《导学教程》高三数学二轮复习教案-专题二-第3讲-平面向量

1、第3讲平面向量自主学习导引真题感悟1. (2012 重庆)设 x、yCR,向量 a=(x, 1), b=(1 , y) , c=(2, 4),且 a，c, b / c,则 | a+ b| =A. .：5B. 10C. 2 ；5D. 10解析 利用平面向量共线和垂直的条件求解. a=(x，D , b=(1 , y), c=(2 , 4),由 a，c得ac = 0,即 2x4= 0, ，x = 2.由 b/c,得 1X( 4) 2y=0,.y= 2. a+b= (3, -1) , a | a+b| =32+-1 2=屏.答案 B2. (2012 浙江)在 /XABCt, M 是 BC 的中点，AW

2、 3, B最 10,则 AB- AC=.解析 利用向量数量积的运算求解.如图所示，AB=AWMb AC: aW Mc= aM- Mb.-.ab- aC= (aWMb (aM-Mb=aMMb二| AMI2 | Mb2=9 25= 16.答案 16考题分析近年的新课标高考，对于平面向量的考查主要是向量的模、夹角的运算以及平行、垂直的判 断及应用，重点考查的是平面向量数量积的运算与应用，考查形式多样，且常与其他数学知 识交汇命题网络构建向量及其琏本慨念向量的数量积高频考点突破考点一：向量的有关运算问题【例11 (1)(2012 聊城模拟)如图，在平行四边形 ABCD, O是对角线AG BD的交点，N

3、 是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是A. AC=AB+AbB.bDADABc.aO= ；aB+ ；Abd.aE= |画 Ab3精选文档(2)(2012 天水模拟)已知O为4ABC内一点，且 皿 OU 20K 0,则 AOCf zABC的 面积比值是A.1B.1C.2D. 1233审题导引(1)利用平面向量的加减法及平面向量基本定理逐一判定；(2)把所求面积的比转化为线段的比值.规范解答(1)设aE= xaNu x(aB+bNi=入超3入曲入AB+ 3入(江南二入超3入Abj4444又设是pDC二1. Afe=Abi是仙 仙路画 aB31. Afe=wAB+AD 故

4、选 D.3如图所示,设AC的中点为M贝1瑞昆20M又瓯0 2隹0,.OMk 画即。是BM的中点，1故 AOC勺底边AC上的图是 ABC底边AC上图的万,一 1.AOCWABC勺面积比值是2.答案(1)D (2)A【规律总结】平面向量运算中的易错点平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时， 经常出现的错误有：忽视向量的终点与起点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式.对此， 要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必 须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条 件.【变式训练】1. (2

5、012 密云一模)在 ABC中，点P是BC上白t点.总 2PC, 融入超 仙AC,则入=1, 11 =221入=3，3A.入=2, 1i=112c.入=仙=3解析如图，Ap=Afe+Bp=Afe+= B22(板鹤=3超料入=1.答案 C考点二：平面向量的数量积及应用【例2】(1)(2012 三明模拟)在边长为1的正三角形ABO,若BC= 2BD, CAu3配 则而酷(2012 海淀一模)已知向量a=(1 , x), b=(1, x),若2ab与b垂直，则| a| =A. 2B. 3C. 2D. 4审题导引(1)向量 也面脸 BO或AO滨示计算其数量积；(2)利用(2a b)，b,求出x,然后计

6、算| a|.规范解答(1) ADBE(丽画(AE鹤=AB+ 1BO 2aO-aB 23=3丽 AO-1 AB2+31BO. AO-；BO.丽=X 1X1x1 1+1X 1X 1X1-1X 1X 1X 1=.3232 224(2 ab) b=(3, x) ( 1, x) =x2 3 = 0,x= + '3, . . | a| =2.1答案(1)4 (2)C【规律总结】易错提示由于两向量的数量积与它们的模和夹角有关，因此数量积是解决长度、夹角(尤其是垂直)等问题的重要工具.注意在 ABC中，向量的夹角与 ABC的内角之间的关系，向 量与的夹角为角A,而与的夹角为九一B,这一点不要出错.【变

7、式训练】2. (2012 皖南八校联考)设向量a、b满足：| a| =2, a b=|, | a+b| =2也 则| b|1AqB. 13C,D. 2解析 |a+b|2= (a+b)2=| a|2 + 2a b+| b| 2= 4+3+1 b| 2= 8, . . | b| = 1.答案 B3. (2012 厦门模拟)已知平面向量a、b满足a (a+b) =3,且|a| =2, | b| =1,则向 量a与b的夹角为A.-67tB.3C.D.5兀-612,3xxx九 一y , b= cos 2， sin 2 ,且 x C 0,万，求:解析 a (a+b) =| a| 2+a b=4+a b =

