3.2两个随机变量函数的分布ppt课件

1、 我们主要讨论两个随机变量的函数的分布我们主要讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形问题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分的联合分布已知时，如何求出它们的函数布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的联合分布的联合分布?3.5 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 PX=xi ,Y=yj= pij , (i, j=

2、1,2,)且二元函数且二元函数z=g(x, y)对于不同的对于不同的(xi, yj)有不同有不同函数值，则随机变量函数值，则随机变量Z=g(X, Y)的分布律为的分布律为PZ=g(xi ,yj)= pij , (i, j=1,2,)例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函的概率函数数.解解: )()(rYXPrZP X+Y =r X=0, X+Y =r X=1, X+Y =r X=r, X+Y =r 且诸且诸X=i, X+Y =r ,i=0，1,2, ,r互不相容互不相容例例1 若若X、Y独立，独

3、立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函的概率函数数.于是有于是有: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性 此即离散此即离散 卷积公式卷积公式r=0,1,2, 解：依题意解：依题意 riirYPiXPrZP0)()(） 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,

4、2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYPiXPrZP0)()(（）由卷积公式由卷积公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1，例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是

5、在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现出现的概率为的概率为p，于是，于是Z是以是以n1+n2，p为为参数的二项随机变量，即参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).3.5.2 连续型分布的情形连续型分布的情形1. Z=

6、X+Y的分布的分布例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的的 密度密度. 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面. 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(变量代换

7、变量代换交换积分次序交换积分次序由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边的边缘密度分别为缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(

8、这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用卷积公式来求下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它, 021,210,)(110zzZ

9、zzdxzzdxzf如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(例例3.12 设设X和和Y是两个独立的随机变量，它们是两个独立的随机变量，它们都服从都服从N(0,1),其概率密度分别为其概率密度分别为),()( 2221xXexf ),()( 2221yYeyf 和和求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解解 由卷积公式知，由卷积公式知，dxxzfxfzfYXZ)()()( dxeexzx222221)( dxeezxz222421)( 得得令令,2zxt dxeezftzZ22421 )( 4221ze .)(22222422121 zze

10、e 用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论可以推广到此结论可以推广到n个独立正态随机变个独立正态随机变量之和的情形量之和的情形. 即有：若即有：若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2). 常数及有限个独立正态变量的线性组常数及有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布合仍然服从正态分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:定理：设定理：设）相相互互独独立立，（niXi,21 为常数，为常数，和

11、和iiiibaNX),(2 ，iiniXbaY 1那么那么).,(2121iniiniiibbaNY 例如，设例如，设X、Y独立，都服从正态分布，独立，都服从正态分布，),(),(222150 NYNX服从正态分布，且服从正态分布，且那么那么 3X-4Y+1也也.,)(2222245311403143 NYX).,(2895143NYX 即即或或).,(2175143NYX 从前面例从前面例4可以看出，可以看出， 在求随机向量在求随机向量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其的分布时，关键是设法将其转化为转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而在一定范围内取值的形式

12、，从而利用已知的分布求出利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布. 若每一个问题都这样求，是很麻烦的若每一个问题都这样求，是很麻烦的. 下面我们介绍一个用来求随机向量下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函的函数的分布的定理数的分布的定理 .对二维情形对二维情形,表述如下：表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的假定变换和它的逆都是连续的;3. 假定偏导数假定偏导数 iiyh 1. 设设y1=g1(x1,x2), y2=g2 (x1,x2)是是 到自到自身的一对一的映射身的一对一的映射, 即存在定义在该变换的值即存在定义在该变换的值域上的逆变换域上的逆变换: x1=h1(y1, y2

13、), x2=h2(y1, y2) 2（ i=1,2, j=1,2 ） 存在且连续存在且连续;定理定理 设设(X1,X2)是具有密度函数是具有密度函数 f (x1,x2)的连的连续型二维随机变量续型二维随机变量,（略）（略）4假定逆变换的雅可比行列式假定逆变换的雅可比行列式 则则Y1,Y2具有联合密度具有联合密度 w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) （*） 0),(2212211121yhyhyhyhyyJ即即 J (y1,y2)对于在变换的值域中的对于在变换的值域中的(y1,y2)是是不为不为0的的.例例6 设设(X1,X2)具有密度函数具有密度函数 f

