问题导数概念和运算学习教案

1、会计学1问题问题 导数导数(do sh)概念和运算概念和运算第一页，共30页。2021年12月21日星期二2 经济学中我们需要研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外,还要研究各变量之间相对变化快慢的程度；如城市人口增长的速度(sd)、国民经济发展的速度(sd)和劳动生产率等，这就需要用导数来研究。 本章将介绍导数和微分的概念以及它们的计算方法。第1页/共30页第二页，共30页。2021年12月21日星期二33.1 从两个(lin )问题谈起 1608年，荷兰眼镜制造商帕席发明了望远镜，不久Galilo用他制成的望远镜做出许多重大的天文发现。Kep

2、ler通过观测(gunc)归纳了三大行星运动定律(1619年公布最后一条)： 行星运动的轨迹是椭圆，太阳位于一个焦点上； 由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等； 行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的长半轴的立方成正比。 天文学等科学的发展一方面强化了它们对数学的需要，另一方面也促进了数学的发展。第2页/共30页第三页，共30页。2021年12月21日星期二4 1638年，Galilo出版关于两门新科学的对话，极力提倡自然科学的数学化，并建立了自由落体规律、动量定律等。此后，从数学上推证Kepler的经验定律成为当时自然科学的中心(zhngxn)课题之一。其中主要的研究问题有：确定

3、非匀速运动物体的速度与加速度的瞬时变化率问题；为望远镜的光程设计而确定透镜曲面上任一点的法线引出的曲线切线问题；确定近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题。在17世纪上半叶，Descartes、Fermat、Barrow、J.Wallis等科学家各自从不同的方面做出一系列具体工作，但他们的工作缺乏一般性。17世纪后期，最关键的工作由Newton和Leibniz完成了。 下面分别介绍Newton和Leibniz的工作。第3页/共30页第四页，共30页。2021年12月21日星期二5 Newton对微积分的研究始于1664年初，1665年至1667年春， Newton在家乡躲避瘟疫期间微积分

4、的研究获得突破性的进展。1665年11月发明“正流数术”，次年5月建立“反流数术”。1666年完成了总结性论文(后称流数简论)，此文并未发表，仅在同事(tng sh)中传阅。流数简论标志着微积分的诞生。 Newton最先发表的微积分学说是1687年出版的自然哲学的数学原理。而他其他的有关微积分的论文如运用无限多项方程的分析、流数法与无穷级数和曲线求积术都发表的很晚(最后一篇论文是在1736年他去世后才发表)。一、Newton的速度(sd)问题第4页/共30页第五页，共30页。2021年12月21日星期二6 Newton把任何变量都叫做流动量。因为任何运动都离不开时间，所以Newton总是把时间

5、作为自变量，运动的速度，即我们所说的导数， Newton把它叫做流数。 Newton在世时极限的概念还没有明确(mngqu)。为了便于理解，下面以极限的形式讨论速度问题。 问题的提出 设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻t质点的坐标为s，s是t的函数：s=s(t)，求动点在时刻t0的速度。 问题的解决 时间t由t0变到t1时，时间的改变量为t；对应地，路程的改变量为s=s(t0+t)-s(t0)，则t内的平均速度ttsttstsv)()(00第5页/共30页第六页，共30页。2021年12月21日星期二7 如果时间间隔较短，这个平均速度在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度。但这样(zhyn

6、g)做是不精确的，更确切地应当这样(zhyng)：令t =t -t00，取比值ttsttsts)()(00的极限(jxin)，如果这个极限(jxin)存在， 设为v0，即 这个极限值就是动点在时刻t 0的瞬时速度。ttsttsvt)()(lim0000第6页/共30页第七页，共30页。2021年12月21日星期二8二、Leibniz的切线(qixin)问题 Leibniz是一个数学家，因此他不像Newton那样着重于导数的应用，而是系统地给出导数(do sh)的计算公式(我们后面用到的导数(do sh)运算法则大部分是由他创立的)；另外， Leibniz还是一个符号学家，我们现在所用的微积分符

7、号基本上是他给出的。 Leibniz 是继承Barrow等人的方法利用微分三角形来计算曲线的切线而引入导数(do sh)的，他同样不明确极限的确切定义，下面介绍时我们也用已学过的极限记法说明他的结果。 问题的提出 有一平面上的曲线(假设可用函数表达式y=f(x)表示)，取曲线上一点M(x0,f(x0)，求曲线过M的切线方程。 由于所求直线上的一点M的坐标已知，我们只要求出切线的斜率，即可由点斜式给出切线的方程。第7页/共30页第八页，共30页。2021年12月21日星期二9 )(xfy 0 xoxyM)(0 xf 过M点作割线(gxin)MN，xN)(xf的的斜斜率率为为割割线线 MN,)()