8、 3, a b= - 1, cos a b='|a| b| 2X1.a, b> =2.答案 C考点三：平面向量的综合应用性问题,，一3x【例3】已知向重a= cos y, sin(1) a b及| a+b| ；3(2)若f(x)=a b 2入|a+b|的最小值是一,，求人的值.审题导引应用向量的数量积公式和模的公式，可得f(x)的表达式，再运用三角函数知识化简f(x),根据f(x)的表达式求出入的值.,一入3xx3xx规沱解答(1) a - b = cos万cos2sinysin2| a + b| 二=cos 2 x, cos 3x+cos 2 2+ sin 3x sin 2 2

9、yj cosg+sin 23x : cos22+sin+2 cos 3xcos 2 sin 'sin %=2 + 2cos 2 x = 2cos2x,LC九一.一一一. xe 0, ,0<cos x<1, . | a + b| =2cos x. f(x) =a b 2人 | a+b| =cos 2x2入 2cos x2(cos x 入)-1 2 人,当入0时，当且仅当cos x = 0时，f(x)取得最小值一1,这与已知矛盾;当00入时，当且仅当cos x=入时，f(x)取得最小值一1-2X2,c 31由已知，得一12入2= 3,解得人=2;当人1时，当且仅当cos x=1

10、时，f(x)取得最小值14人，. 一3 . 一 5 .由已知，得1-4X解得人=$,与人1矛盾.28,、，一， 1综上所述，"2【规律总结】平面向量综合应用的技巧例3体现了函数问题向量化、向量问题函数化的等价转化思想，其中，模的平方与向量数量积之间的关系|a|2= a- a = x2 + y2和a=(x, y)是实现向量与实数互化的依据和桥梁，也是重要的转化方法.在近几年的高考中，经常以解答题的形式考查上面所说的这种转化，且常见于以三角函数为背景的中易档解答题中.【变式训练】4. (2012 青岛二模)已知向量 mi= (sin x, 小sin x), n= (sin x, cos

11、x),设函数 f(x) = mn,若函数g(x)的图象与f (x)的图象关于坐标原点对称.(1)求函数g(x)在区间一了，目 上的最大值，并求出此时x的值；3(2)在4ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，A为锐角，若f(A)g(A)=2，b+c=7, zABC的面积为2木,求边a的长.解析(1)由题意得：f (x) = sin 2x ，3sin xcos x1 cos 2 x 131兀一一亍sin 2x=2-sin ”，LL1九所以 g(x)= 2 sin 2x-,因为 xC 3, 6 ,所以 2x ，2/ 6 , 46636所以当2x-6点,即x "6时，.冗 冗,1函数

12、g(x)在区间,石上的最大值为万.3(2)由 f(A)g(A)=2，,日冗冗 3得 1sin 2A+ +sin 2A-662八一1化间得：cos 2 A= - 2.一-万 ,，一万又因为0<A<3，解得：A=可， 23由题意知：Sa aba 1bcsin A= 23,解得 bc=8,又 b+c = 7,所以 a2 = b2+c2 2bccos A= (b+c)2 2bc(1 +cos A) =49-2X8X 1+1 =25,故所求边a的长为5.名师押题高考【押题1】在正三角形ABC中,AB= 1, 显 7CAA- 3/ 则CP 衽.解析 CP- M (7刖 3CB - AB= 7C

13、A aB+ 3CB- AB= 7X1X1Xcos 120 0 +3X 1 x 1 xcos 60 0 = 2.押题依据本题主要考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中等偏易题.每年高考大 多数情况下都会涉及此类题目，有时还会与正、余弦定理交汇命题，所以在备考中掌握其基 础知识，能熟练运算即可.【押题2】在 ABC中，角A、B C的对边分别为a、b、c.已知向量m= (b, a2c), n= (cos A 2cos C, cos B),且 ml n.(2)若 a = 2, |m =3«5,求AABC的面积 S.解析 (1)解法一 由 m_!n,得 b(cos A- 2cos C) +(

14、a -2c)cos B= 0.根据正弦定理,得 sin Bcos A- 2sin Bcos C+ sin Acos B 2sin Ccos B= 0.因此(sin Bcos A+ sin Acos B) 2(sin Bcos C+ sin Ccos B)=0,即 sin( A+ B) 2sin( B + C) = 0.因为 A+ B+ C=tt,所以 sin C 2sin A= 0.即snC= 2.解法二 由 miln 得，b(cos A- 2cos C) + (a -2c)cos B0.根据余弦定理，得 bxb ：:a +axa c二b 2bx 2bc2aca2+ b2 ca2+ c2-b2T-2- -2cx = 0.2ab2ac一 , sin C c即 c 2a=0.所以据F=a=2.因为a =