随机试验样本空间PPT学习教案

1、会计学1随机随机(su j)试验样本空间试验样本空间第一页，共55页。第一章第一章 随机随机(su j)事件与概率事件与概率第一节第一节 随机随机(su j)(su j)实验实验第2页/共55页第二页，共55页。 （2 2）什么）什么(shn me)(shn me)是随机试验是随机试验? ? 它和我们平常说的实验有什么它和我们平常说的实验有什么(shn (shn me)me)不同？要求的条件是什么不同？要求的条件是什么(shn (shn me)? me)? 一、问题一、问题(wnt)(wnt)提出提出第3页/共55页第三页，共55页。 先从实例(shl)来分析自然界和社会活动中存在着两类不同的

2、现象. 例例1 1 在一个在一个(y )(y )标准大气压标准大气压力下力下, ,水加热到水加热到100100就沸腾就沸腾. . 例例2 2 向上抛掷向上抛掷1010次五分硬币次五分硬币, ,硬币往下掉硬币往下掉. . 例例3 3 同性电荷相斥同性电荷相斥, ,异性电荷相吸异性电荷相吸. .例例1 1、例、例2 2、例、例3 3是在是在一定条件下必然发一定条件下必然发生的现象生的现象 二、问题分析二、问题分析第4页/共55页第四页，共55页。 我们把这种在保持条件不变的情况下, 进行重复试验或观察,其结果总是确定的现象称为(chn wi)确定性现象或必然现象. 例例4 4是在一定条件是在一定条

3、件(tiojin)(tiojin)下必然不下必然不可能发生的现象可能发生的现象 例例4 4 在一个在一个(y )(y )标准大气压力下标准大气压力下,20,20的水结冰的水结冰. .第5页/共55页第五页，共55页。 另外(ln wi),在我们所生活的世界上还充满了不确定性. 例5 用大炮轰击(hngj)某一确定目标,其结果可能是击中目标,也可能击不中目标. 例6 在相同条件下,抛一枚质地(zhd)均匀的硬币,其结果可能正面向上,也可能反面向上. 例例7 7 在合格品率为在合格品率为98%的产品中任取一件产品的产品中任取一件产品, ,取到的可能是合格品取到的可能是合格品, ,也可能是不合格品也

4、可能是不合格品. .第6页/共55页第六页，共55页。 对于例对于例5例例7所表述的现象进行所表述的现象进行(jnxng)归纳分析归纳分析,可以看出：发生的结果预先可知但事先又不能完全确定可以看出：发生的结果预先可知但事先又不能完全确定.我们把这种在保持条件不变的情况下我们把这种在保持条件不变的情况下,重复试验或观察重复试验或观察,可能出现这种结果可能出现这种结果,也可能出现那种结果的现象称为随机现象也可能出现那种结果的现象称为随机现象. 第7页/共55页第七页，共55页。 对于随机现象,人们经过长期地观察或进行大量的试验,分析表明：这些发生(fshng)结果并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的

5、. 在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们所说的统计规律性.而概率论与数理统计正是研究和揭示随机现象(xinxing)统计规律性的一门数学学科. 第8页/共55页第八页，共55页。 概率论与数理统计的关系概率论与数理统计的关系(gun x) 概率论是数理统计的理论基础概率论是数理统计的理论基础.由于随机现象的普遍性由于随机现象的普遍性,使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用.例如例如,使用概率统计的方法可以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检验等使用概率统计的方法可以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检验等.另一方面另一方面,广泛的应用也促

6、进了概率论与数理统计的极大发展广泛的应用也促进了概率论与数理统计的极大发展. 第9页/共55页第九页，共55页。( (二二) ) 随机随机(su j)(su j)试验试验 在一定条件下在一定条件下,对自然对自然(zrn)现象和社会现象现象和社会现象进行的实验或观察常常称为试验进行的实验或观察常常称为试验,常用常用E表示表示. 例例8 E1:将质地均匀将质地均匀(jnyn)的一枚硬币投掷一的一枚硬币投掷一 次次,观察正面或反面朝上的情况观察正面或反面朝上的情况. 例例9 9 E2: :掷一颗质地均匀的骰子掷一颗质地均匀的骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. . 例例1010 E3: :在一批

