垂径定理及其推论

1、 问题问题: :你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到圆形不借助任何工具，你能找到

2、圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗? ? 如图如图,AB,AB是是O O的一条弦的一条弦, , 直径直径CDAB, CDAB, 垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧? ? 为什么为什么? ?OABCDE线段线段: AE=BE: AE=BE弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分

3、弦所对的劣弧1 1 垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDECD是直径是直径MOACBN垂径定理垂径定理AM=MBAN=NB垂径定理的本质是垂径定理的本质是满足其中任两满足其中任两条，必定同时条，必定同时满足另三条满足另三条（1 1）一条直线过圆心）一条直线过圆心（2 2）这条直线垂直于弦）这条直线垂直于弦（3 3）这条直线平分弦）这条直线平分弦（4 4）这条直线平分弦所对的优弧）这条直线平分弦所对的优弧（5 5）

4、这条直线平分弦所对的劣弧）这条直线平分弦所对的劣弧EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 则则 、 、 .1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD E

5、DCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDABAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECDC C2 2、如图，、如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE解：解：

6、连接连接OAOA， OEABOEABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm3 3、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEABOEAB于于E E，连接，连接OAOA2222435OAAEOEcm O的半径为的半径为5 5cm.cm.cmABAE421 已知已知 O的直径是的直径是10 cm， O的两的两条平行弦条平行弦AB=6 cm ，CD=8cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 .AEBOCD6810

7、1086.AEBOCDFEF有两解：有两解：8+6=14cm 8-6=2cm4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗? ?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂过圆心作弦的垂线段线段，这是一条非常，这是一条非常重要的重要的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦径、弦构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为，便将问

8、题转化为直角三角形的问题。直角三角形的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222AD

9、ODOA2222 . 77 .18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.1 1、两条辅助线：、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理： 垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理2 2 垂径定理推论垂径定理推论 a a 推理：推理：平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直的直径径垂直于弦垂直于弦, ,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径，

10、AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（1 1）过圆心）过圆心 （2 2）垂直于弦）垂直于弦 （3 3）平分弦）平分弦（4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5 5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧讨论：上述五个条件中的任何两个条讨论：上述五个条件中的任何两个条件作为题设，是否都可以推出其他三件作为题设，是否都可以推出其他三个结论个结论.OABDCE垂直于弦垂直于弦的直径平分这条弦，的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.(1)(1)平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦的直径垂直于弦,

11、,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .(2)(2)弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且平，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. .(3)(3)平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. .垂径定理垂径定理推论推论：(4)(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。 MOACBNAM=MBAN=NB垂径定理垂径定理推论推论1推论推论1. (1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。直于弦，并且平分弦所对的两条弧。MOA

12、CBN垂径定理垂径定理推论推论1AM=MBAN=NB(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧; ;MOACBN垂径定理垂径定理推论推论1AM=MBAN=NB(3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径, ,垂垂直平分弦直平分弦, ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。OABCDOABCDMM垂径定理垂径定理推论推论2判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的的弧弧 ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心 ( )（3）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分 ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