随机向量的函数及其应用赵树杰学习教案

1、会计学1随机随机(su j)向量的函数及其应用赵树杰向量的函数及其应用赵树杰第一页，共47页。 2. 3. 正态随机向量的特性与变换。第1页/共47页第二页，共47页。； 4. 所用符号可能与教材不一致。附请教几个问题。第2页/共47页第三页，共47页。X)(XgY YXX)(xf)(XXxY)(yf)(xgy)(yhx y第3页/共47页第四页，共47页。.1)1 (其他0)()(YYyJyhxfyfyyhJd)(d.2)1 (|XXYxxg),(minXXYxxg),(max第4页/共47页第五页，共47页。),(2XXNXXXXYYXXxy/ )( XXyxXXXyyJd/ )( d2e

2、xp21)(221yyf) 1 , 0(NY第5页/共47页第六页，共47页。X其他常数）0, 0(|11)(2aaxaxaaxf0X6/22aXcXYcYcxycyx1J第6页/共47页第七页，共47页。Y其他常数）0, 0(|11)(2acaycacyaayfcY6/22aY)(xf)(yfY第7页/共47页第八页，共47页。称称于均值的三角分布。于均值的三角分布。a / 1aa0caca)(xf)(yfc)(xf)(yf)2(aca) 6/()(acYZ0Z12ZZ第8页/共47页第九页，共47页。) 1 , 0 (X2XYY2xy21yx )2/(1|21yJ 00021)(21212

3、1yyyxfyxfyyf第9页/共47页第十页，共47页。0002exp21)(21yyyyyf)(xfY12)(yf0y21N第10页/共47页第十一页，共47页。(jn zh) , 分布参数同分布参数同的分布参数的分布参数, 见见例例1.2。所以，。所以，的图形是的图形是的的图形沿横坐标平移图形沿横坐标平移。（2）若函数）若函数是非线是非线性函数性函数(变换变换), 则随机变则随机变量量所属的分布将不同于随机所属的分布将不同于随机变量变量所属的分布所属的分布, 见例见例1.3。)(XgYYXcXYccXY)(yf)(xfcYYX)(XgYYX第11页/共47页第十二页，共47页。)(XgY

4、Yxxfyyfd)(d)(Y2Y)(yfYYyyyfYd)(YYyyfyYYd)()(22)(xgy) 3 . 1 () 4 . 1 (第12页/共47页第十三页，共47页。)(yfXXxxfxgYd)()(XXxxfxgYYd)()(22) 5 . 1 () 6 . 1 () 3 . 1 () 4 . 1 ()(XgY Y2YYX)(xfkXXxxfxgykYykd)()()(E) 7 . 1 (第13页/共47页第十四页，共47页。2exp21)(221xxf) 1 , 0 (X2XYY2Y0002exp21)(21yyyyyf第14页/共47页第十五页，共47页。YY2Yyyyyyyyf

5、Yd2exp21d)(0210121212121d2exp212102121yyy1d2exp21)(E0212222yyyyyYY1d2exp2102321yyy212521212521第15页/共47页第十六页，共47页。YY2YxxxxxfxYd2exp21d)(2212202221d2exp221xxx1212121221221xxfxgYYd)()(22xxxd2exp2112212221221222321221第16页/共47页第十七页，共47页。杂波等杂波等, 统计特性不一样统计特性不一样(yyng),处理方式与系统也不一样处理方式与系统也不一样(yyng)。信号处理系统硬软件设

6、计，信号处理系统硬软件设计，需要统计特性。需要统计特性。信号处理系统性能研究信号处理系统性能研究, 也也需信号的统计特需信号的统计特性。性。Nknshxkkkk, 2 , 1|第17页/共47页第十八页，共47页。T21)(NXXXXN)(XgYXY),(21NxxxfNNXNY),(21NyyyfNNN第18页/共47页第十九页，共47页。NkxxxgyNkk, 2 , 1),(21) 1 . 2 (), 2 , 1(Nkyk|)(,),(),(2211JhxhxhxfNNNkyyyhxNkk, 2 , 1),(21) 2 . 2 ()(kkhx),(21Nyyyf) 3 . 2 (NJN第

7、19页/共47页第二十页，共47页。) 4 . 2 (NNNNNNyhyhyhyhyhyhyhyhyhJ)()()()()()()()()(212222111211N第20页/共47页第二十一页，共47页。Tttnatstx0)(),()(；)(tx)cos(),(0taats ；)(af)(f)(tn2)(0NPnQIjxx 第21页/共47页第二十二页，共47页。)(lf0)(212Q2Ilxxl20)arctan(IQxx)(f)(lf)(f第22页/共47页第二十三页，共47页。200cosIllxl200sinQllx),|(Iaxf),|(Qaxf),|,(QIaxxf),|,(a

8、lf),|(alf),|(af0)(llf20)(f第23页/共47页第二十四页，共47页。NT21)(NaaaaNT21)(NXXXXNkkkXaX1TXa) 1 . 3 (T21)(NXXXXN第24页/共47页第二十五页，共47页。NT21)(NXXXX) 2 . 3 (T)(21NXXXXT)(EXXXXXC) 3 . 3 ()()(21exp|)2(1),(1T21221XXXXxCxCNNxxxf) 4 . 3 (NN第25页/共47页第二十六页，共47页。 (1) 的均值的均值T21)(NXXXXN) 5 . 3 (NkkkXaX1XXNkXkXkaX1)(E) 6 . 3 (X

