2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷

1、2018 年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1（5 分）已知集合 A1，3，m，B3，5，若 B A，则实数 m 的值为（2 5 分）已知 i 是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数则实数 a 的值为3（5 分）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用

2、电量都在 50 度到 350 度之间，频率分布直方图如图所示则在这些用户中，用电量落在区间200，250）内的户数为4（5 分）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是5（5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为第 1 页（共 22 页）6（5 分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为7（5 分）若不等式组分，则 k 的值是，所表示的平面区域被直线 y

3、kx+ 分为面积相等的两部8（5 分）若数列an的前 n 项和 Sn 满足（nN*），则 a4 的值为    9（5 分）现用一半径为 10cm，面积为 80cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为cm310（5 分）已知向量 （1，2）， （2，4），| |的夹角为，若（ + ）   

4、;，则 与11（5 分）设正实数 x，y 满足，则 y 的最小值是      （12 5 分）已知圆 C：x2+（y4）24 和点 Q（2，2），过点 P（0，3）作直线 l 交圆于 A，B 两点，则的取值范围是ff13（5 分）如果函数 yf（x）在其定义域内总存在三个不同实数 x1，x2，x3，满足|xi2|f（xi）1（i1，2，3），则称函

5、数 （x）具有性质 已知函数 （x）aex 具有性质 ，则实数 a 的取值范围为（b  c14 5 分）已知实数 a， ，2，2，且满足 a+b+c0，则 a3+b3+c3 的取值范围是二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15 14 分）已知ABC 中，若角 A，B，C

6、60;对应的边分别为 a，b，c，满足b1，（）若ABC 的面积为，求 a；（2）若，求ABC 的面积（16 14 分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面 ADNM平面 ABCD，点 P 为 DN 的中点，点 E 为 AB 的中点（1）求证：BDMC；（2）求证：AP平面 NEC第 2 页（共 22 页），17（14 分）如图

7、是一“T”型水渠的平面视图（俯视图） 水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中 A，B 处开始）假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）（1）在水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的内壁交于 P，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段 PQ 的长度 l 表示为  的函数；（2）若从南面漂来一根长为 7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从

8、拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2，一条准线方程为 x2P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P，Q，F2 三点的圆的方程；（3）若，且  ，2，

9、求的最大值1916 分）已知数列an，bn满足：对于任意的正整数 n，当 n2 时，（1）若，求的值；第 3 页（共 22 页）b（2）若数列an的各项均为正数，且 a12，n1，设，若对任意 nN *，恒成立，求  的最小值20（16 分）已知函数 f（x）x33x2+ax+3，f（x）在 x1 处取极大值，在 x2 处取极小值（1）若 a0，求函数 f（x）的单调区间和零点个数；ff

10、ff（2）在方程 （x） （x1）的解中，较大的一个记为 x3；在方程 （x） （x2）的解中，较小的一个记为 x4，证明：为定值；（3）证明：当 a1 时，f（x）lnx第 4 页（共 22 页）2018 年江苏省苏州市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1（5 分）已知集合

11、60;A1，3，m，B3，5，若 BA，则实数 m 的值为5【分析】利用集合的包含关系，推出 m 是 A 的元素，求解即可【解答】解：A1，3，m，集合 B3，5，BA，可得 mA，可得 m5故答案为：5【点评】本题考查集合的包含关系，是基本知识的考查（2 5 分）已知 i 是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数则实数 a 的值为3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为 0 求解【解答】解：，即&#

12、160;a3的实部与虚部互为相反数，故答案为：3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5 分）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 度到 350 度之间，频率分布直方图如图所示则在这些用户中，用电量落在区间200，250）内的户数为22【分析】由频率分布直方图先求出用电量落在区间200，250）内的频率，由此能求出用电量落在区间200，250）内的户数【解答】解：由频率分布直方图得：第 5 页（共 22 页）用电量落在区

