高等数学(第五版)4-1 原函数的概念与性质

1、.第四章 不定积分原函数（反导数） 原函数（反导数）原函数（反导数） 求原函数的运算是求原函数的运算是求导数的逆运算求导数的逆运算.应用：应用：(2) 求积分求积分. .(1) 已知函数的导数，求出原来的函数关系已知函数的导数，求出原来的函数关系；.二、二、 基本原函数表基本原函数表 三、原函数的性质三、原函数的性质一、一、 原函数的概念原函数的概念第一节原函数的概念与性质 第四四章 .原函数的定义：原函数的定义：一、原函数的概念一、原函数的概念.)()()()(（反反导导数数）原原函函数数的的在在该该区区间间上上对对是是，称称某某区区间间，如如果果对对于于xxfxFxfxFx )( xF)(

2、 xf求导求导图示：图示：求反导求反导求原函数的运算是求导数的逆运算。求原函数的运算是求导数的逆运算。因此要求一个函数的原函数，就是找另一个函因此要求一个函数的原函数，就是找另一个函数，使另一个函数的导数等于这个函数。数，使另一个函数的导数等于这个函数。.例例1xxx2)(2 因为位移对时间的导数是速度，因为位移对时间的导数是速度，所以位移是速度对时间的原函数。所以位移是速度对时间的原函数。例例2.2 2的原函数的原函数对对是是xxx问题：什么样的函数具有原函数？问题：什么样的函数具有原函数？连续函数连续函数 f (x)一定有原函数一定有原函数.因为初等函数在定义区间上连续，因为初等函数在定义

3、区间上连续，所以所以初等函数在定义区间上有原函数。初等函数在定义区间上有原函数。）（即即 )( xadttf.问题：原函数是否唯一？问题：原函数是否唯一？的的原原函函数数，是是如如果果)()(xfxF也是。也是。则则CxF )().()()()(xfxGxfxG 的的原原函函数数，则则也也是是设设)()(xFxG 0 )()( xFxGCxFxG )()(CxFxG )()( .)(相相差差一一个个常常数数的的任任何何两两个个原原函函数数至至多多xf)()(xfxF . )( )()()(的的形形式式为为的的所所有有原原函函数数可可以以表表示示的的一一个个原原函函数数，则则是是性性质质：如如果

4、果CxFxfxfxF .)( dxxf记记作作表示一族函数表示一族函数!.任意常数任意常数CxFdxxf )()(yxo称为称为f (x)的积分曲线的积分曲线 CxFy )(的的形形式式。为为的的所所有有原原函函数数可可以以表表示示的的一一个个原原函函数数，因因此此是是积积分分分分的的符符号号表表示示是是因因为为注注：原原函函数数之之所所以以用用积积Cdttfxfxfdttfxaxa )()()()(.：可可以以从从两两个个角角度度去去理理解解因因此此 dxxf)(.)( )1(反反导导数数的的所所有有从从定定义义上上看看它它代代表表xf, )2(积积分分它它也也可可理理解解为为.)()(Cd

5、ttfdxxfxa )()(xfdttfxxa .)( )(的不定积分的不定积分称为称为因此有些书将因此有些书将xfdxxf 综上所述，综上所述，原函数（反导数）也可以理解为原函数（反导数）也可以理解为积分函数积分函数。.dx 1Cx 111 Cx dxx Cx 221 dtt Ct 221)1( Cx ln因为因为求原函数的运算是求导数的逆运算求原函数的运算是求导数的逆运算，所以可以把基本导数公式反过来得到基本所以可以把基本导数公式反过来得到基本的反导数公式。的反导数公式。例例1 1一般的一般的, ,dxx dxx 1dxx 1.二、基本原函数（积分）表二、基本原函数（积分）表 kCkxkd

6、x()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx . xdx2sec)8(;tanCx xdx2csc)9(;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsin)7(;cosCx .例例2 2 设曲线通过点设曲线通过点(1, 2)，且其上任一点处，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程曲

7、线方程.解解: 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy xdxy2由曲线通过点由曲线通过点(1, 2), 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xyyxo)2, 1 (Cx 2.ox例例3. 质点在距地面质点在距地面0 x处以初速处以初速0v力力, 求它的运动规律求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面原点在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为质点抛出时刻为,0t此时质点位置为此时质点位置为初速为初速为,0 x设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为, )(txx 则则)

8、(ddtvtx(运动速度运动速度)(加速度加速度).0v垂直上抛垂直上抛 , 不计阻不计阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx,ddgtv.先求先求. )(tv,ddgtv由由知知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttv g再求再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由由)(ddtvtx,0vt g知知故故ox)0(0 xx )(txx .三、原函数的性质三、原函数的性质 )(xf ).()(xfxF 只只要要证证,)()(CxFd

9、xxf 要要证证Cxf )( dxxgxf)()()2(;)()( dxxgdxxf证证:)()( dxxgdxxf)()( dxxgdxxf).()(xgxf dxxkf)()3(.)( dxxfk xdxxf)()1(是是非非零零常常数数）（k dxxf)(.例例4 4 求求.)47(3dxxexx dxxdxedxxx1473原原式式xexxln47212 C 解解: :例例5.5. 求求.dtan2xx 解解: :xxd)1(sec2 原原式式 xxxddsec2.tanCxx .解解: :xxxd11)1(24 原式原式xxxxd11)1)(1(222 xxxd)111(22 Cxx

10、x arctan313例例6.6. 求求.d124xxx .例例7 7 求求.2cos2 dxx dxx2cos1原式原式)cos1(21 xdxdx.)sin(21Cxx 说明：以上几例中的被积函数都需要进行说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本原函数表恒等变形，才能使用基本原函数表.解解: : .注：要判断求原函数的结果是否正确，注：要判断求原函数的结果是否正确，只要验证结果的导数是否等于被积函数只要验证结果的导数是否等于被积函数.若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .;cos)(xC.cos)(xD 解解: :xxfsin)( B xdxxfsin)(,cos1Cx xxfd)(.sin21CxCx 的所有原函数为的所有原函数为)(xf概念理解概念理解:. 要点要点:原函数的定义原函数的定义: :.)()()()(的的原原函函数数（反反导导数数）对对是是，称称如如果果xxfxFxfxF 求原函数的运算是求导数的逆运算求原函数的运算是求导数的逆运算. .的的理理解解： dxxf)(,)( )1(的的所所有有反反导导数数代代表表xf, )2(也也可可理理解解为为积积分分.)