（整理版）高中数学知识要点重温（7）三角变换

1、高中数学知识要点重温7三角变换1假设，那么sin< <tan；角的终边“靠近y轴时，正弦、正切绝对值较大，角的终边“靠近x轴时，余弦、余切绝对值较大 。举例1假设x ，求方程sinx=tanx解的个数。解析：在图象中要能表达出0，上sin<tan，注意：横纵坐标的长度要一致>1，图象略1个。举例2q是第二象限的角，且<，那么+的取值范围是 a (-1、0) b (1、) c (-1、1) d (-、-1)解析：q是第二象限的角，那么k+，k+kz，一、三象限中“靠近y轴的局部，<，不在第一象限第一象限正、余弦均为正，“靠近y轴正弦较大，即2 k+，2 k+k

2、z，+=，+2 k+，2 k+，由图象知：(-、-1)，选d。稳固1假设且，那么的值为 a或bcd 稳固2abc的内角a满足：且tana-sina<0,sina+cosa>0,那么a的取值范围是_2一个角的某一三角函数值求角的大小，一定要根据角的范围来确定；如： sin=m(|m|<1),那么=2k+arcsinm或=2k+-arcsinm；cos=m(|m|<1),那么=2k±arccosm; tan=m,那么=k+arctanm， kz等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sin=sin, 那么=2k+, 或=2k+-，kz; 假设cos=cos

3、, 那么=2k; 假设tan=tan, 那么=k+,kz 等。举例1sin2a=sin2b,那么abc的形状为_解析： sin2a=sin2b 且2a+2b0，2，2a=2b或2a+2b=a=b或a+b= 即abc是等腰或直角三角形。举例2sin=-,(-,-)，求解析：sin=-，那么=2k- 或=2k， kz，又(-,-)=。 稳固 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，那么 a和都是锐角三角形 b和都是钝角三角形c是钝角三角形，是锐角三角形d是锐角三角形，是钝角三角形提高(0，)，那么直线x+ytan+1=0的倾角a b- c+ d-3. 熟悉将三角函数式化为y=asin(x

4、+)+b的套路。即：运用两倍角正余弦公式及半角公式降次、其中sin2x=(1-cos2x)，cos2x=(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必须牢记再引入辅助角特别注意，经常弄错使用两角和、差的正弦、余弦公式合二为一。这是三角变换中最常用的一套“组合拳，要能娴熟而精准地使用。举例函数f(x)=6sinxcosx-8sin2x取得最大值时tan2x的值为 。解析：f(x)=3sin2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(sin2x+cos2x)-4=5sin(2x+)-4(其中tan=),当且仅当2x+=2k+即2x=2k+-， kz时函数f(x) 取得最大值，此时ta

5、n2x=tan(2k+-)=cot=。注意：上述过程中“5(sin2x+cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证辅助角不出错的最重要的关口。稳固 函数的最大值为 4求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必须熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽皆源于此；而在“无条件求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。举例的值是： a- b- c - d - 解析：用两倍角公式，很快就会发现进行不下去。尝试“大化小，原式= ，选c。把100换成300-200是关键。稳固1= 稳固2 = 迁移 假设，那么 (a) (b) (c) (d)5. 三角变换中遇到形如： s

6、in±cos=m的条件，如果是研究性质的问题，常“合二为一；如果是求值的问题，常两边平方，得到sincos的值并判断出sin、cos的符号，再与sin±cos=m联立，解方程组。sin±cos与sincos“三兄妹关系密切，要做到见此及彼；其中sincos=sin+cos2-1= 1-sin-cos2,sin+cos与sin-cos通过sincos实现过渡.举例 a，假设，求的值。解析：思路一：联立方程和，解得：或a>0,后一组接舍去，=-。思路二：由平方得： ，联立运用韦达定理求得两组和的值，舍去一组后得出的值。思路三：利用容易求得，注意到<0即和异

7、号，a>0, <0； ；联立得到和的值，再求出的值。思路四：由平方得：<0，a>0, <0，a； 又>0, <-1,a,=再用半角公式求出和的值。稳固假设，那么等于 a. 1 b. 2 c. 1 d. 2 迁移1设是三角形的一个内角，且sin+cos=，那么方程x2sin+y2cos=1表示的曲线是a焦点在x轴上的椭圆b焦点在y轴上的椭圆 c焦点在x轴上的双曲线d焦点在y轴上的双曲线迁移2函数的值域为 6.能熟练掌握由tan的值m求sin、cos的值的方法：假设是锐角，就根据tan的值画一个直角三角形，在该直角三角形中求sin、cos；假设不一定是锐角

8、，那么由方程组：sin=mcos, sin2+cos2=1解得，或“弦化切。在三角变换中，要注意1的功用。“弦化切时常把1化为正弦与余弦的平方；在三角变换中常用两倍角余弦公式消去1,如：，等,此外.举例,其中为第二象限角,求(1),的值;(2) 的值;解析：1将代入得：=1=，又为第二象限角，=2原式=。分子、分母同除以是“弦化切的根本动作稳固2sin-cos=1求sin+2cos的值。迁移 设向量=1+cos，sin，=1-cos，sin，=1，0，0，2，与的夹角为1，与的夹角为2，且12=，求的值。7给一个角的三角函数值求另一个三角函数值的问题，一般要用“给值的角表示“求值的角，再用两角

9、和差的三角公式求得。举例1设、均为锐角，cos ，cos(+)= ,那么cos解析：、均为锐角，sin=, sin(+)=, cos=cos(+)- =()+=.(此类问题不宜解方程组)举例2，那么的值 解析：=+-，2+=+，=。这里“变角的灵感与“给值求值的做法一脉相承。稳固向量，|=，求的值假设且，求的值迁移a,b是锐角，sina=x,cosb=y,cos(a+b)=，那么y与x的函数关系式为ay=+x (<x<1)by=+x (0<x<1)cy=x (0<x<)dy=x (0<x<1)简答1., 稳固1b稳固2; 2. 稳固 易见是锐角三角形，假设是锐角三角形，与三角形内角为矛盾，选d，提高记直线倾角为，tan=-cot=tan(+),确定角的范围后选c，3 、稳固3，,4. 稳固1，稳固22，迁移注意：-与+互余，选 a;5.稳固b，迁移1c，迁移2记：sinx+cosx=t(1t),f(x)=(t-1)0，6. 稳固 2sin=1+cos，得sinc