（整理版）高考数学321专题15几何证明选讲（教师）

1、版高考数学 3-2-1【考点定位】考纲解读和近几年考点分布考纲解读 考纲原文1了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理3会证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理考纲解读近几年考点分布 几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:相似三角形的定义与性质;平行线截割定理;直角三角形射影定理;圆周角与圆心角定理;圆的切线的判定定理及性质定理;弦切角的性质;相交弦定理;圆内接四边形的性质定理和判定定理;切割线定理. 【名师点睛】平行线分线段成比例定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段

2、的比转化为另外两条线段的比考点二、相似三角形判定与性质例2、在abc中，abac，d为腰ab上一点，addc，且ad2ab·bd，求证：a36°.【证明】过点d作debc，交ac于e.edcbcd，bdce.ad2ab·bd，addc，abac，.又ecddca，ecddca，edca.又adcd，adce，bcdacda，bcabcdacd2a.又abac，bbca2a.abbca5a180°，a36°.【名师点睛】运用相似三角形性质解题的关键在于求出相似比，在具体论证过程中，往往是相似三角形的判定定理和性质定理结合运用，由判定三角形相似得到

3、角相等或对应线段成比例的过程反复运用，从而到达解决问题的目的考点三、直角三角形射影定理例3、如图，在rtabc中，bac90°，adbc于d，dfac于f，deab于e.试证明：(1)ab·acbc·ad；(2)ad3bc·cf·be.【证明】(1)rtabc中，adbc，sabcab·acbc·ad.ab·acbc·ad.(2)rtadb中，deab，由射影定理可得bd2be·ab，同理cd2cf·acbd2·cd2be·ab·cf·ac.又r

4、tbac中，adbc，ad2bd·dc，ad4be·ab·cf·ac，又ab·acbc·ad.即ad3bc·cf·be.考点五、圆的切线的性质及判定例5、在abc中，c90°，be是角平分线，debe交ab于d，o是bde的外接圆求证：ac是o的切线【证明】连接oe，因为oeob，所以oebobe. 又因为be平分cbd，所以cbeobe，所以oebcbe，所以eocb.因为c90°，所以aeo90°，即acoe.因为oe为o的半径，所以ac是o的切线【名师点睛】证明直线是圆的切线的方

5、法：假设直线经过圆上某点(或直线与圆有公共点)，那么连接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),那么应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径考点六、圆周角和弦切角例6、如图，圆上的弧，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：(1)acebcd；(2)bc2be×cd.【证明】(1)因为，所以bcdabc.又因为ec与圆相切于点c，故aceabc，所以acebcd.(2)因为ecbcdb，ebcbcd，所以bdcecb，故，即bc2be×cd.【名师点睛】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定

6、理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【名师点睛】涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、填空题选择题 高考天津文如图,和是圆的两条弦,过点作圆的切线与的

7、延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,那么线段的长为_.【解析】如图连结bc,be,那么1=2,2=a,又b=b,代入数值得bc=2,ac=4,又由平行线等分线段定理得,解得cd=. 高考陕西文如图,在圆o中,直径ab与弦cd垂直,垂足为e,垂足为f,假设,那么_. 【解析】,在中,4 高考江西理在直角三角形abc中,点d是斜边ab的中点,点p为线段cd的中点,那么=a2b4c5d10【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令,那么, , ,所以.5 高考北京理如图,acb=90°,cdab于点d,以bd为直径的圆与bc交于点e,那么ace·cb=ad·d

8、bbce·cb=ad·ab cad·ab= dce·eb= 【解析】由切割线定理可知,在直角中,那么由射影定理可知,所以. 高考陕西理如图,在圆o中,直径ab与弦cd垂直,垂足为e,垂足为f,假设,那么_.【解析】,在中,cbado.高考湖北理(选修4-1:几何证明选讲)如图,点d在的弦ab上移动,连接od,过点d 作的垂线交于点c,那么cd的最大值为_. 【解析】 (由于因此,线段长为定值, 即需求解线段长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时为的中点,点与点重合,因此. 高考广东理(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是圆周上的三点,满足,