8、(tan00 xxfxxf0 x当N沿曲线M时，极限位置的割线就是(jish)切线点的切线斜率为点的切线斜率为Mxxfxxfkx)()(lim000 问题的解决 我们画图来分析， 第8页/共30页第九页，共30页。2021年12月21日星期二103.2 导数概念与运算(yn sun)法则 Newton和Leibniz从不同的背景得到相同的运算式。实际(shj)上，只要是计算一个函数f(x)在一点x0的变化率问题，如物质比热、电流强度、线密度、生物数目的增长速度、溶液的溶解速度、地表的陡峭程度等等都可归结为这种式子的计算。由于它在实际(shj)生活中应用广泛，数学家、物理学家等对它进行一系列的研

9、究，从而形成一个理论系统，这就是微积分。 为便于研究，先对这个极限给出一个定义，即“导数”。ttsttsvt)()(lim0000 xxfxxfkx)()(lim000一、导数的基本概念第9页/共30页第十页，共30页。2021年12月21日星期二11定义 设函数(hnsh)f(x)在U(x0)有定义，若极限 *)()(lim000Axxfxxfx存在(cnzi)，则称f(x)在x0可导，x0为f(x)的可导点，A为f(x)在x0处的导数，记为Adxdfdxdyyxfxxxxxx000)(0 若极限(*)不存在，则称f(x)在x0不可导或没有导数，x0为f(x)的不可导点。特别地，若A=，则称

10、f(x)在x0处的导数为无穷大。1、导数的定义第10页/共30页第十一页，共30页。2021年12月21日星期二12 x是自变量x的改变(gibin)量(可正可负)； y=f( x0+ x) - f ( x0)是因变量的改变(gibin)量。000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfhxfhxfxfxxhxxfxxfxy)()(00反映(fnyng)的是自变量x从x0 改变到x0+x时函数的平均变化速度，称为函数的平均变化率。 导数表示因变量相对于自变量的变化率，它反映了函数f ( x)在x0的变化速度，也称为函数在 x0 处的变化率。f (x0)是一个数值，由函数f ( x

11、)和x0唯一确定。 为方便起见，导数的定义中的极限在应用中也可表示为其它形式：第11页/共30页第十二页，共30页。2021年12月21日星期二13利用定义(dngy)求函数的导数，即求极限00000)()(lim)()(lim0 xxxfxfhxfhxfxxh当f(x)形式(xngsh)比较复杂时，可先计算化简y=f( x0+ x) - f ( x0)， 。的导数在点求函数) 1, 0(log0aaxxxya，最后求极限再求比值xxfxxfxy)()(00。xxfxxfxyxx)()(limlim0000例备忘xxaxxxxa1)(lnln1)(log00证明过程第12页/共30页第十三页，

12、共30页。2021年12月21日星期二14的的导导数数。在在点点求求函函数数00cos10)(2xxxxxxf例 解 由于(yuy)f(x)为分段函数，在x=0两边有不同的表达式。计算极限时需用左右极限计算。0cos1lim0)0()(lim00 xxxfxfxx0lim0)0()(lim200 xxxfxfxx00)0()(lim)0(0 xfxffx因此(ync) 实际上，对于一般的分段函数，都需要用这种左右极限计算，为方便以后的讨论，对应于左右极限与左右连续，我们定义左右导数。第13页/共30页第十四页，共30页。2021年12月21日星期二15。Axf)(0定义(dngy) 函数y=f

13、(x)在U-(x0) x0有定义(dngy)，若极限Axxxfxfhxfhxfxxh00000)()(lim)()(lim0存在(cnzi)，则称A为f(x)在x0的左导数，记为。Axf)(0定义 函数y=f(x)在U+(x0) x0有定义，若极限Axxxfxfhxfhxfxxh00000)()(lim)()(lim0存在则称A为f(x)在x0的右导数，记为。AxfxfAxf)()()(000定理 与左右极限、左右连续对应的定理类似，左右导数有如下结果。第14页/共30页第十五页，共30页。2021年12月21日星期二16。的的导导数数在在点点求求函函数数00sin0)(xxxxxxf例。故1

