2016年浙江省高考数学试卷(文科)(含解析版)

1、2016 年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题1（5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2，4，则（ P）Q=（）UA1B3，5C1，2，4，6D1，2，3，4，52（5 分）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则（）AmlBmnCnlDmn3（5 分）函数 y=sinx2 的图象是（）ABCD（4 5 分）若平面区域，夹在两条斜率为 1

2、0;的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD5（5 分）已知 a，b0 且 a1，b1，若 log b1，则（）aA（a1）（b1）0B（a1）（ab）0  C（b1）（ba）0D（b1）（ba）0（6 5 分）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件1C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5 分）已知函数 f（x）满足：f（x）|x|且

3、60;f（x）2x，xR（）A若 f（a）|b|，则 abC若 f（a）|b|，则 abB若 f（a）2b，则 abD若 f（a）2b，则 ab8（5 分）如图，点列A 、B 分别在某锐角的两边上，且|A A |=|A A |，nnnn+1n+1n+2A A ，nN*，|B B |=|B B |，B B ，nN*，（PQ 表示点 P 与&

4、#160;Q 不重nn+1nn+1n+1n+2nn+1合）若 d =|A B |，S 为 B B 的面积，则（）nnnnnnn+1AS 是等差数列nCd 是等差数列nBS 2是等差数列nDd 2是等差数列n二、填空题9（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm310（6 分）已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是

5、，半径是（116 分）已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则 A=，b=12（6 分）设函数 f（x）=x3+3x2+1，已知 a0，且 f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数 a=，b=（13 4 分）设双曲线 x22=1 的左、右焦点分别为 F 、F ，若点 P 在双曲线上，1 2且 PF 为锐角三角形，则|PF |+|PF |的取值范

6、围是121214（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90°，沿直线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是15（4 分）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2，=1，若 为平面单位向量，则|+|   |的最大值是       三、解答题（B  

7、 Cb   c16 14 分）在ABC 中，内角 A， ， 所对的边分别为 a， ， ，已知 b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若 cosB= ，求 cosC 的值17（15 分）设数列a 的前 n 项和为 S ，已知 S =4，a =2S +1，nN*nn2n+1n（）求通项公式 a 

8、;；n（）求数列|a n2|的前 n 项和n318（15 分）如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面 ACFD；（）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值19（15 分）如图，设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y轴的距离等于|AF|1，（）求 p

9、60;的值；（）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围420（15 分）设函数 f（x）=x3+（）f（x）1x+x2（） f（x） ，x0，1，证明：52016 年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1（5 分）已知全

10、集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2，4，则（ P）Q=（）UA1B3，5        C1，2，4，6 D1，2，3，4，5【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】37：集合思想；49：综合法；5J：集合【分析】先求出 P，再得出（ P）QUU【解答】解： P=2，4，6，U（ P）Q=2，4，61，2，4=1，2，4，6U故选：C【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题2（5 分）已知互相

11、垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则（）AmlBmnCnlDmn【考点】LW：直线与平面垂直【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】由已知条件推导出 l ，再由 n，推导出 nl【解答】解：互相垂直的平面 ， 交于直线 l，直线 m，n 满足 m，m 或 m  或 m 与  相交，l

12、60;，n，nl6故选：C【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养3（5 分）函数 y=sinx2 的图象是（）ABCD【考点】3A：函数的图象与图象的变换【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可【解答】解：sin（x）2=sinx2，函数 y=sinx2 是偶函数，即函数的图象关于 y 轴对称，排除 A，C；由 y=sinx2=0，则 x2=k，k0，则 x

13、=±，k0，故函数有无穷多个零点，排除 B，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键比较基础（4 5 分）若平面区域，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两7条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD【考点】7C：简单线性规划【专题】31：数形结合；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线 y=x+b 分别经过 A，B 时，

14、平行线间的距离相等联立方程组联立方程组，解得 A（2，1），解得 B（1，2）两条平行线分别为 y=x1，y=x+1，即 xy1=0，xy+1=0平行线间的距离为 d=  ，5（5 分）已知 a，b0 且 a1，b1，若 log b1，则（    ）故选：B【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题aA（a1）（b1）0B（a1）（ab）0  C（b1）（ba）08D（b1）（ba）0【考