9、过点作圆的切线与的延长线交于点,那么_.【解析】连接,那么,因为,所以. 二、解答题高考辽宁文选修41:几何证明选讲如图,o和相交于两点,过a作两圆的切线分别交两圆于c,d两点,连接db并延长交o于点e.证明();() .此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何根底知识、根本方法的掌握，难度较小。证明：1由与相切于，得，同理，所以。从而，即 4分2由与相切于，得，又，得从而，即，综合1的结论， 10分高考新课标理选修4-1:几何证明选讲如图,分别为边的中点,直线交的外接圆于两点,假设,证明:(1);(2)【解析】(1), (2) 高

10、考辽宁理选修41:几何证明选讲 如图,o和相交于两点,过a作两圆的切线分别交两圆于c,d两点,连接db并延长交o于点e.证明();() .此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何根底知识、根本方法的掌握，难度较小。证明：1由与相切于，得，同理，所以。从而，即 4分2由与相切于，得，又，得从而，即，综合1的结论， 10分【点评】此题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何根底知识、根本方法的掌握,难度较小. 11年高考试题及解析一、选择题 北京理5如图，ad，ae，bc分别与圆

11、o切于点d，e，f，延长af与圆o交于另一点g。给出以下三个结论：ad+ae=ab+bc+ca；af·ag=ad·aeafb adg其中正确结论的序号是a bc d【答案】a二、填空题1.天津理12如图，圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且假设与圆相切，那么线段的长为_.【答案】5.广东理15几何证明选讲选做题如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，=, 那么= 。【答案】6.辽宁理22如图，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且ec=edi证明：cd/ab；ii延长cd到f，延长dc到g，使得ef=eg

12、，证明：a，b，g，f四点共圆证明：i因为ec=ed，所以edc=ecd.因为a，b，c，d四点在同一圆上，所以edc=eba.故ecd=eba，所以cd/ab.5分ii由i知，ae=be，因为ef=fg，故efd=egc从而fed=gec.连结af，bg，那么efaegb，故fae=gbe，又cd/ab，edc=ecd，所以fab=gba.所以afg+gba=180°.故a，b，g，f四点共圆 10分x2=12.故 ad=2，ab=12.取ce的中点g，db的中点f，分别过g，f作ac，ab的垂线，两垂线相交于h点，连接dh.因为c，b，d，e四点共圆，所以c，b，d，e四点所在圆

13、的圆心为h，半径为dh.由于a=900，故ghab，hfac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.故c，b，d，e四点所在圆的半径为高考试题及解析一、填空题1.北京理如图，的弦ed，cb的延长线交于点a。假设bdae，ab4, bc2, ad3,那么de ；ce 。【答案】5 2.天津文11如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p。假设pb=1，pd=3，那么的值为 。【答案】【解析】此题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。因为a,b,c,d四点共圆，所以,因为为公共角，所以pbcpab,所以= 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形

14、综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。3.天津理如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p，假设,那么的值为 。4.广东理几何证明选讲选做题如图3，ab，cd是半径为a的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，pd=，oap=30°，那么cp_.【答案】因为点p是ab的中点，由垂径定理知， .在中，.由相交线定理知，即，所以二、简答题6.江苏卷21.选做题此题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。假设多做，那么按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a 选修4-1：几何证明选讲本小题总分值10分

15、ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab延长线于点c，假设da=dc，求证：ab=2bc。解析 此题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。方法一证明：连结od，那么：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。方法二证明：连结od、bd。因为ab是圆o的直径，所以adb=900，ab=2 ob。因为dc 是圆o的切线，所以cdo=900。又因为da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，从而ab=co。即2o

16、b=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。5.3.丰台二模理11如下图，ab是圆的直径，点c在圆上，过点b，c的切线交于点p，ap交圆于d，假设ab=2，ac=1，那么pc=_，pd=_ 答案：，。4.昌平二模理12如图，是的直径，切于点，切于点，交的延长线于点.假设，那么=_;=_.答案：1，。5.东城二模理12 如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦于点，那么 答案：6.海淀二模理12如图， 圆o的直径与弦交于点，那么_.答案：。7、【广东省肇庆市高三第一次模拟理】15几何证明选讲选做题如图2，点是o外一点，为o的一切线,是切点，割线经过圆心o，假设，那么 8、【广东省肇庆市高三上学期

17、期末理】14.几何证明选讲选做题如图3,pab、pcd为o的两条割线,假设 pa=5,ab=7,cd=11,，那么bd等于 9、【广东省镇江一中高三10月模拟理】14几何证明选讲选做题如图，ab是圆o的直径，直线和圆o相切于点于c，于d，假设1，那么圆o的面积是 edbaoc【答案】10、【广东省肇庆市高三第二次模拟理】15.几何证明选讲选做题如图3，ab的延长线上任取一点c，过c作圆的切线cd，切点为d，的平分线交ad于e,那么 . 【答案】45°.【解析】连接，与相交于点，设，,，而，45°.15几何证明选讲选做题如图，点为的弦上的一点，连接.，交圆于，假设，那么 .