7、灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, ,测试其寿命测试其寿命. .第10页/共55页第十页，共55页。上述试验上述试验(shyn)均具有以下三个特点：均具有以下三个特点：(1) (1) 试验可以试验可以(ky)(ky)在相同条件下重复进行在相同条件下重复进行; ; （2）试验的所有可能结果是事先明确）试验的所有可能结果是事先明确(mngqu)可知可知 的的,并且不止一个并且不止一个; （3）每次试验之前不能确定哪一个结果会出现每次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 我们把具有上述三个特点的试验我们把具有上述三个特点的试验, ,称为称为随机试验随机试验, ,也简称为也简称为试验试验.第1

8、1页/共55页第十一页，共55页。 随机试验是一个含义较广的术语,它包括对随机现象进行观察、测量、记录(jl)或进行科学实验等. 我们以后提到的试验都是指随机试验. 第12页/共55页第十二页，共55页。什么是随机试验什么是随机试验(shyn)? (shyn)? 要求的条件是什么要求的条件是什么? ?三、内容三、内容(nirng)(nirng)小结小结（1 1）试验可以在相同条件下重复进行试验可以在相同条件下重复进行; ; （2 2）试验的所有可能结果是事先明确可试验的所有可能结果是事先明确可知的知的, ,并且不止一个并且不止一个; ; （3 3）每次试验之前不能确定哪一个结果每次试验之前不能

9、确定哪一个结果会出现会出现. .第13页/共55页第十三页，共55页。四、习题四、习题(xt)(xt)布置布置 P2 1、2.第14页/共55页第十四页，共55页。第一章第一章 随机事件随机事件(shjin)(shjin)与概率与概率第二节第二节 样本空间及随机事件样本空间及随机事件(shjin)(shjin)第15页/共55页第十五页，共55页。 内容简介内容简介: : 分析了随机试验发生后产生的结果分析了随机试验发生后产生的结果, ,借助于集合论的有关概念和方法借助于集合论的有关概念和方法(fngf),(fngf),通过将日常语言与数学符号建立的对应关系通过将日常语言与数学符号建立的对应关

10、系, ,建立了样本空间、随机事件、和事件、积事件、差事件、对立事件、互斥事件及其运算性质的理论体系建立了样本空间、随机事件、和事件、积事件、差事件、对立事件、互斥事件及其运算性质的理论体系. .第一章第一章 随机随机(su j)(su j)事件与事件与概率概率第二节第二节 样本空间及随机样本空间及随机(su (su j)j)事件事件第16页/共55页第十六页，共55页。一、提出一、提出(t ch)问题问题 1. 随机试验的结果可知但不确定，怎样来研究它？我们所关心某个(mu )或某些结果是否会出现？出现的可能性的大小？二、预备二、预备(ybi)知识知识1.1.集合与元素，全集，空集集合与元素，

11、全集，空集. .2.2.集合运算及其运算性质集合运算及其运算性质. . 2. 试验结果复杂多样，如何研究他们之间的关系？试验结果复杂多样，如何研究他们之间的关系？第17页/共55页第十七页，共55页。三、分析三、分析(fnx)问题问题 对于随机试验(shyn),人们感兴趣的是试验(shyn)结果, 即每次随机试验(shyn)后所发生的结果. 将随机试验的每一个可能(knng)的结果称为随机试验的一个样本点,通常记作. 将随机试验将随机试验E的所有样本点组成的集合叫做试验的所有样本点组成的集合叫做试验E的的样本空间样本空间, ,通常用字母通常用字母S表示表示. .由一个样本点由一个样本点组成的单

