随机向量及其分布学习教案

1、会计学1随机向量随机向量(xingling)及其分布及其分布第一页，共25页。(1) (1) 二维随机向量（二维随机向量（X X，Y Y）的一个可）的一个可能能(knng)(knng)值可以用平面上的一个点值可以用平面上的一个点表示表示D(2)样本空间是平面上的一些离散点或者(huzh)平面区域D第2页/共25页第二页，共25页。一、二维随机向量（X，Y）的联合分布(fnb)函数F（x, y）=PXx, Yy 第3页/共25页第三页，共25页。第4页/共25页第四页，共25页。 对于对于(duy)(duy)任意的任意的x1x1x2x2，y1y1y2y2， Px1 Px1Xx2Xx2，y1y1Y

2、y2Yy2F F（x2, y2x2, y2）-F(x2,y1) -F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1) F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1) 3 矩形区域(qy)内的概率计算：第5页/共25页第五页，共25页。第6页/共25页第六页，共25页。: F(- ,+ )=?思思考考第7页/共25页第七页，共25页。例1、设（X，Y）的分布(fnb)函数 ( , )(arctan)(arctan)xxF x yA BC34求求 A,B,C A,B,C 的值及概率的值及概率(gil)PX3,Y4(gil)PX3,Y4解:由分布函数(hnsh)的性质, (,),F 1 (,),F

3、0 (,),F 0得得 ()()22A BC1 ()()22A BC 0 ()()22A BC 0解得 A 21 2B 2C ,()()()P XYF 219343,4422416 (,)xy 第8页/共25页第八页，共25页。111 ijijp第9页/共25页第九页，共25页。 （5）（）（X，Y）的联合分布）的联合分布(fnb)函数为：函数为：xxyyijijpyxF),(其中(qzhng)和式是对一切满足xix，yjy的i, j来求和的。 y1 y2 yj yj+1 x1 p11 p12 p 1j p 1j+1 x2 p21 p22 p 2j p 2j+1 ： ： ： ： ： xi pi

4、1 pi2 pij pij+1 xi+1 pi+11 pi+12 pi+1j pi+1j+1 ： ： ： ： ：XY第10页/共25页第十页，共25页。例题例题(lt)3(lt)3设随机变量设随机变量X X在在1 1，2 2，3 3，4 4四个数中等可能四个数中等可能(knng)(knng)地地取一个数，另一个随机变量取一个数，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能中等可能(knng)(knng)地取一个数，试求（地取一个数，试求（X X，Y Y）的分布律）的分布律x xy y1 2 3 4 1 2 3 4 1 12 23 34 41/4 0 0 01/4 0 0 01/8 1/8 0

5、01/8 1/8 0 01/12 1/12 1/12 01/12 1/12 1/12 01/16 1/16 1/16 1/161/16 1/16 1/16 1/16第11页/共25页第十一页，共25页。的分布(fnb)列。 ),(YXX由乘法(chngf)公式得 ,XY解解可能可能(knng)(knng)取值分别都为取值分别都为1 1，2 2，3 300411| 111, 111XYPXPYXPp6132411|212, 112XYPXPYXPp121314113p一袋中有四个球，一袋中有四个球，上面分别标有数字上面分别标有数字1 1，2 2，2 2，3 3从袋中任取一球后不放回，从袋中任取一

6、球后不放回，再从袋中任取一个球，以再从袋中任取一个球，以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求求第12页/共25页第十二页，共25页。同理可得61314221p61314222p61314223p121314131p61324132p004133p 所以 的分布列为),(YXXY06/112/112/16/106/16/16/1321123可见可见(kjin)(kjin)0ijp1jijip第13页/共25页第十三页，共25页。三、三、 二维连续型随机二维连续型随机(su j)向量的概率分布向量的概率分布( , )( , ) yxF x yf u v

7、 dudv 则称（则称（X X，Y Y）为二维连续型随机向量，）为二维连续型随机向量，f(x, y)f(x, y)为为（X,YX,Y）的（联合）的（联合(linh)(linh)）概率密度或（联合）概率密度或（联合(linh)(linh)）分布密）分布密度。度。第14页/共25页第十四页，共25页。2 .概率密度概率密度 p(x, y) 的性质的性质(xngzh)2( , )F x yx y (, )( , )DPX YDp x y dxdy第15页/共25页第十五页，共25页。 例例5 5 已知二维连续型随机向量已知二维连续型随机向量(xingling)(xingling)（X X，Y Y）的

8、联合概率）的联合概率密度，求密度，求 (1)K ; (2)F(x,y);(3)P0X1,0Y1; (4) PX+Y 1 (1)K ; (2)F(x,y);(3)P0X1,0Y1; (4) PX+Y 1 (),0,0( , )0,xykexyp x y 当当其其它它 1),(dxdyyxpkekdyedxekdxdyekxyxyx 200000)()|(1第16页/共25页第十六页，共25页。 ()0000(1)(1)xyxyu vuvxyedudve due dvee (1)(1),0,0( , )0,xyeexyF x y 其其他他（3）记D = （x , y）| 0 x1,0y1，则 01

9、,01PXY ( ,)xyDDp x y dxdyedxdy 111200(1)0.3996xyedxedye第17页/共25页第十七页，共25页。 （4）记D=（X，Y）| X+Y 1，则有1( , ) DP XYp x y dxdy () xyDed x d y 11()00 xxydxedy 110(1) xxeed x210.2642 e x+y=1第18页/共25页第十八页，共25页。例6、设（X，Y）的分布(fnb)函数 2( , )(arctan)(arctan)xxF x y 12324),(yx试求：试求：(1)(X(1)(X，Y)Y)的分布的分布(fnb)(fnb)密度密度

10、(2) P0 X3解、解、2( )( , )()()f x yxy 2212191633200( )0303,( , )()()PXPXYf x y dxdyxy 22212dxdy19164第19页/共25页第十九页，共25页。四、两个四、两个(lin )(lin )重要分布重要分布（1） 设平面(pngmin)区域D 的面积为 A ，若随机向量（X，Y）的概率密度为1,( ,)( ,) 0,x yDp x yA其 它111111(, ) DDAP X YDdxdydxdyAAA 则称随机则称随机(su j)(su j)向量（向量（X X，Y Y）在区域）在区域D D上服从均匀分布。上服从均

11、匀分布。（2 2）若区域）若区域D D内任一部分区域内任一部分区域D D1 1，其面积为，其面积为A A1 1，则有，则有第20页/共25页第二十页，共25页。 G=(X,Y)G,(X,Y)例题 设区域x,y)|0 x1,0yx例题 设区域x,y)|0 x1,0yx二维随机向量在 上服从均匀分布二维随机向量在 上服从均匀分布试求的分布函数试求的分布函数2 ( , ): ( , )0 x yGf x y 解解其他其他(1)x0 y0,F(X,Y)=0或时或时(2)01 , 0y, ( , )(2)xx F x yyxy2(3)01, ( , )xyxF X Yx时时(4)1,01, ( , )(

12、2)xyF x yy y(5)1,1 F(x,y)=1xy第21页/共25页第二十一页，共25页。 的二维正态分布，记为 ),(YX 221211( , )exp2(1)21f x y 221122221122()()()()2 xxyy ,21210,02111),(YX,2121221212(,) (,) X YN 若二维随机变量若二维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的概率密度为的概率密度为其中其中(qzhng)(qzhng)都是常数都是常数(chngsh),(chngsh),且且则称则称服从参数为服从参数为第22页/共25页第二十二页，共25页。F（x, y）=PXx, Yy yxdudvvupyxF),(),( 四 、 两个重要