13、间 200，250）内的频率为： 1（0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012）×500.22，用电量落在区间200，250）内的户数为：100×0.2222故答案为：22【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5 分）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是【分析】根据题意，首先用列举法列举从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而

14、可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共 6 种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为  ；故答案为： 【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏5（5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为7第 6 页（共 2

15、2 页）【分析】直接利用程序框图的循环结构求出结果【解答】解：在执行循环前：K1，S1，执行第一次循环时：S1，K3，执行第二次循环时，S3，K5，执行第三次循环时，S15，K7由于：S10，输出 K7，故答案为：7【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用（65 分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为y±x【分析】离心率公式计算可得 m，再由渐近线方程即可得到所求方程【解答】解：双曲线的离心率为，可得 b2，c，由题意可得 e 解方程可得 m2，  ，第 7 

16、页（共 22 页）即双曲线的方程为即有渐近线方程为 y±，x故答案为：y±x【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式，考查运算能力，属于基础题7（5 分）若不等式组，所表示的平面区域被直线 ykx+ 分为面积相等的两部分，则 k 的值是【分析】先根据约束条件，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可【解答】解：不等式组，所表示的平面区域如图示：由图可知，直线 ykx+恒经过点 A（0， ），当直线 ykx+再经过

17、60;BC 的中点 D（，）时，平面区域被直线 ykx+分为面积相等的两部分，当 x ，y 时，代入直线 ykx+的方程得：k ；故答案为：第 8 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题8（5 分）若数列an的前 n 项和 Sn 满足（nN*），则 a4 的值为81【分析】n1 时，a1S1，当 n2 时

18、，anSnSn1，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求值【解答】解：数列an的前 n 项和 Sn 满足（nN*），可得 n1 时，a1S1 （1+a1），解得 a13，当 n2 时，anSnSn1（1+an） （1+an1），即有 an3an1，可得an为 3 为公比的等比数列，即有 an33n13n，则 a481，故答案为：81【点评】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题9（5

19、 分）现用一半径为 10cm，面积为 80cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为128cm3【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为 10cm，面积为 80cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得 R10，由Rl80 得

20、 l16；由 2rl 得 r8；由 R2r2+h2 得 h6；由 V 锥 r2h 646128（cm3）所以该容器最多盛水 128cm3第 9 页（共 22 页）故答案为：128【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键10（5 分）已知向量 （1，2）， （2，4），| |的夹角为，若（ 

21、+ ）   ，则 与【分析】设 （x，y），根据题中的条件求出 x+2y ，即向量的夹角公式求出 cos 的值，由此求得  的值【解答】解：设 （x，y）， ，再利用两个由向量 （1，2）， （2，4），| |且（ + ） ，可得x2y ，即有 x+2y ，即 ，设 与 的夹角为等于 ，则 cos再由 0，&

22、#160;        可得 故答案为：，【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出于中档题第 10 页（共 22 页） 是解题的关键，属11（5 分）设正实数 x，y 满足，则 y 的最小值是【分析】正实数 x，y 满足，化为 yx2+（1y2）x+4y0，由于关于 x 的方程有正实数根，可知又 x1x290，可知 x1

23、60;与 x2 同号，必有 x1+x2y再利用0解出即可得到 y 的最小值0，解得【解答】解：正实数 x，y 满足 xy化为 yx2+（1y2）x+9y0，x1x290，则解得1y0（舍）或 y1关于 x 的方程有正实数根，（y2）236y20，（y2+6y1）（y26y1）0，y1，解得 y3+实数 y 的最大值为故答案为：3+【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中

24、档题（12 5 分）已知圆 C：x2+（y4）24 和点 Q（2，2），过点 P（0，3）作直线 l 交圆于 A，B 两点，则的取值范围是4，6【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 l 的方程为 ykx+3，代入圆 x2+（y4）24，再由韦达定理和向量的模的公式，结合分式函数的值域求法：判别式法，计算即可得到所求范围【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），则|（x1+x24，y1+y24）|，设直线