12、点集组成的单点集 叫做叫做基本事件基本事件. ( (一一) ) 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 第18页/共55页第十八页，共55页。 例例1 E1:将质地均匀将质地均匀(jnyn)的一枚硬币投掷一次的一枚硬币投掷一次,观察正面或反面朝上的情况观察正面或反面朝上的情况.“正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上”是是E1的样本的样本(yngbn)点点,所以样本所以样本(yngbn)空间可简记为空间可简记为S=正正,反反. 例例2 E2: 2 E2: 掷一颗质地均匀掷一颗质地均匀(jnyn)(jnyn)的骰子的骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. .“出现出现i点点” (i=1,2,6

13、)是是E2的样本点的样本点, ,所以样本空间可简记为所以样本空间可简记为S=1,2,6.第19页/共55页第十九页，共55页。 例例3 E3:3 E3:在一批灯泡中任意抽取在一批灯泡中任意抽取(chu q)(chu q)一只一只, ,测试其寿命测试其寿命. . “测得灯泡寿命为t小时(0t+)”是E3的样本点, 所以(suy)样本空间可表示为S=t|0t+. 例例4 E4:4 E4:一袋中装有红白两种颜色的一袋中装有红白两种颜色的1010只乒乓球只乒乓球, ,从袋中任意从袋中任意(rny)(rny)抽取抽取1 1只球只球, ,观察其颜色观察其颜色. . 令令1=“取得红球取得红球”, ,2=“

14、取得白球取得白球”, , 则样本空间则样本空间S=1,2. 第20页/共55页第二十页，共55页。 例例5 E5: 5 E5: 将质地均匀的一枚硬币投掷两次将质地均匀的一枚硬币投掷两次, ,观察观察(gunch)(gunch)正面或反面朝上的情况正面或反面朝上的情况. . 试验试验E5的全部样本点是：的全部样本点是：(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反).其中其中(正正,正正)表示表示“掷第一次硬币掷第一次硬币(yngb)正面朝上正面朝上,掷第二次硬币掷第二次硬币(yngb)正面朝上正面朝上”,依此类推依此类推.则样本空间则样本空间S=(正正,正正),(正正,反反),(

15、反反,正正),(反反,反反). 第21页/共55页第二十一页，共55页。 从上面例从上面例1例例5可以看到可以看到,样本空间可以是有限集或无限集样本空间可以是有限集或无限集,可以是一维点集或多维点集可以是一维点集或多维点集,可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个区域可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个区域.有时候有时候,为了数学为了数学(shxu)处理方便处理方便,还可以把样本空间作相应扩大还可以把样本空间作相应扩大.例如例如,在例在例3中可以取中可以取S=0,+),若有必要若有必要,甚至可以取成甚至可以取成 (-,+). 人们常用数字或者符号(fho)来表示具有实际 意义的试验结果. 第22页

16、/共55页第二十二页，共55页。例例6(Ex.) 写出下列随机写出下列随机(su j)试验的样本空间：试验的样本空间：,1211101S解：(1) 生产产品直到有生产产品直到有10件正品件正品(zhngpn),记录生产产品的记录生产产品的总件数总件数;(2) (2)将一只一尺长的尺子折成将一只一尺长的尺子折成3段段,观察各段长度观察各段长度 ；(3) (3)对某工厂的产品进行检查对某工厂的产品进行检查,如连续查出如连续查出2个次品或检个次品或检查查4个产品后就停止检查个产品后就停止检查,记录检查结果记录检查结果.,),(10002zyxzyxzyxS,;,1111111011011100101

17、110101000111011001010100003S第23页/共55页第二十三页，共55页。 在实际问题中,人们常常需要研究由样本空间中满足某些条件的样本点组成的集合,即关心于满足某些条件的样本点在试验后是否会出现.例如,在汛期,水文站关心的是江河水位是否达到或超过警戒水位H0;抽查产品时检验(jinyn)人员关心的是产品某些方面指标是否达到合格标准,等等. 第24页/共55页第二十四页，共55页。 我们称样本空间S中满足某些条件的样本点构成的子集为随机(su j)事件,简称事件.通常用A,B,C,表示.若试验后的结果A,则称事件A发生,否则称A不发生. 第25页/共55页第二十五页，共5

