a, b都成600的直线有几条？与a, b都成700的直线有几条？变形过大小为600的二面角外一点p作与它的两个面都成600的直线有几条？稳固2 设m、n是直角梯形abcd两腰的中点，deab于e(如图)现将ade沿de折起，使二面角adeb为45°，此时点a在平面bcde内的射影恰为点b，那么m、n的连线与ae所成角的大小等于_图3-13直线与平面所成的角要“抓住直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：00

4、，900。举例1 在如图3-1所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点求与平面所成的角07高考浙江理16解析：方法一：“找射影。过m作mfed于f，连cf，由cmab，cmae得cm面abde，故cmed，ed面cmf，于是有面ced面cmf于cf，过m作mhcff于h，那么mh面ced，mch为与平面所成的角；设，在直角梯形中，是的中点，所以，得是直角三角形，其中，mf=在中，cm=mf， ，故与平面所成的角是注：“作垂面是求作点m在面内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过m点作平面于，那么m在面内的射影m/。方法二：“建系。如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直

5、线为轴，建立直角坐标系，设，那么，设向量与平面垂直，那么，即n·=0 , n·=0,，得：，即，由向量夹角公式得：cos< n,>=,直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，故直线与平面所成的角是注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：ab与面所成的角为：arcsin为面的法向量。用法向量求线面角，以计算代替说理找射影，最大限度地实现了“去逻辑化，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。bcadpnm图3-3ebcadpnm图3-2qbcadpnm图3-1举例2如图3-1，在

6、四棱锥p-abcd中，底面为直角梯形,adbc,bad=90°,pa底面abcd，且paad=ab=2bc,m、n分别为pc、pb的中点. 求cd与平面admn所成的角。解析：确定c点在面admn上的射影q的位置很困难。方法一：“射影悬空。先不管q点的位置，cdq为cd与平面admn所成的角，入图3-2；记bc=a,在rtcqd中，cd=a,只需求出cqc到面admn的距离即可，记为h；注意到，不难知道amd中ad边上的高为an，an=a,=a2；=2a2，m到面acd的距离为a，h=a,故在rtcqd中，cdq= arcsin。注：射影“悬空求线面角的“革命性意义在于绕开了求线面角

7、中最困难的一步确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换实现，并不需要知道射影确实切位置。方法二：“平移线段。取ad中点e，连be，如图3-3，易见：becd，cd与平面admn所成的角即be 与平面admn所成的角；不难证明：bnan，bnac，bn面admn，即点b在面admn上的射影为n，ben为be 与平面admn所成的角；记bc=a，bn=a，be=a，在rtbne中，ben=arcsin。此题也可以“建系求，略。稳固1太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成600角的直线有_条？假设太阳光线与地面成60°角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，

8、那么竹竿与地面所成的角为 。稳固2 在三棱锥pabc中，abbc，abbc，pa=2bc，点o是ac的中点，op底面abc求直线pa与平面pbc所成角的大小4求二面角的方法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos=其中s表示平面内的封闭图形c的面积，s/表示c在平面内的射影c/的面积，表示与所成的锐二面角的大小。二面角的范围00，1800)。如cos=-，那么= arccos-=- arccos。abedcpfo举例如图在四棱锥p-abcd中，底面

9、abcd是直角梯形，adc=，abcd，pc面abcd，pc=ad=dc=ab，e为线段ab的中点。1求证：平面pac平面pde；2求二面角a-pe-d的大小。解析：1在直角梯形abcd中，容易知道四边形aecf是正方形，deac，又depcde面pac，面pde面pac；2记pc=a，abedcpf方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记ac、de交于o，连po，po是相互垂直的平面pde和pac的交线，过a作po的垂线交po的延长线于f，那么af面pde，即f是a在面pde内的射影，又容易证明ae面pec，那么aepe，于是fepe，aef是二面角a-pe-d的平面角；在pao中有面积相等