25、0;l 的方程为 ykx+3，代入圆 x2+（y4）24 可得（1+k2）x22kx30，第 11 页（共 22 页）k2+12（1+k2）0 恒成立，即有 x1+x2，y1+y2k+6，则，由 t，可得（12t）k216kt0，t12 时，k ；t12 时，即为 162+4t（12t）0，解得4t16，则的取值范围是4，6另解：取 AB 的中点 M，可得2|  |，再由 CMAB

26、60;可得 CMPM，M 在以 CP 为直径的圆上运动，可得圆心 N（0， ），半径为 r ，可得 QMQNr，QN+r2，3，则的取值范围是4，6故答案为：4，6【点评】本题考查直线和圆的位置关系，注意联立方程组，运用韦达定理，同时考查分式函数的值域求法，注意运用判别式法，考查化简整理的运算能力，属于中档题ff13（5 分）如果函数 yf（x）在其定义域内总存在三个不同实数 x1，x2，x3，满足|xi2|f（xi）1（i1，2，3），则称函数 （x）具有性质&#

27、160;已知函数 （x）aex 具有性质 ，第 12 页（共 22 页）则实数 a 的取值范围为【分析】首先将由三个实数满足等式问题转化为两个函数图象交点个数有 3 个的问题，对复杂函数求导，由单调性得到函数的走势，由此得到 a 在哪一范围内才能有三个交点问题【解答】解：f（x）aex 具有性质 存在三个不同实数 x1，x2，x3，满足|xi2|f（xi）1（i1，2，3），即存在三个不同实数 x1，x2，x3，满足|xi2|

28、a1（i1，2，3），等价于 a等价于 ya 与 y有三个解的图象有三个交点问题yyx2x2yx2yx2由导函数的正负得到原函数的增减知：y的图象在（，1）单调递减，极小值是 x1 时，y在（1，2）上单调递增，增到+在（2，+）单调递减，由+减到与 x 轴无限接近，永不相交若 ya 与 y的图象有三个交点，即 a故答案为：（ ，+）【点评】本题考查将方程根的问题转化为函数图象交点问题，以及由导函数确定原函数图象问题，属于难题14（5 分）已知实数

29、0;a，b，c2，2，且满足 a+b+c0，则 a3+b3+c3 的取值范围是6，6【分析】由条件可得 cab，代入原式化简可得 a3+b3+c3a3+b3（a+b）33abc，由基本不等式求得 ab（）2，结合 c 的范围，可得结论【解答】解：实数 a，b，c2，2，且满足 a+b+c0，第 13 页（共 22 页）可得 a+bc，a3+b3+c3a3+b3（a+b）3a3+b3a3b33ab（a+b）3abc，由 ab（）2，由2c

30、2 可得 c24，c0 时，3abcc0，abc0；c0，3abc6；6；3abc6，6，故答案为：6，6【点评】本题考查基本不等式的运用，考查变形和运算能力，属于中档题二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15 14 分）已知ABC 中，若角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，满足b1，（）若ABC 的面积为，求 a；（2）若，求ABC 的面积（【

31、分析】 1）由题意利用三角形的面积公式建立关于 a 的方程，解方程求得 a 的值（2）由题意利用余弦定理解方程求得 c 的值，可得ABC 的面积 S的值【解答】解：（1）由 b1，又，那么得，即，即 a414a2+490，得到 a27，即有（ 2 ）由题意有又由 b2+c2a22bccosA 可知， b  1 ，由余弦定理，即      

32、    ，第 14 页（共 22 页），有由得到经检验，或，亦即均符合题意；，可知     或      那么ABC 的面积为，或 S bcsinA【点评】本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，属于中档题（16 14 分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面 ADNM平面 ABCD

33、，点 P 为 DN 的中点，点 E 为 AB 的中点（1）求证：BDMC；（2）求证：AP平面 NEC（【分析】 1）连接 AC，推出 ACBD，得到 AM平面 ABCDAMBD证明 BD平面 MAC即可证明 BDMC（2）取 NC 的中点 S，连接 PS，SE证明 APSE然后证明 AP平面 NEC【解答】证明：（1）连接 AC，因为四边形