15、点】71：不等关系与不等式【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】根据对数的运算性质，结合 a1 或 0a1 进行判断即可【解答】解：若 a1，则由 log b1 得 log blog a，即 ba1，此时 baaaa0，b1，即（b1）（ba）0，若 0a1，则由 log b1 得 log blog a，即 ba1，此时 

16、ba0，b1，aaa即（b1）（ba）0，综上（b1）（ba）0，故选：D【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键比较基础（6 5 分）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】33：函数思想；49：综合法；5L：简易逻辑【分析】求出 f（x）的最小值及极小值点，分别把“b0”和“f（ f（x）的最小值与

17、0;f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断【解答】解：f（x）的对称轴为 x= ，f （x）=min（1）若 b0，则 ，当 f（x）= 时，f（f（x）取得最小值 f（ ）=，即 f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的充分条件（2）设 f（x）=t，则 f（f（x）=f（t），9f（t）在（， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，若 f（

18、f（x）=f（t）的最小值与 f（x）的最小值相等，则 ，解得 b0 或 b2“b0”不是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的必要条件故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题7（5 分）已知函数 f（x）满足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（）A若 f（a）|b|，则 abC若 f（a）|b|，则 abB若 f（a）2b，则 abD若 f（a）2b，则 ab【考点】3R：函数

19、恒成立问题【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可【解答】解：A若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|，即|a|b|，则 ab 不一定成立，故 A 错误，B若 f（a）2b，则由条件知 f（x）2x，即 f（a）2a，则 2af（a）2b，则 ab，故 B 正确，C若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|，则|a|

20、b|不一定成立，故 C 错误，D若 f（a）2b，则由条件 f（x）2x，得 f（a）2a，则 2a2b，不一定成立，即 ab 不一定成立，故 D 错误，故选：B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度8（5 分）如图，点列A 、B 分别在某锐角的两边上，且|A A |=|A A |，nnnn+1n+1n+210A A ，nN*，|B

21、0;B |=|B B |，B B ，nN*，（PQ 表示点 P 与 Q 不重nn+1nn+1n+1n+2nn+1合）若 d =|A B |，S 为 B B 的面积，则（）nnnnnnn+1AS 是等差数列nCd 是等差数列nBS 2是等差数列nDd 2是等差数列n【考点】8I：数列与函数的综合【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】 设锐

22、角的顶点为O ，再设 |OA |=a ， |OB |=c ， |A A |=|A A |=b ，11nn+1n+1n+2|B B |=|B B |=d，由于 a，c 不确定，判断 C，D 不正确，设A B B 的底nn+1n+1n+2nnn+1边 B B 上的高为 h ，运用三角形相似知识，h +h

23、 =2h ，由 S = d h ，可得nn+1nnn+2n+1nnS +S =2S ，进而得到数列S 为等差数列nn+2n+1n【解答】解：设锐角的顶点为 O，|OA |=a，|OB |=c，11|A A |=|A A |=b，|B B |=|B B |=d，nn+1n+1n+2nn+1n+1n+2由于 a，c 不确定，则d 不一定是等差数列，nd

24、 2不一定是等差数列，n设 B B 的底边 B B 上的高为 h ，nnn+1nn+1n由三角形的相似可得=，=，两式相加可得，=      =2，即有 h +h =2h ，nn+2n+1由 S = d h ，可得 S +S =2S ，nnnn+2n+1即为 S S =S S&#

25、160;，n+2n+1n+1n11则数列S 为等差数列n另解：可设 B B ， B B ，A B B 为直角三角形，112223nnn+1且 A B ，A B ，A B 为直角边，1122nn即有 h +h =2h ，nn+2n+1由 S = dh ，可得 S +S =2S ，nnnn+2n+1即为 