9、XkXkX)(E22)(EkkXXkX第26页/共47页第二十七页，共47页。关时关时 , 则则) 8 . 3 () 9 . 3 (XXiXjXNjiXXjiXXXjXiijjiji, 2 , 1,)(EX2)(E112NkNkXkkkXkaXajikXNkNiXijjNjiXkaaaij11122iXjX) 0(ij2122kXNkkXa)10. 3 (第27页/共47页第二十八页，共47页。)11. 3 (NkXXaXNkkkk, 2 , 11TXaXT21)(Naaaak1ka), 2 , 1(0kjNjaj；), 2 , 1(NkXkXN1 (M)NM N第28页/共47页第二十九页，

10、共47页。利用各分量之间相互统计利用各分量之间相互统计独立时独立时, 维联合维联合概率密度函数等于各自一维概概率密度函数等于各自一维概率密度函数之积率密度函数之积,可得各分量两两之间的协方差可得各分量两两之间的协方差等于零等于零, 结论得证。结论得证。T21)(NXXXXNN第29页/共47页第三十页，共47页。, jio)阵阵, 求出求出和和代代入正态随机向量的概率密度函入正态随机向量的概率密度函数表达式数表达式 , 得得式中式中, 是正态随机变量是正态随机变量 的的PDF。结论得证。结论得证。N) 4 . 3 (XC21|XC1XC)(),(121NkkNxfxxxf)11. 3 ()(k

11、xfkX第30页/共47页第三十一页，共47页。NNkXXkNXNxxxxf12222212)(exp21),()12. 3 (XkX), 2 , 1(22NkXXkN)IID(第31页/共47页第三十二页，共47页。量量 , 其每个分量其每个分量是正态随机是正态随机(su j)向量向量各分量各分量的线性组合的线性组合, 所以所以是是正态随机正态随机(su j)变量；变量；)13. 3 (NMT21)(NXXXXNAAXYMYMjYj(), 2 , 1(NkXk), 2 , 1M), 2 , 1(MjYjX第32页/共47页第三十三页，共47页。)14. 3 (MjjjYaY1TYaMXT21

12、)(MaaaaYYYYMYYCYXYA TAACCXY)15. 3()16. 3(第33页/共47页第三十四页，共47页。与它的特征与它的特征函数函数构成傅里叶变换对构成傅里叶变换对, 即即有有)17. 3(22X)(xfXjeX)(XGxxfGxXde )()(jX)(xf)(XGde )(21)(j xXGxf)18. 3(第34页/共47页第三十五页，共47页。的特征函数为的特征函数为N22kXNkXkXk, 2 , 1)E(Nk2kXY1a), 2 , 1(2NkXYkkNkXXk, 2 , 122222222122 j1)2/(exp2exp2 j11)(XXXXXXYkkkGNk,

13、 2 , 1 )19. 3(第35页/共47页第三十六页，共47页。2)(kYG, 2 , 1( kYk2221212222 j1)2/(exp2exp2 j11)(XXXNkXNkXNXYkkG)20. 3(N),N)(YGNkkNkkXYY121第36页/共47页第三十七页，共47页。2)21. 3()j(1expj1IFTaban02exp)(21211212ybyIaybynnnIn02exp0021)(22112122121222yyIyyyyfXNkXNXNkXNkXNXkkk)22. 3(第37页/共47页第三十八页，共47页。202exp0021)(22112122121222

14、yyIyyyyfXNkXNXNkXNkXNXkkk)22.3(YN2NkXk12第38页/共47页第三十九页，共47页。自由度的非中心自由度的非中心分布分布, 非中心参数为非中心参数为。2b)02exp0021)(22121222222yyNIyNyNyyfXXNXXXNX)23.3(YkX22XN), 2 , 1(NkkXX), 2 , 1(22NkkXXN第39页/共47页第四十页，共47页。自由度的自由度的分布。分布。2c)0002exp) 2(21)(21222yyyNyyfXNNX)24.3(YkX20X22kXXN), 2 , 1(Nk第40页/共47页第四十一页，共47页。是服从

15、具有是服从具有 个自由度的个自由度的分分布。布。2d)0002exp) 2(21)(122yyyNyyfNN)25.3(YkX20X12XN), 2 , 1(Nk第41页/共47页第四十二页，共47页。第42页/共47页第四十三页，共47页。其他0)()(XXxxfxf)(XgY )(yhx Jyh)(其他0|)()(YYyJyhxfyfXXYxxg),(minXXYxxg),(max)()(xxf其他0| )(|)()(YYyyhyhfyf)(),(minggY)(),(maxggYYY第43页/共47页第四十四页，共47页。其他0)()(XXxxfxf)(XgY )(yhx Jyh)(其他0|)()(YYyJyhxfyfXXxxfxgYd)()(XXxxfxgYYd)()(22第44页/共47页第四十五页，共47页。量：当正态随机量：当正态随机变量变量之间是相互统之间是相互统计独立计独立(dl)时时, 构成构成的是正态随机向量；当正态随的是正态随机向量；当正态随机变量机变量之间是相关的之间是相关的, 则构成的不一定则构成的不一定是正态随机向量。是正态随机向量。NNNT2