34、60;ABCD，是菱形，所以 ACBD，又 ADNM 是矩形，平面 ADNM平面 ABCD，所以 AM平面 ABCD因为 BD平面 ABCD，所以 AMBD因为 ACAMA，所以 BD平面 MAC又 MC平面 MAC，所以 BDMC（2）取 NC 的中点 S，连接 PS，SE因为 PSDCAE，所以四边形 APSE 是平行四边形，所以 APSE又 

35、SE平面 NEC，AP平面 NEC，所以 AP平面 NEC第 15 页（共 22 页）【点评】本题考查直线与平面垂直与直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，17（14 分）如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图） 水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中 A，B 处开始）假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）（1）在水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的

36、内壁交于 P，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段 PQ 的长度 l 表示为  的函数；（2）若从南面漂来一根长为 7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由（【分析】 1）求出 PA，QA，即可将线段 PQ 的长度 l 表示为  的函数；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，第 

37、;16 页（共 22 页），所以 lPA+QA，即（）（4 分）（2）设，由，（6 分）令 f'（）0，得（8 分）且当 （0，0），f'（）0；当所以，f（）在（0，0）上单调递减；在，f'（）0，上单调递增，所以，当 0 时，f（）取得极小值，即为最小值（10 分）当时，所以 f（）的最小值为，（12 分）即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠（14 分）【点评】本题考

38、查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型，考查导数知识的运用，属于中档题18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2，一条准线方程为 x2P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P，Q，F2 三点的圆的方程；（3）若，且&#

39、160; ，2，求的最大值（【分析】 1）根据椭圆的焦距为 2，一条准线方程为 x2，求出 a，b，即可求椭圆 C 的方程；（2）直线 PF1 的方程为 xy+10，代入椭圆方程，求出 Q 的坐标，利用圆的一般方程，建立方程组，即可求过 P，Q，F2 三点的圆的方程；（3）由，可得 P，Q 坐标之间的关系，利用向量的数量积公式，结合  ，2，利用基本不等式，即可求  的最大值第 17&#

40、160;页（共 22 页）【解答】解：（1）由题意得，解得：c1，a22，b2a2c21椭圆 C 的方程为：；（2）P（0，1），F1（1，0），直线 PF1 的方程为 xy+10由，解得或，点 Q 的坐标为设过 P，Q，F2 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0，则，解得所求圆的方程为（3）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），；则，即，解得：  第 18 页（共 22 页） ，2，

41、当且仅当      ，即 1 时取等号即的最大值为 【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查基本不等式的运用，确定坐标之间的关系是关键1916 分）已知数列an，bn满足：对于任意的正整数 n，当 n2 时，（1）若，求的值；b（2）若数列an的各项均为正数，且 a12，n1，设，若对任意 nN *，恒成立，求  的最小值（【分析】 1）直接利用数列的递推关系式求出数列的

42、通项公式，进一步求出关系式的值（2）利用比较法和赋值法求出数列的各项的和，进一步确定参数的值【解答】解：（1）由题意，由于，所以：，则：，所以：（2），第 19 页（共 22 页）所以，           ，                ，则所以，（n+1）2（n2），由于数列的各项为

43、正值，所以：由于 a12（符合上式），故：ann+1所以，下面比较 Sn 和 Tn 的大小有，当 n3 时，所以，记 2nt8，（n+2）（2n1）2（2n+11）25（t1）2（2t1）2t26t+40，故数列为递减数列综上所述：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用赋值法求数列的各项，参数的范围的确定20（16 分）已知函数 f（x）x33x2+ax+3，f（x）在 x1 处取极大值，在 x2 处取极小值（1）若 a0，求函数 f（x）的单调区间和零点个数；ffff（2）在方程 （x） （x1）的解中，较大的一个记为 x3；在方程 （x） （x2）的解中，第 20 页（共