26、;S S =S S ，n+2n+1n+1n则数列S 为等差数列n故选：A【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题二、填空题（9 6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是80cm2，体积是40cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5F：空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组12合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可【解答】解：根据几何体的三

27、视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为 4，高为 2，表面积为 2×4×4+2×42=64cm2，体积为 2×42=32cm3；上部为正方体，其棱长为 2，表面积是 6×22=24 cm2，体积为 23=8cm3；所以几何体的表面积为 64+242×22=80cm2，体积为 32+8=40cm3故答案为：80；40【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题10（6 

28、分）已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是（2，4），半径是5【考点】J2：圆的一般方程【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5B：直线与圆【分析】由已知可得 a2=a+20，解得 a=1 或 a=2，把 a=1 代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把 a=2 代入原方程，由 D2+E24F0 说明方程不表示圆，则答案可求【解答】解：方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0

29、60;表示圆，a2=a+20，解得 a=1 或 a=2当 a=1 时，方程化为 x2+y2+4x+8y5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（2，4），半径为 5；当 a=2 时，方程化为此时，方程不表示圆，故答案为：（2，4），5【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题13（11 6 分）已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则 A=，b=  1  

30、;【考点】GP：两角和与差的三角函数【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案【解答】解：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=（  cos2x+  sin2x）sin（2x+  ）+1，A=，b=1，故答案为：；1【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键12（6 分）设函数 f（x）=x3+3x2+1，已知 a0，且 f（x）f（a

31、）=（xb）（xa）2，xR，则实数 a=2，b=1【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数解析式化简 f（x）f（a），再化简（xb）（xa）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出 a、b 的值【解答】解：f（x）=x3+3x2+1，f（x）f（a）=x3+3x2+1（a3+3a2+1）=x3+3x2（a3+3a2）（xb）（xa）2=（xb）（x22ax+a2）=x3（2a+b）x2+（a2+2ab）xa2b，且 f（x）f（a）=（xb）（xa）2，解得或（舍

32、去），故答案为：2；114【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题（13 4 分）设双曲线 x2=1 的左、右焦点分别为 F 、F ，若点 P 在双曲线上，12且 PF 为锐角三角形，则|PF |+|PF |的取值范围是1212【考点】KC：双曲线的性质【专题】15：综合题；38：对应思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，以 P 在双曲线右支为例，求出PF F 

33、和F PF 为直2112角时|PF |+|PF |的值，可得 PF 为锐角三角形时|PF |+|PF |的取值范围121212【解答】解：如图，由双曲线 x2=1，得 a2=1，b2=3，不妨以 P 在双曲线右支为例，当 PF x 轴时，2把 x=2 代入 x2=1，得 y=±3，即|PF |=3，2此时|PF |=|PF |+2=5，则|PF |+|PF&

34、#160;|=8；1212由 PF PF ，得12又|PF |PF |=2，12，两边平方得：|PF |PF |=6，12，联立解得：此时|PF |+|PF |=12，使 PF 为锐角三角形的|PF |+|PF |的取值范围是（1212故答案为：（）15【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题14（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90°，沿直

35、线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是【考点】LM：异面直线及其所成的角【专题】31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角【分析】如图所示，取 AC 的中点 O，AB=BC=3，可得 BOAC，在 RtACD中，AC=CE=作 DEAC，垂足为 E，DE=   CO=  ，CE=     =  ，EO=CO过

36、点 B 作 BFAC，作 FEBO 交 BF 于点 F，则 EFAC连接 DFFBD 为 直 线 AC 与 BD 所 成 的 角  则 四 边 形 BOEF 为 矩 形 ，BF=EO=EF=BO=则FED为二面角 DCAB 的平面角，设为 利用余弦定理求出 D

37、F2的最小值即可得出【解答】解：如图所示，取 AC 的中点 O，AB=BC=3，BOAC，在 ACD中，=16作 DEAC，垂足为 E，DE=   CO=，CE=  ，EO=COCE=过点 B 作 BFAC，作 FEBO 交 BF 于点 F，则 EFAC连接 DFFBD为直线 AC 与 BD所成的角则四边形 BOEF 为矩形，BF=EO=