14、)0( f解 由于(yuy) 这个结果(ji gu)主要应用于计算分段函数在分段区间的端点处的导数，而且为便于理解和减少错误，尽管以后学习导数的其他公式，对分段函数在分段区间的端点处的导数一律用定义计算。；1lim0)0()(lim)0(00 xxxfxffxx；1sinlim0)0()(lim)0(00 xxxfxffxx。的导数在点求函数0010)(23xxexxxfx练习。0)0( f答案第15页/共30页第十六页，共30页。2021年12月21日星期二17 定义 若函数f(x)在(a,b)内的每一点(y din)都可导，则称f(x)在(a,b)内可导，此时f(x)可视为x(a,b)的函

15、数，称为f(x)的导函数,简称为导数，记为dxxdfdxdyyxf)()(。axxaln1)(log例如(lr)函数logax的导函数为 显然，求一个函数的导函数，相当于求这个函数在每一个点的导数。因此，用定义计算导函数，即计算极限hxfhxfh)()(lim0注意在计算这个极限的过程中，h为变量，x为常数。第16页/共30页第十七页，共30页。2021年12月21日星期二18例 求函数(hnsh)y=cosx的导函数(hnsh)。解hxhxyhcos)cos(lim0。的导函数求函数xy 练习(linx)答案。x21hhhxh2sin22sin2lim0 xsin备忘xxxxcos)(sin

16、sin)(cos第17页/共30页第十八页，共30页。2021年12月21日星期二192、几何(j h)意义oxy)(xfy T0 xM)(,)()(000 xfxxfyxf在在表表示示处的切线(qixin)的斜率：tan)(0 xf)()(000 xxxfxfy则切线T的方程为：)()(1)(000 xxxfxfy对应的法线方程为：由Leibniz的切线问题可知，第18页/共30页第十九页，共30页。2021年12月21日星期二20例 求曲线y=log2x在点(2,1)处的切线方程(fngchng)与法线方程(fngchng)。解)2(2ln211xy)2(2ln21xy练习 求曲线y=co

17、sx在点(/2,0)处的切线方程(fngchng)与法线方程(fngchng)。答案xy2切线：2 xy法线：2ln212ln122xxxy由于，则切线的方程为法线的方程为第19页/共30页第二十页，共30页。2021年12月21日星期二213、与连续(linx)的关系定理 可导函数一定(ydng)连续。 注 此定理的逆命题不真，即连续的函数不一定可导。 从图像上看，连续表示图像在这一点是“连接着”的，没有断开，而可导表示图像在这一点有切线，即是“光滑”的，没有“棱角”。存在，可导，即在点若函数xyxfxxxfyx000lim)()(，则00)(limlimlimlim00000 xfxxyx

18、xyyxxxx即0000lim()()lim0 xxf xxf xy ，)()(lim00 xfxfxx得f(x)在x0点连续。由x0的任意性，我们有：第20页/共30页第二十一页，共30页。2021年12月21日星期二22例1的连续性与可的连续性与可在点在点讨论函数讨论函数00001sin)(xxxxxxf导性。解)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx由则f(x)在x=0处连续(linx)。0001sin( )(0)1(0)limlimlimsin0( )0 xxxxf xfxfxxxf xx而不存在，在处不可导。第21页/共30页第二十二页，共30页。2021年12月21日星期

19、二23解, 1)x(f ,0 x时时当当 ,0 x时时当当 h)x1ln()hx1ln(lim)x(f0h )x1h1ln(h1lim0h ,x11 例2).x(f,0 x),x1ln(0 x, x)x( f 求求设设第22页/共30页第二十三页，共30页。2021年12月21日星期二24,0 x时时当当 h)01ln()h0(lim)0(f0h , 1 h)01ln()h0(1lnlim)0(f0h , 1 . 1)0(f .0 x,x110 x, 1)x(f 第23页/共30页第二十四页，共30页。2021年12月21日星期二25这个定理(dngl)的逆否命题是：不连续则不可导。例如函数0

20、02)(2xxxxf不连续(linx)，因此在x=0也不可导。不能由2|x=0=0，(x2)|x=0=0就得到f (0)=0第24页/共30页第二十五页，共30页。2021年12月21日星期二26二、导数(do sh)的四则运算定理(dngl) ；)()()()(1xvxuxvxu 2( )( )( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x； 2( )( ) ( )( ) ( )3( )0( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx，则。都存在，则：都存在，则：、若若)()(xvxu 导数的广泛应用要求导数的计算必须熟练快速准确才能满足各种需要，而靠定义来计算导数显然是不够的。因此，我们必须深入讨论导数的各种运算性质和导数的计算技巧，同时给出一些基本函数的求导结果。利用这些结果和公式可以计算一般形式下较复杂的函数的导数。第25页/共30页第二十六页，共30页。2021年12月21日星期二27可导，则：可导，则：在在、若若xxuxuxuxun)()()()(21推论(tuln) ；