光波的空间频率与空间频谱

1、.1.5 光波场的空间频率和空间频率谱光波场的空间频率和空间频率谱 (Spatial frequency and spatial frequency spectrum of light wave field)1. 空间频率空间频率2. 空间频率谱空间频率谱在光学图像及光倍息处理领域内，经常要将空间域在光学图像及光倍息处理领域内，经常要将空间域问题转换为空间频率域问题处理。为此，下面讨论问题转换为空间频率域问题处理。为此，下面讨论光波场的空间频率与空间频率谱的基本概念。光波场的空间频率与空间频率谱的基本概念。.1. 空间频率空间频率00)i(011i2(0e =e (79)kzttzTEEE）+

2、前面，我们给出了一个单色平面光波场的表示式前面，我们给出了一个单色平面光波场的表示式它是它是时间和空间时间和空间的函数，表征了平面光波在某一时、的函数，表征了平面光波在某一时、空坐标下的状态。空坐标下的状态。.v 是光波场的频率，是光波场的频率，T 是振动周期，是振动周期，k 是波数。是波数。1. 空间频率空间频率22 (80)vT上式中上式中 是时域内平面光波的圆频率是时域内平面光波的圆频率:00)i(011i2(0e =e (79)kzttzTEEE）+.从平面光波场时、空相位关系的对称性来看，从平面光波场时、空相位关系的对称性来看，k 可可称为称为空间圆频率空间圆频率，波长，波长 可称为

3、光波场的可称为光波场的空间周期空间周期,相应波长的倒数可称为光波场在光传播方向上的相应波长的倒数可称为光波场在光传播方向上的空空间频率间频率。1. 空间频率空间频率1 kTv. (81)f1空间频率，即空间频率，即它表示光波场沿波矢它表示光波场沿波矢 k 方向每增加单位长度，光波方向每增加单位长度，光波场增加的周期数。场增加的周期数。1. 空间频率空间频率.光波的光波的空间频率是观察方向的函数空间频率是观察方向的函数。例如，对于图所。例如，对于图所示的、沿示的、沿 z 轴方向传播的平面光，在波传播方向（轴方向传播的平面光，在波传播方向（z）上，波长是上，波长是 ，空间频率是，空间频率是 f1

4、/ 。1. 空间频率空间频率波平面波平面zk0 x.cos= (82)rrf1在在 方向观察时，波的空间周期是方向观察时，波的空间周期是 r，相应的空间，相应的空间频率为频率为1. 空间频率空间频率rzk0显然，当显然，当 / 2 时，沿时，沿 x 方向的方向的空间频率为零。空间频率为零。.对于如图所示的、在对于如图所示的、在 xOy 平面内沿平面内沿 k 方向传播的方向传播的平面光波，平面光波，00)i(0i(0e =e (83)xyk rtt k x k yEEE ）1. 空间频率空间频率xkx波阵面波阵面yy.k 方向的空间频率方向的空间频率x 方向的空间频率方向的空间频率y 方向的空间

5、频率方向的空间频率z 方向的空间频率方向的空间频率因为因为=1/ =1/=cos / (84)=1/=sin /=1/=0 xxyyzzffff 22222= + = (85)xyxykkk22+ 所以有所以有222= + (86)xyfff 1. 空间频率空间频率. 对于如图所示的、沿任意空间方向传播的平面光波对于如图所示的、沿任意空间方向传播的平面光波1. 空间频率空间频率xyzk波平面波平面0/2/2.00)i(0i(0e =e (87)xyzk rtt k x k y k zEEE ）因为因为= cos= cos= cosxyzkkkkkk所以所以，空间频率为空间频率为cos=cos=

6、 (88)cos=xyzfff1. 空间频率空间频率.因此，该平面光波被表示为因此，该平面光波被表示为0()+i0e (89)xyztf xf yf zEE2应当指出，对于一个沿任意方向传播的平面光波，因应当指出，对于一个沿任意方向传播的平面光波，因为波数为波数 k 与频率与频率 v 如下的关系：如下的关系：2222 = (90)xyzvkkkk1. 空间频率空间频率.所以，在所以，在 k 的三个分量中只有两个是独立变量，只的三个分量中只有两个是独立变量，只要知道了要知道了 k 在在 xOy 平面上的两个分量平面上的两个分量 kx 和和 ky，即，即可由可由2222() zxyvkkk确定确定

7、 kz ，从而也就确定了，从而也就确定了 k 。1. 空间频率空间频率.0i()i0i()0i2()0e e e (91)xyzxyxyk x k yk zk x k yf xf yEE eEE式中，式中， 。0i00=zk zEE e1. 空间频率空间频率因此，在任意因此，在任意 zz0 的的 xz0y 平面上，平面光波的复振平面上，平面光波的复振幅可以表示为幅可以表示为. 由上所述，一个平面光波的空间传播特性也可以由上所述，一个平面光波的空间传播特性也可以用空间频率这个特征参量描述。用空间频率这个特征参量描述。 当研究平面光波沿着传播方向的空间周期分布时，当研究平面光波沿着传播方向的空间周

8、期分布时，每一个空间频率对应于一定波长的单色波。每一个空间频率对应于一定波长的单色波。 当研究垂直于当研究垂直于 z 轴的一个平面上单色光波的复轴的一个平面上单色光波的复振幅分布时，每一组空间频率（振幅分布时，每一组空间频率（fx，fy）值对应）值对应于一个沿一定方向传播的单色平面光波。于一个沿一定方向传播的单色平面光波。1. 空间频率空间频率.( , )E x y实际上，在光学图像及光信息处理应用中，经常处实际上，在光学图像及光信息处理应用中，经常处 理的是在一个平面理的是在一个平面(例如，入瞳平面或物平面例如，入瞳平面或物平面)上的上的 二维信息二维信息，即单色光波场中任一，即单色光波场中

9、任一 xy 平面上的复振平面上的复振 幅分布幅分布 。2. 空间频率谱空间频率谱此时可以利用二维傅里叶变换，将此时可以利用二维傅里叶变换，将E(x,y)这个二维这个二维 空间坐标函数分解成无数个形式为空间坐标函数分解成无数个形式为expi2(fxx+fyy) 的基元函数的的基元函数的线性组合线性组合，即，即.式中的基元函数式中的基元函数expi2(fxx+fyy) 可视为由空间频率可视为由空间频率（fx，fy）决定的、沿一定方向传播的平面光波，其）决定的、沿一定方向传播的平面光波，其传播方向的方向余弦为传播方向的方向余弦为cos = fx, cos = fx ，相应，相应地，该空间频率成分的基元函数所占比例的大小由地，该空间频率成分的基元函数所占比例的大小由 决定。决定。2. 空间频率谱空间频率谱1()i2( , )=F ( ,) =( ,)ed d (92)xyxyffxyxyE x yE ffE ffff( ,)xyE ff.2. 空间频率谱空间频率谱可以把一个可以把一个平面上平面上的单色光波场复振幅视为向空的单色光波场复振幅视为向空 间不同方向传播的单色平面光波的叠加，每一个间不同方向传播的单色平面光波的叠加，每一个 平面光波分量与一组空间频率（平面光波分量与一组空间频率（fx，fy）相对应。）相对应。这样一来，就可以把对光波各种现象的分析，转这样一来，就可以把