38、EF=BO=则FED为二面角 DCAB 的平面角，设为 则 DF2=+       2×          cos=  5cos  ，cos=1时取等号DB 的最小值=2直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值=也可以考虑利用向量法求解故答案为：=   = &

39、#160;【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题15（4 分）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2，=1，若 为平面单位向量，则|+|   |的最大值是      17【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】由题意可知，|+|为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值

40、的和，由此可知，当 与共线时， |   |+|   |取得最大值，即【解答】解：|+|=，其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，当 与共线时，取得最大值=                     故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量

41、积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题三、解答题（B   Cb   c16 14 分）在ABC 中，内角 A， ， 所对的边分别为 a， ， ，已知 b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若 cosB= ，求 cosC 的值【考点】HP：正弦定理【专题】34：方程思想；35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形【分析】（1）由 

42、b+c=2acosB，利用正弦定理可得： sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得： sinB=sin（AB），由 A，B（0，），可得 0AB，即可证明（ II ） cosB=sinA=， 可 得 sinB=           cosA=cos2B=2cos2B  1 ，利用&

43、#160;cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB 即可得出18（【解答】 1）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（AB），由 A，B（0，），0AB，B=AB，或 B=（AB），化为 A=2B，或 A=（舍去）A=2B（II）解：cosB= ，sinB=cosA=cos2B=2cos2B1=，sinA=  =  &#

44、160; cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+  ×    =  【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（15 分）设数列a 的前 n 项和为 S ，已知 S =4，a =2S +1，nN*nn2n+1n（）求通项公式 a ；n（）求数列|a n2|的前&

45、#160;n 项和n【考点】8H：数列递推式【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列a 是公比 q=3 的等比数列，即可求通项公式 a ；nn（）讨论 n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列|a n2|的前 n 项和n【解答】解：（）S =4，a =2S +1，nN*2n+1na +a =4，a 

46、;=2S +1=2a +1，12211解得 a =1，a =3，12当 n2 时，a =2S +1，a =2Sn+1nnn1+1，两式相减得 a a =2（S Sn+1nnn1）=2a ，n即 a =3a ，当 n=1 时，a =1，a =3，n+1n1219满足 a =3a ，n+1n=3，则数列a 是公比 q=3 

47、的等比数列，n则通项公式 a =3n1n（）a n2=3n1n2，n设 b =|a n2|=|3n1n2|，nn则 b =|3012|=2，b =|322|=1，12当 n3 时，3n1n20，则 b =|a n2|=3n1n2，nn此 时 数 列 |a  n  2| 的 前nn  项 和  T =

48、3+            n=，则 T =n【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列a 是等比数列是解决本题的关键求出过程中使n用了转化法和分组法进行数列求和18（15 分）如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面 ACFD；（

49、）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值20【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角【专题】11：计算题；14：证明题；31：数形结合；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（）根据三棱台的定义，可知分别延长 AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为 K，并且可以由平面 BCFE平面 ABC 及ACB=90°可以得出 AC平面 BCK，进而得出 BFAC而根据条件可以判断出点 E，F 分别为边 BK，CK的

50、中点，从而得出BCK 为等边三角形，进而得出 BFCK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出 BF平面 ACFD；（）由 BF平面 ACFD 便可得出BDF 为直线 BD 和平面 ACFD 所成的角，根据条件可以求出 BF=，DF= ，从而在 RtBDF 中可以求出 BD 的值，从而得出 cosBDF 的值，即得出直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值（

51、【解答】解： ）证明：延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示：平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC；AC平面 BCK，BF平面 BCK；BFAC；又 EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2；BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点；BFCK，且 ACCK=C；BF平面 ACFD；（）BF平面 ACFD；BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成

52、的角；F 为 CK 中点，且 DFAC；DF 为ACK 的中位线，且 AC=3；又；在 BFD 中，cos；即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为21【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义19（15 分）如图，设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y轴的距离等于|AF|1，（）求 p 的值；（）若直线 AF