18、【答案】如图，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足， 与圆交于点，那么线段的长为 14【广东省粤西北九校高三联考理】14几何证明选讲选做题如图，：内接于，点在的延长线上，是的切线，假设， ，那么的长为 。【答案】414几何证明选讲选做题如图，在中，是的边上的高，于点，于点，那么 的大小为 ab是圆o的直径，直线ce和圆o相切于点c，于d，假设ad=1，那么圆o的面积是_。 【答案】【解析】，因为直线ce和圆o相切于点c，连接oc，那么,又，所以oc/ad,又，在直角三角形acb中，,三角形aoc为正三角形，所以,所以,所以,所以圆的面积为。20【广东省茂名市第二次高考模

19、拟理】15. 几何证明选做题如图，是o外一点，为o的切线，为切点，割线经过圆心，假设，那么o的半径长为 【答案】415几何证明选讲选做题如图，：内接于，点在的延长线上，是的切线，假设，那么的长为 【答案】22【广东省韶关市高三模拟理】14几何证明选讲选做题如图，是圆的直径，,那么 ; 图324【广东省江门市高三调研测试理】几何证明选讲选做题如图3，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点， ，那么 【答案】 25【广东省惠州市高三一模四调考试理数】15几何证明选讲选做题如图，直角三角形中，以为直径作圆交于，那么_第15题图【答案】【解析】为直径所对的圆周角，那么，在中，由等面积法有，故得26【广

20、东省佛山一中高三上学期期中理】15.如图，eb、ec是o的两条切线，b、c是切点，a、d是o上两点，如果e460，dcf320，那么a的大小为 【答案】28【广东省佛山市高三第二次模拟理科二】15.(几何证明选做题)如图,圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,假设与圆相切,那么线段的长为 【答案】29【广东韶关市高三第一次调研考试理】15几何证明选讲选做题圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，那么切线的长为_.第15小题【答案】30【广东高三第二学期两校联考理】15几何证明选做题如图，四边形abcd内接于，bc是直径，mn切于a，那么 . abdcomn【答案】115032【

21、广州一模理】14几何证明选讲选做题如图3，圆的半径为，点是弦的中点，弦过点，且，那么的长为 poabcd图3【答案】14、几何证明选讲选做题如图， 与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，那么 ；圆的半径等于 是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，那么的长为 【答案】22本小题总分值10分选修41：几何证明选讲ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连结fb，fc.1求证：fb=fc；2假设ab是abc外接圆的直径， eac=120°，bc=6，求ad的长.36、河南豫南九校高三第四次联考试题 abc中，ab=ac, d是 abc外接圆劣

22、弧ac弧上的点不与点a,c重合，延长bd至e。acpdoef b37、陕西省高新一中高三第十一次大练习题(几何证明选讲选做题) 如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，弧，交于，且，那么_3如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n,过n点的切线交ca的延长线于p。 1求证：pm2=pa·pc2假设o的半径为，oa=om求：mn的长解：() 连结on，那么，且为等腰三角形，那么， ，3分由条件，根据切割线定理，有 ，所以5分()，在中，延长bo交于点d，连结dn由条件易知，于是，即，得 8分所以. 10分模拟试题及答案1、(朝阳二模理13)如图

23、，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，那么 12 ；圆的 半径等于 7 2、昌平二模理12、如图，中的弦与直径相交于 点，为延长线上一点，为的切线，为切点，假设，那么_4_,           abcdo4、丰台二模理10如下图，db，dc是o的两条切线，a是圆上一点，d=46°，那么a= 67° 5、海淀二模理12如图，的弦交半径于点，假设，且为的中点，那么的长为 .6、顺义二模理11.如图，ab,cd是半径的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，,那么_.oabpdc7、西城二模理11如