14、(x1,x2). 令令 Y1= X1+X2，Y2= X1-X2试用试用f 表示表示Y1和和Y2的联合密度函数的联合密度函数. 故由故由(*)式式,所求密度函数为所求密度函数为解解: 令令y1= x1+x2, y2= x1-x2，则逆变换为，则逆变换为,2211yyx,2212yyx02/12/12/12/12/1),(21yyJ)2,2(21),(212121yyyyfyyw 有时，我们所求的只是一个函数有时，我们所求的只是一个函数Z= g(X,Y)的分布的分布 . 一个办法是：一个办法是： 对任意对任意 z, 找出找出Z z在在(x,y)平面上对平面上对应的区域应的区域g(X,Y) z，记为

15、，记为D.求出求出Z的分布函数的分布函数.然后由然后由,),()( DdxdyyxfzZP2.Z=X/Y的分布的分布xyx=yzG1G2)()()(zYXPzZPzFZ zyxdxdyyxf/),(,/0yzxzyxy 时时，当当，区区域域1G,/0yzxzyxy 时时，当当，区区域域2G 12),(),()(GGZdxdyyxfdxdyyxfzF 00),(),(yzyzdxyxfdydxyxfdy 00),(),(zzuyxduyuyfydyduyuyfydy 00),(),(zzuyxduyuyfydyduyuyfydy zzdyyuyyfdudyyuyyfdu00),(),(dudyy

16、uyyfdyyuyyfz),(),(00 dudyyuyfydyyuyfyz),(),(00 dudyyuyfyz),( .),()( dyyzyfyzfZ所以所以当当X与与Y独立时，有独立时，有.)()()( dyyfzyfyzfYXZ例例3.14 设设X和和Y相互独立，且服从同一分布，其概率相互独立，且服从同一分布，其概率密度为密度为 1000, 01000,1000)(2xxxxf求求Z=X/Y的概率密度。的概率密度。解解.)()()( dyyfzyfyzfYXZ因为因为 1000010001000yzyyz,1000100010001 yyyzz时时，当当,10001000100010

17、 yzyyzz时，时，当当,1000100010001 yyyzz时时，当当所以所以 dyyfzyfyzfYXZ)()()( 10002222/10002221,211000100010 ,21100010000, 0zzdyyzyyzdyyzyyzz3、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们来我们来求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)

18、的分布函数为的分布函数为: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)=1- P(Xz)P(Yz) 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我

19、们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.)(xFiX(i =0,1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=F(z) n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnXFN(z)=1-1-F(z) n 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求是连续型随机变量，在求得得M=max

20、(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的的分布函数后，不难求得分布函数后，不难求得M和和N的密度函数的密度函数. 当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函相互独立且具有相同分布函数数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq记记1-p=q例例8 设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的并且有相同的几何分布几何分布

21、: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .n=1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=1,2,例例 XE(1),YU(0,2),U=max X, Y, V=min X,Y,求求U、V的密度函数。的密度函数。解解,0, 00,)( xxexf

22、xX 其其他他, 020 , 2/1)(yyfY)()()(zFzFzFYXU ,0, 00,1)( xxexFxX 其其他他, 020 , 2/2, 1)(yyyyFY 0, 020),1(22,1zzezzezz)()()(zFzFzFYXU 0, 020),1(21212,)(zzzezezfzzU,0, 00,1)( xxexFxX 其其他他, 020 , 2/2, 1)(yyyyFY,0, 10,)(1 zzezFzX 其其他他, 120 , 2/12, 0)(1zzzzFY 其其他他, 120),2/1 (2, 0)(1)(1 zzezzFzFzYX)(1)(1 1)(zFzFzF

23、YXV 其其他他, 120),2/1 (2, 0)(1)(1 zzezzFzFzYX 其其他他, 020),2/1 (12, 1zzezz 其其他他, 020),3(21)(zzezfzV例例3.15 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 其其他他, 010 , 20,),(2yxAxyyxf (1) 确定常数确定常数A；（2判定判定X、Y是否相互独立；是否相互独立；（3计算概率计算概率);1( YXP（4求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。）计计算算概概率率是是否否独独立立；（，）判判断断；（确确定定常常数数32) 1(YXA的的概概率率密密度度。求求YXZYXP )4(;1解解 dxdyyxf),(1 20102dxdyAxy 20102dyyxdxA,32312AA ;23 A（1）（2） 其其他他, 020 ,223)(102xxdyxyxfX 其其他他, 010 ,323)(2202yydxxyyfY相相互互独独立立。，所所以以显显然然有有YXyfxfyxfYX),()(),( （3） 1),(1yxdxdyyxfyxPdxxydyy2101023 y=x+1 y=x-1112 1010223yxdxdyy.4031 （4）dyyfyzfzfYXZ)()()( 1020yyz应应