《13.3.2.1等边三角形的性质与判定》

1、13.3.2 等边三角形第十三章 轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 等边三角形的性质与判定 八年级数学上（RJ） 学习目标1探索等边三角形的性质和判定（重点）2能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证 明（难点） 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？问题引入导入新课导入新课等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.名称图 形定 义性 质 判 定等 腰 三 角 形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两

2、腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等边三角形的性质一讲授新课讲授新课类比探究ABCABC问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=ACB=C等边三角形AB=AC=BCAB=ACB=CAC=BCA=BA=B=C内角和为180=60结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60.已知：AB=AC=BC ， 求证：A= B=C= 60. 证明： AB=AC. B=C .( 同理 A=C . A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 .ABCABC问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条

3、边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”即“九线合三九线合三”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴图形等腰三角形性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60两条边相等三条边都相等知识要点例1 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数解：ABC是等边三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE604020.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.典例

4、精析方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.变式训练：如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线，ABC=ACB=60，DBC=30又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）例2 ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，(1)BQM等于多少度？(2)若四边形QMCN的面积为2

5、，正ABC的边长为4，求点Q到AB的距离。解：(1)ABC为正三角形，ABCCBAC60，ABBC.又BMCN，AMBBNC(SAS)，BAMCBN，BQMABQBAM ABQCBNABC60.方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.类比探究等边三角形的判定二图形等腰三角形判 定 三个角都相等（两个角为60）的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是

6、60的三角形也是等边三角形”，你同意吗？u等边三角形的判定方法： 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不不是是是是是是是是是是（4）（3）不不一一定定是是例3 如图,在等边三角形ABC中，DEBC, 求证：ADE是等边三角形.ACBDE典例精析证明： ABC是等边三角形， A= B= C（？）（？）. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形（？）（？）.想一想：本题还有其他证法吗？证明：ABC 是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =AD

7、E，ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形.变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？ ADEBC变式2若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？ 证明： ABC 是等边三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD =D =E ADE 是等边三角形ADEBC变式3：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明： ABC是等边三角形， A= 60.又 AD=AE, ADE是等边三角形（？）.例4 等边ABC中，点P在ABC内，点

8、Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论解：APQ为等边三角形证明如下：ABC为等边三角形， ABAC，BAC60.BPCQ，ABPACQ， ABPACQ(SAS)，APAQ，BAPCAQ.BACBAPPAC60，PAQCAQPAC60，APQ是等边三角形（？）方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.针对训练： 如图，等边ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF求证：DEF是等边三角形证明：ABC为等边三角形，且AD=

9、BE=CFAF=BD=CE，A=B=C=60，ADFBEDCFE（SAS），DF=ED=EF，DEF是等边三角形当堂练习当堂练习 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A105 B120 C135 D150 B3.在等边ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则CDF的度数是（）A10 B15 C20 D25 4.如图, ,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.ACBDE12B

10、5.如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB为边在ABC外作等边ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F求证：AEFBEC证明：ABD是等边三角形，DAB=60，CAB=30，ACB=90，EBC=90-30=60，FAE=EBCE为AB的中点，AE=BE又 AEFBEC， AEFBEC（ASA）6.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小. CBODAE解：OAB和OCD是两个全等的等边三角形.AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60. A、O、D三点共线， DOB=COA=120， COA DOB(SAS). DBO=CAO.设OB与EA相交于点F, EFB=AFO， AEB=AOB=60.F7.图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形(1)如图，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论拓展提升：图图解：(1)ANBM.理由：ACM与CBN都是等边三角形，ACMC，CNCB，ACMBCN60.ACNMCB.ACNMCB(SAS)ANBM.图(2)CEF是等边三角形证明：ACEFCM=60，ECF=60.ACNMCB，CAECMB.ACMC，ACEMCF(ASA)，CECF.