18、5页。 样本空间样本空间S也是它自己的子集也是它自己的子集, ,因而也是事件因而也是事件, ,它叫它叫必然事件必然事件; ; 空集空集 中不含中不含S的任何元素的任何元素, , 它叫它叫不可能事件不可能事件. . 讲评:必然事件和不可能事件所反映的现象是确定性现象,并不具有(jyu)“随机性”,为了研究问题的方便,我们把它们分别看作一种特殊的“随机事件”. 第26页/共55页第二十六页，共55页。 例如,在例2中,设A表示掷一枚骰子, 出现的点数6,则A=S是必然事件；设B表示出现8点,则B是空子集,因而是不可能事件; 设C表示出现偶数点,则C=2,4,6,若实际掷出“2点”,我们(w men

19、)便说事件C发生了;设D表示出现2点,则D=2是基本事件.第27页/共55页第二十七页，共55页。( (二二) ) 随机随机(su j)(su j)事件与集合的对应事件与集合的对应 例例7 E6: 一盒子中装有标号为一盒子中装有标号为1到到10的的10只球只球.从盒中任意抽取从盒中任意抽取(chu q)1只球只球,观察其点数观察其点数. 全部基本(jbn)事件是：抽到1号球,抽到2号球,抽到3号球,抽到10号球. 样本空间样本空间S=1=1号球号球,2,2号球号球, ,10,10号球号球, , 通常简记为通常简记为S=1,2,=1,2,10.,10. 随机事件随机事件A=抽到偶数号球抽到偶数号

20、球 由由5 5个基本事件个基本事件 抽到抽到2 2号球号球,抽到抽到4 4号球号球,抽到抽到6 6号球号球,抽到抽到8 8号球号球,抽到抽到1010号球号球 组成组成, ,记为记为A=2,4,6,8,10.=2,4,6,8,10.第28页/共55页第二十八页，共55页。 随机事件(shjin)B=抽到不大于6的偶数号球由3个基本事件(shjin)抽到2号球,抽到4号球,抽到6号球组成.通常也简明地表示成B=2,4,6. 随机(su j)事件C=抽到奇数号球=1,3,5,7,9. 随机(su j)事件D=抽到球号数不大于4=1,2,3,4. 如果我们现在抽到如果我们现在抽到6 6号球号球, ,

21、则说事件则说事件A发生发生, ,事件事件B发生发生. .但是但是, ,事件事件C和和D不发生不发生. .第29页/共55页第二十九页，共55页。 将不能再细分的试验基本结果看作样本点;而样本点看作集合(jh)的元素； 全部基本结果(ji gu)构成样本空间;而样本空间看作全集； 将随机事件(shjin)表示成由样本点组成的集合;或者说，看作全集的子集； 基本事件基本事件是由一个样本点组成的是由一个样本点组成的单元集单元集; 必然事件必然事件看作看作全集全集, ,不可能事件不可能事件看作看作空集；空集； 将样本点将样本点( (元素元素) )属于集合表示属于集合表示事件发生事件发生, , 第30页

22、/共55页第三十页，共55页。 这样的处理方法,不仅对研究(ynji)事件的关系和运算是方便的,而且对研究(ynji)随机事件发 生的可能性大小的数量指标 概率的运算也是非常科学合理的. 就可以将事件间的关系和运算就可以将事件间的关系和运算(yn sun)归结为集合之间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算(yn sun). 第31页/共55页第三十一页，共55页。( (一一) ) 事件之间的关系事件之间的关系(gun x)(gun x)与运算与运算 在一个样本空间S中,可以包含许多(xdu)的随机事件.研究随机事件的规律,往往是通过对简单事件规律的研究去发现更为复杂事件的规律. 为此,我们引

