1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用基础达标

1、1.1.3正弦定理、余弦定理的综 合应用根底达标技能演练基础强化1.在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,假设a2+ c2b2 =，3ac,那么角B的值为（）A 兀A.6_兀B.3兀 、.5兀C.7,或”66兀 _2兀D.4,或可33解析由余弦定理，得cosBa2+c2 b2 _3ac_V32ac 2ac 2，又0<B<兀,兀B = 6.答案 A2.在 ABC 中，AB =出,A. 3我C. 2A=45°, C=75°,那么B. 2D. 3 + V3BC = (解析由正弦定理，知BCABsinA-sinCABsinA BC =："0S

2、inC 3x晟=6+ 2 =4-3.答案 A3.在AABC 中，a=542, c=10,A=30°,那么B等于（）第8页B. 60A. 105C. 15D. 105 ,或 15解析先用正弦定理求角 C,由竟=舟，得sinC=cS7A =sinA sinCa110X25 2 - 2 .答案 D4.三角形的三边之比为()A.锐角三角形C.直角三角形又 c>a,。= 45 ,或 135 ；故 B=105 ；或 15 ：a:b:c= 2:3:4,那么此三角形的形状为B.钝角三角形D.等腰直角三角形解析设三边长为2a,3a,4a(a>0),它们所对的三角形内角依次为A, B, C.

3、那么cosC=2a 2+ 3a 2 4a 212X2aX 3a =_4<0?.C为钝角.故该三角形为钝角三角形.答案 B5 .在4ABC中，以下关系中一定成立的是()A . a>bsinAB. a= bsinAC. a<bsinAD. a>bsinA解析在MBC中，由正弦定理，知bsinA好丽，-0<sinB<1> a n bsinA.答案 D6 . A ABC 中，2A=B + C,且 a2= bc,那么 ABC 的形状是(A .两直角边不等的直角三角形B.顶角不等于90°,或60°的等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析

4、解法1：由2A=B + C,知A=60 .b2+ c2 a2又 cosA= 2bc ，1 b2 + c2 bc2= 2bc. .b2+c2 2bc= 0.即(b c)2= 0, .b= c.故MBC为等边三角形.解法2:验证四个选项知C成立.答案 C7.在4ABC 中，AC = V3, A = 45°, C = 75°,那么 BC 的长为解析 由 A + B + C=180°,求得 B = 60 .,BC_ AC ?ACsinA_* sinA-sinB' sinB 一答案 28. A ABC 中，a=亚，c= 3,B=45°,那么 b=解析 由余

5、弦定理，得 b2 = a2 + c2 2accosB = 2+ 92X血x 3 x夸=5,心=屹.答案 5能力提升9 .在zABC 中，a + b=10,而 cosC 是方程 2x2-3x-2=0 的一 个根，求 ABC周长的最小值.1一 ,、一角牛 角牛方程2x23x2=0,得xi = - 2, X2=2,而cosC为方程12x2-3x- 2 = 0 的一个根，. cosC= 2.由余弦te理 c2= a2+ b2 2abcosC,得 c2=a2+ b2 + ab.c2 = (a+ b)2 ab= 100 ab=100a(10 -a)=a2-10a+100=(a-5)2 + 75>75

6、, .当a=b=5 时，cmin = 53. 从而三角形周长的最小值为10 +5我.10 .在4ABC 中，如果 lga-lgc= lgsinB=-lgV2,且 B 为锐角, 试判断此三角形的形状.-2解 . lgsinB = lgV2,sinB = ¥.又B 为锐角，. 3 = 45 . .lga一 a 2一 lgc= - IgV2， c= 2 .sinA 2由正弦7E理，得菽=2 .即 2sin(135 C) = V2sinC.2(sin135 cosC cos135 sinC) = V2sinC. cosC=0, .C= 90 , .A=B = 45：./ABC是等腰直角三角形

7、.品味局考11. （2021重庆）设 ABC的角A, B, C的对边长分别为a, b, c,且 3b2+3c23a2= 4/2bc.(1)求sinA的值;2sin A + 4 sin B + C+ 4(2)求-的 值.1 cos2Ab2+ c2 a2解 由余弦定理，得cosA=2bc ，又 /3b2 + 3c2-3a2= 4«2bc,71 - cos2A = g.2_J. .- cosA= 3 , sinA =。2(2)由(1)知 1-cos2A = 2sin2A = -,9 兀兀A 兀sin B + C + 4 = sin 兀A + 4 =sinA4 ,2sin(A + 4)sin

8、(A-4)=2 (sinA+cosA)孝(sinA cosA)2A 9a 187= sin2A-cos2A = 9-9=-9,八 A JT . C 八/2sin A + 4 sin B + C + -1 cos2A797=2 = 2.912.在AABC中，A、B为锐角，角A, B, C所对的边分别为ab, c,且 cos2A = 3，sinB = 10. ，'510(1)求A+B的值;(2)假设 ab = ”21,求 a, b, c 的值.解(1) .A, B 为锐角，sinB = 00,23 10. .cosB = yi sin2B= io .-sin2A = 25, 5又 cos2A =1 2sin2A = 3，5 人 sinA =七，cosA = 5. cos(A+ B) = cosAcosB sinAsin B2 5、, 3 105. , 102=510- 510=2._一 兀/0<A+B< Tt,.A + B = 4.(2)