专题--多面体的外接球问题--彭中富

1、专题专题 多面体的外接球问题多面体的外接球问题重庆市第四十九中学重庆市第四十九中学 彭中富彭中富性质性质1：用一个平面去截用一个平面去截球球，截面是，截面是圆面圆面； 用一个平面去截用一个平面去截球面球面， 截线是截线是圆圆。大圆大圆-截面过球心，半径等于球半径；截面过球心，半径等于球半径；小圆小圆-截面不过球心截面不过球心 性质性质2: 球心和截面圆心的连线垂球心和截面圆心的连线垂 直于截面直于截面性质性质3: 球心到截面的距离球心到截面的距离d与球的半与球的半径径R及截面的半径及截面的半径r下面的关系下面的关系:A22rRd（二）（二）球体的体积与表面积球体的体积与表面积343球VR 24

2、球面SR （三）球与多面体的接、切（三）球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球外接球球心到各顶点的距离相等外接球球心到各顶点的距离相等(R) 内切球球心到各面的距离相等内切球

3、球心到各面的距离相等(r)球体的体积与表面积球体的体积与表面积( (一一) )汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）二、经典模型：二、经典模型： :直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任题型意三角形）步骤：步骤：二、经典模型：二、经典模型： 1 21 2确定球心O的位置，即在上下底面小圆圆心连线OO 上，第一步为O：且O的中点22112222222O AO OhhRrRr2勾 股 定 理 ：第步 ：OA三1111= ,;22r OOAAh1计算出小圆的半径AO第二步:例例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，、已知正四棱柱的各个顶点

4、都在同一个球面上，且高为且高为4，体积为，体积为16.其外接球的表面积是其外接球的表面积是 .a解：设底面边长为2424SR24 222222=16222246V a haRRDBA1A1BC1C1D111120ABCABC1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ）2222 3,2 324,2,sin1201520BCrrRrRS解：由余弦定理得 A1C1BBC1A20( (二二) )对棱相等模型对棱相等模型题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD），求外接球问题二、经典模型：二、经典模型

5、： 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线的对棱(面对第一步：角线)；步骤：步骤： 2222222222222222228abxxyzbcyRabcaczxyzR222设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出，第：方程二步例3：三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（ ）ABCD222222292942216292abbcRabcacS222解：设长方体的长宽高分别为a,b,c.列出方程：292三条两两垂直的棱三条两两垂直的棱二、经典模型：二、经典模型： 解题方法：找三条两两垂

6、直的线段，直接利长方解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：体对角线公式即可：22222222abcRabcR2例题4：（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，其外接球的表面积是 .3解：解：22222923334RR249SR9CBDA（2）已知某几何体的三视图如）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为图所示，三视图是边长为1的的等腰直角三角形和边长为等腰直角三角形和边长为1正正方形，则该几何体外接球的方形，则该几何体外接球的体积体积 .222233211124332解：RRVR(四四) )垂面模型垂面模型题型1:PAABC 平面（侧棱垂直于底面的棱锥）

7、ABC将画在小圆面上，以A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必第一步：过球心O1111()OABCOOABCOO Dr r为的外心，所以平面，计算出小圆的半径利用正弦定理计第步：算可得二2221RrOO利用勾股定第三步：理即可：二、经典模型：二、经典模型： ,3=2 3SABCSAABCABCSA例5：三棱锥中，侧棱平面底面是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积等于（ ）2222332213,4sin60432233解：rRRRVRASCB32311确定球心O的位置，取ABC的外心O ，则P,第一O,O 三步：点共线；PABC题型2：三棱锥的三条侧棱相等，且各个顶点都

8、球面上11,;AOrPO1第 二 步 ： 先 计 算 出 小 圆 O 的 半 径 ，再算 出 棱 锥 的 高22211222,O AO AO ORhRrR勾 股 定 理第 三 步 ：解 出2sinaRa为棱长，为侧棱与底方法二：面所成角32SABCABC例6：正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为 ，则该三棱锥的外接球体积等于（ ）233:12432 3313273242432 32sin60327332解的外接圆的半径为，三棱锥的直径为方法二： ABCSABCRRRVRRRVR(五五) )折叠模型折叠模型题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠二、经典模型：二、经典模型： 1

9、OCHR1122211解 OEH ，算出OH ，在RT中，勾股第三步：OH +即CH定理=可：12BCDBCDA BDHH先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心第：和一步12过H 和H 分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE第二步：,OC;60BADBCD例7：棱形ABCD的边长为2，且,将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为（ ）CDBA121222222124222,sin60331515333: rrrrO HRO HrR解120BCDBCD“平面ABD平面”改为“平 面ABD与平面所成角为”则三棱锥

10、 A-BCD的外接球的半径为（ 变式： ）133R课堂小结课堂小结1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。）再构造直角三角形，勾股定理求解。3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成方法：直接补成长方体，长方体，求其体对角线；求其体对角线；2、三组对棱分别相等型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成方法：直接补成长方体，长方体，求其体对角线；求其体对角线；课堂小结课堂小结4、墙面型（侧

11、棱垂直于底面的棱锥）如何找外接墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？球的半径呢？课堂小结课堂小结利用勾股定第三步：理即可：111();OOO Dr r找底面多边形外接圆的圆心，计算出小圆的半径利用正弦定理第：计算可得一步1111=2()OOOOO Ohh过作底面， 为球心且为第步：椎体的高二也可补成直棱柱，安汉堡型进方法二：行求解。5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？找外接球的半径呢？111();OOO Dr r找底面多边形外接圆的圆心 （顶点在底面的投影），计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）（2）在高线上取一点作为球心 ；O利用勾股定理求出（3）