23、进事件之间的一些重要关系和运算.由于(yuy)任一随机事件是样本空间的子集, 所以事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是完全类似的. 四、建立理论四、建立理论第32页/共55页第三十二页，共55页。平面矩形区域平面矩形区域(qy)(qy)表示样本空间表示样本空间S,S,平面区域平面区域(qy)A(qy)A表示事件表示事件A.A.文氏图文氏图 ( Venn diagram ) AS 设试验(shyn)E的样本空间为S, A1,A2,Ak (k=1,2,)是S的一些事件,它们都是S的子集. 与集合论类似,我们(w men)习惯地用文氏图形像地描述事件间的关系.第33页/共55页第三十三页，共

24、55页。.ABBA或或 若“事件A发生(fshng)必然导致事件B发生(fshng)”,亦即A的样本点都是B的样本点,则称A包含于B或B包含A,也称A是B的子事件 .B S (1) 事件的包含(bohn)与相等则称事件则称事件(shjin)A(shjin)A与事件与事件(shjin)B(shjin)B相等相等, ,记做记做A=B等价于它们是由相同的样本点构成的等价于它们是由相同的样本点构成的. . 如果有如果有BA ,AB 且且 注意注意 对任一事件对任一事件A, 都都有子事件关系有子事件关系 AS记做记做.BA 第34页/共55页第三十四页，共55页。 “事件A与事件B至少有一个发生(fsh

25、ng)”的事件 叫做A与B的和事件.nAAA,21的的和事件和事件 ,21nAAA的的和事件和事件1.iiA (2) (2) 事件事件(shjin)(shjin)的和的和( (并并) ) 可见,AB是由所有包含(bohn)在A中的或包含(bohn)在B中的样本点构成. 或或BA记做记做B.A1.niiA第35页/共55页第三十五页，共55页。 “事件A与事件B 同时(tngsh)发生”，这样的事件称为A与B的积事件.,21nAAA的的积事件积事件 1.iiA (3) (3) 事件事件(shjin)(shjin)的交的交( (积积) ) AB由既包含(bohn)在A中又包含(bohn)在B中的样

26、本点构成. nAAA,211.niiA的的积事件积事件 BA或或.AB记作记作 第36页/共55页第三十六页，共55页。 “事件A发生但事件B不发生”，这样(zhyng)的事件称为A与B的差事件. （4 4） 事件事件(shjin)(shjin)的差的差记为记为AB. . A-B是由所有包含在A中而不包含在B中的样本(yngbn)点构成. 例如例如, ,若若A=2,4,6,8,10,B=1,2,3,4,则则A- -B=6,8,10, B- -A=1,3. 第37页/共55页第三十七页，共55页。A与与B互斥互斥ABA、B不可能同时发生不可能同时发生. .nAAA,21两两互斥两两互斥,21nA

27、AA两两互斥两两互斥, ,1,2, .ijAAij i jn, 2 , 1,jijiAAji (5) (5) 事件事件(shjin)(shjin)的互不相容的互不相容( (互斥互斥) )第38页/共55页第三十八页，共55页。 A与与B互相互相(h xing)对立对立,ABABS称称B为为A的对立的对立(dul)事件事件(or逆事件逆事件)，记为，记为 .AB 注意 “A与B 互相对立”与“A与B 互斥”是不同(b tn)的概念.(6)(6)对立事件对立事件( (逆事件逆事件) )每次试验，每次试验，A，B中有中有且只有一个发生且只有一个发生. .第39页/共55页第三十九页，共55页。 (7

28、) 完备(wnbi)事件组niiAS1 nAAA,21或称或称 为为S的的一个一个划分划分( (或或剖分剖分).).若若 两两互斥两两互斥 ,且且nAAA,21则称则称 为为完备事件组完备事件组.nAAA,21第40页/共55页第四十页，共55页。 讲评讲评 完备事件组完备事件组A1,A2,An概念说明概念说明: 在每次试验中在每次试验中,事件事件A1,A2,An中有一个发生中有一个发生, 并且只有一个发生并且只有一个发生.建立这个概念的目的是建立这个概念的目的是, 把错综复杂的关系分解成彼此没有影响把错综复杂的关系分解成彼此没有影响(yngxing)的各种基本因素之和的各种基本因素之和.概念