10、不难算出af=a，而ae=a，在rtafe中，aef=arcsin。注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其过程概括为：找一垂找作一个面内一点p在另一个面内的射影p/，作二垂过p或p/作二面角棱l的垂线，垂足为q，连三垂连p/q，那么lp/q，于是pq p/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂是关键。方法二：射影“悬空作二面角的平面角注意到aepe，记点a在面pde内的射影为f无须知道点f确实切位置，连ef，那么pefe，于是aef是二面角a-pe-d的平面角；以下问题化归到求af的长度即a点到面pde的距离上。以下用“等积

11、转换求af，计算略。abedcpmn方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角注意到dp=de=a，取pe的中点m，那么pedm，又容易知道aepe，取pa的中点n，连nm，那么nmae，pemn，于是nmd为二面角a-pe-d的平面角；以下在dmn中，用余弦定理求nmd，计算略。abedcpm方法四：用割补法求。视二面角a-pe-d为二面角a-pe-c与二面角d-pe-c的差。对二面角a-pe-c， ae面pec，面aep面pec，即二面角a-pe-c为；对二面角d-pe-c，点c是点d在面pec内的射影，取be的中点m，cp=ce=a，pemc，于是有：pemd，那么dmc为二面角d-

12、pe-c的平面角，abedpxycz在rtdcm中，dmc=arctan,二面角a-pe-d的大小为- arctan。注：在求钝二面角时“割补法往往很有效。方法五：用平面的“法向量求cpce, cpcd, cecd,故可以c为原点，、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。aa,a,0、d(a,0,0)、e(0,a,0)、p(0,0,a)，那么=(a,0,0),=(a,-a,0),=(0,-a,a)由此不难求出平面pae的法向量=0，1，1， 平面pae的法向量=1，1，1cabde那么有：cos<,>=,二面角a-pe-d的大小为arccos。注：用“法向量求二面角有一处严重的缺乏

13、：二面角两个面的法向量的夹角未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量稳固 如图，在多面体abcde中，ae面abc，bdae，且ac=ab=bc=bd=2，ae=1，求面cde与面cab所成的锐二面角 5求点到面的距离一般有三种方法：直接法过“点作“面的垂线尽可能找到过这一点的一个与“面垂直的平面，然后过“点作它们交线的垂线；等积转换；法向量: 假设平面的法向量为，直线ab与平面交于点a，那么点b到平面的距离=。举例1 线段ad平面，且与平面的距离为4，点b是平面内的动点，且满足ab=5，ad=10，那么b、d两点之间的距离 a有最大值，无最小值； b有最小值，无最大值；c有最大值，

14、最小值； d有最大值，最小值；解析：记a、d在面内的射影分别为a1、d1，ab=5，aa1=4，a1b=3，即b在面内以a1为圆心、3为半径的圆周上，又a1d1=10，故d1b最大为13，最小为7，而dd1=4，于是：由勾股定理得bd最大，最小，选d。z举例2 在棱长为4的正方体abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，点p在棱cc1上，且cc11的距离；·b1pacda1c1d1boh·图5-2·b1pacda1c1d1boh·图5-1e图5-3·b1pacda1c1d1boh·xyq解析：方法一：“等积转换。

15、如果直接研究三棱锥p-abd1的体积，无论怎样“转换都不易求；在dd1上取一点q，使dd1=4dq，那么pq面abd1，如图5-1；故=，记p到面abd1的距离为h，那么q到面abd1的距离为h， 由=得：h=；方法二：以d为原点建系，如图5-2，a4，0，0，b4，4，0，d10，0，4，p0，4，1，不难求出面abd1的法向量=(1,0,1),=(4,0,-1), h=；方法3：“补齐截面abd1即正方体的对角面abc1d1，过p作pebc1于e，如图5-3，peab，pe面abd1，pe的长度即为点p到平面abd1的距离，易求pe=。稳固1平面平面，直线，点，平面、之间的距离为8，那么在内到p点的距离为9的点的轨迹是： a一个圆 b两条直线 c四个点 d两个点稳固21 正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，那么点到侧面的距离为_07高考江苏卷14。2正三棱柱的所有棱长都为，为中点，那么点到平面的距离为 07高考福建理1