24、图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.圆半径为，那么_；的大小为_.8、广东省深圳市3月高三第一次调研理科几何证明选讲如图，割线经过圆心o，绕点逆时针旋120°到，连交圆于点，那么 .【解析】在中，又因为，所以abcdo9广东省深圳市3月高三第一次调研文科几何证明选讲如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，垂足为，那么 15. 【解析】根据射影定理得10、(广东省江门市高考一模文科)几何证明选讲选做题如图3，是圆的切线，是圆的割线，假设，那么圆的半径 13(广东省广雅金山佛一中2月高三联考理科)几何证明选讲如下图，ac和ab分别是圆o的切线，b、c 为切点,且oc = 3，ab =

25、4，延长oa到d点，那么abd的面积是_ 14. (广东省东莞市高三一模理科)几何证明选讲选做题从圆外一点作直线交圆于两点，且,那么此圆的半径为 2 . 15(广东省东莞市高三一模文科)几何证明选讲选做题如图，的割线过圆心，弦交于点，且,，那么 3 .16广东省揭阳一中高三一模理科几何证明选做题如右图所示，ac和ab分别是圆o的切线，且oc=3，ab=4，延长ao到d点，那么abd的面积是 。17. (几何证明选做题如图,:内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，假设,那么的长为 4 .18(广东省遂溪县高考第一次模拟数学文科)几何证明选讲选做题一个等腰三角形abc的底边ac的长为6，abc的外

26、接圆的半径长为5，那么abc的面积是 _3或2720 (湖南省怀化市高三第一次模拟理科)如图，pa切于点a，割线pbc经过o, ob=pb=1, 0a绕着点0逆时针旋转600到0d，pd交于点e那么pe的长为_.21、文科本小题总分值10分选修4-1：几何证明选讲如图，直线经过上的点，并且交直线于，连接求证：直线是的切线；假设的半径为，求的长22、辽宁省锦州市1月高三考试理科本小题10分选修41：几何证明选讲如图，设为o的任一条不与直线l垂直的直径，是o与l的公共点,l，l，垂足分别为，且，求证：il是o的切线；ii平分abd证明：连结op，因为acl，bdl，所以ac/bd 又oa=ob，p

27、c=pd，所以op/bd，从而opl因为p在o上，所以l是o的切线5分连结ap，因为l是o的切线，所以bpd=bap又bpd+pbd=90°，bap+pba=90°，所以pba=pbd，即pb平分abd10分0602第二问的证明也可：连结op，角opb等于角dbp；而等腰三角形opb中，角opb等于角obp；故pb平分角abd23、(辽宁省沈阳市高三第二次模拟理科)本小题总分值10分选修41：几何证明选讲如图6，直线ab过圆心o，交圆o于a、b，直线af交圆o于f不与b重合，直线与圆o相切于c，交ab于e，且与af垂直，垂足为g，连接ac求证：； 证明：连结，是直径，【一年

28、原创】 1、如下图，过o外一点p作一条直线与o交于a，b两点，pa=2，点p到o的切线长pt=4，那么弦ab的长为 【答案】62、如图，在四边形abcd中，efbc，fgad，那么的值为_.【解析】由得答案:13、.如图，在abc中，acb=90°,cdab,d为垂足，假设cd=6 cm，addb=12，那么ad的值是_.【解析】设ad=x cm,db=2x cm,36=2x2,x2=18,x=,ad= cm.答案:6、如图，abc是o的内接正三角形，弦ef经过bc的中点d，且efab，假设ab=2，那么de的长是_.【解析】由图知de·df=bd·cd=1，同理

29、eg·fg=1.又dg=ab=1，de(1+fg)=1，fg(1+de)=1，答案:7、如图，p是o外一点，pd为o的切线，d为切点，割线pef经过圆心o，假设pf=12,pd=,那么efd=_.9、如图，四边形abcd内接于圆，延长ab和dc相交于e，eg平分aed，且与bc、ad分别相交于f、g，假设aed=40°，cfg=80°，那么a=_.【解析】eg平分aed，fec=20°，fce=cfg-fec=60°.四边形abcd内接于圆，a=fce=60°.答案:60°10、那么的值为_.11、，如图，aeec，ce平分acb，debc，bc=10，ac=6，那么de=_.【解析】aeec，ce平分acb，ac=cf,ae=ef,又debc， de=(bc-ac)=×(10-6)=2.答案:212、四边形abcd是o的内接四边形，延长bc到e,bcdecd=32，那么bod等于_.【解析】由圆内接四边形性质知a=dce，而b