29、的关键是概念的关键是:事件交为不可能事件，同时，事件和为必然事件事件交为不可能事件，同时，事件和为必然事件. 有限样本空间的所有基本事件构成一个完备有限样本空间的所有基本事件构成一个完备(wnbi)(wnbi)事件组事件组, ,即是样本空间的一个划分即是样本空间的一个划分. . 第41页/共55页第四十一页，共55页。( (二二) )事件事件(shjin)(shjin)运算法则运算法则对应(duyng)事件运算集合运算 (1)(1)交换律交换律,A BBA.ABBA(2)结合律结合律()(),A BCAB C()().AB CA BC(3)分配律分配律()() (),A BCA CB C()(

30、)().ABCAB AC第42页/共55页第四十二页，共55页。B CAA CBA 分配律 图 示)(CABAA)(BCA第43页/共55页第四十三页，共55页。,AB A B 11,nniiiiAA11.nniiiiAA 讲评讲评 对偶律通常叫做对偶律通常叫做(jiozu)德德摩根律摩根律. 在一起处理关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到在一起处理关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到.五、理论五、理论(lln)应用应用 (4)(4)互反律互反律.AA(5)(5)对偶对偶(du u)(du u)律律,A B A B第44页/共55页第四十四页，共55页。 例例8 掷

31、一颗骰子的试验掷一颗骰子的试验, 观察出现的点数观察出现的点数. 事件事件A表示表示出现奇数点出现奇数点,B表示表示出现点数小于出现点数小于5, C表示表示出现小于出现小于5的偶数点的偶数点. 用集合的列举法表示下列事件：用集合的列举法表示下列事件：S, A, B, C, AB, A- -B, AB, AC, , A.BA 解解 S=1, 2, 3, 4, 5, 6, B=1, 2, 3, 4, A=1, 3, 5,C=2, 4, AB=1, 2, 3, 4, 5, A-B=5,AB=1, 3,6 , 4 , 2ABA=1, 2, 3, 4, 6. AC= ,第45页/共55页第四十五页，共5

32、5页。 讲评讲评 在概念上在概念上,此题考查各事件的关系运算此题考查各事件的关系运算.在方法上在方法上,将文字表述转为数学将文字表述转为数学(shxu)符号，将有关问题数字化或数学符号，将有关问题数字化或数学(shxu)化化.第46页/共55页第四十六页，共55页。例例9 设设A,B,C是三个事件是三个事件,用用A, B, C的运算关系表示的运算关系表示(biosh)下列事件：下列事件：(1)B,C都发生都发生,而而A不发生；不发生；(2)A,B,C中至少有一个发生；中至少有一个发生；(3)A,B,C中恰有一个发生；中恰有一个发生；(4)A,B,C中恰有两个发生；中恰有两个发生；(5)A,B,

33、C中不多于一个发生；中不多于一个发生；(6)A,B,C中不多于两个发生中不多于两个发生.BCAABC CBACBACBABCACBACABCBACBACBACBA 或或ABCCBA 讲评讲评 本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述(bio sh)与数学符号描写的对应关系与数学符号描写的对应关系. 第47页/共55页第四十七页，共55页。12.A A 例例10 事件事件Ai表示某射手第表示某射手第i次次(i=1,2,3)击中目标击中目标,试用文字叙述下列事件：试用文字叙述下列事件： (1) A1A2; (2) A1A2A3; (3) (4) A2- -A3; (5) ; (6)(6)3.A32AA (1)(1)A1 1A2 2表示前二次射击中至少有一次击中目标；表示前二次射击中至少有一次击中目标； 解解 (2) A1A2A3 (2) A1A2A3表示三次射击表示三次射击(shj)(shj)中全部击中目标；中全部击中目标； (3) (3) 表示第三次射击未击中目标；表示第三次射击未击中目标； 3A第48页/共55页第四十八页，共55页。 (6) ,(6) ,表示前两次射击中至少表示前两次射击中至少有一次未击中目标有一次未击中目标. . 1212A AAA 讲评讲评 在基本概念方面应考虑数学符号的文字表述在基本概念方面应考虑数学