高教五版高数(经济类)中值定理洛必达法则]随堂讲义

1、2021年12月21日星期二1牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）2021年12月21日星期二2第二节第二节 函数的增减性、曲线的凹凸性与拐点函数的增减性、曲线的凹凸性与拐点第三节第三节 函数的极值与最大值、最小值函数的极值与最大值、最小值第一节第一节 中值定理、洛必达法则中值定理、洛必达法则 第四节第四节 函数图形的描绘函数图形的描绘第五节第五节 经济应用经济应用(优化分析优化分析) 2021年12月21日星期二3 第三章第三章 一、微分中值定理一、微分中值定理三、小结与思考题三、小结与思考题（The Mean Value Theorem）罗尔中值定理罗尔中值定理拉

2、格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理 二、洛必达二、洛必达(L(LHospital)Hospital)法则法则 2021年12月21日星期二41. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使使( )0.fxyoab)(xfy 证证:，上连续在因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点2021年12月21日星期二5若若 M

3、= m , 则则, ,)(baxMxf因此因此( , ),a b ( )0.f若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 , )(afM 则至少存在一点则至少存在一点, ),(ba使使,)(Mf( )0.f下面证明下面证明 ( , )a b因为因为 则则)(f xfxfx)()(lim0)0(x)( f)0(x)( f000)(f, )()(, )(fxfx2021年12月21日星期二6注注 罗尔中值定理的三个条件是结论成立的充分条件，罗尔中值定理的三个条件是结论成立的充分条件，但不是必要条件但不是必要条件.罗尔中值定理的几何意义：罗尔

4、中值定理的几何意义： 2021年12月21日星期二7解解 2( )23(1)(3)f xxxxx( )222(1)fxxx( 1)(3)0.ff2021年12月21日星期二8证证 作辅助函数作辅助函数 4320123( )f xa xa xa xa x0(0)()0ff x(3) 由罗尔定理知，由罗尔定理知， 320123( )4320faaaa，得证得证2021年12月21日星期二90155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根

5、.证证: 1) 存在性存在性 .则则)(xf在在 0 , 1 连续连续 ,且且由介值定理知存在由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点至少存在一点,. 0)(f使但但矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!设设例例3 证明方程证明方程（补充题）（补充题）2021年12月21日星期二102. 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理( ) (1) 在区间在区间 a ,

6、 b 上连续上连续)(xfy 满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点, ),(ba使使( )( )( ).f bf afbaxyoab)(xfy 思路思路: 利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,)(x在在 a , b 上连续上连续 ,在在 ( a , b ) 内可导内可导,且且证证:问题转化为证问题转化为证( )x)(xf( )( )f bf axba( )a由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立即定理结论成立 .(

7、),babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕证毕2021年12月21日星期二11拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义： xyoab)(xfy 两个重要推论两个重要推论 推论推论1 推论推论2 2021年12月21日星期二12. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C又又,2) 1(f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cota

8、rcarctanxx211x211x0经验经验:欲证欲证Ix时时,)(0Cxf只需证在只需证在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例例4 证明证明2021年12月21日星期二13证证 故有故有2( )( )arctanarctan(arctan ) |()1xbaf bf abaxba( , )a b222111ab 易知易知从而从而 222111babababa即即22arctanarctan11babababa2021年12月21日星期二14证证: 设设( )ln(1),f tt上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故. )0()1ln

9、(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有因此应有例例6 证明不等式证明不等式（补充题）（补充题）2021年12月21日星期二153、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(证明分析证明分析:)(xf及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点, ),(ba使使( )( )( ).( )( )( )f bf afF bF aF

10、满足满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx2021年12月21日星期二16证证 0e1e1e, 0.01xxx即即e1e .xx2021年12月21日星期二17在第一章求极限时，在第一章求极限时， 我们遇到过许多我们遇到过许多无穷小量之比无穷小量之比 或或无穷大量之比的极限无穷大量之比的极限 我们称这类极限为我们称这类极限为未定式未定式 （Indeterminate Form)例如，例如，0sinlim,xxx0e1lim,xxx都是都是无穷无穷小小量之比量之比 的极限。的极限。又如，又如，elim,xxx2l

11、im,1xxx都是都是无穷无穷大大量之比量之比 的极限。的极限。它们不能用它们不能用“商的极限等于极限的商商的极限等于极限的商”的规则进行运算，的规则进行运算，但可用下面介绍的但可用下面介绍的洛必达法则洛必达法则来求这类极限来求这类极限. 二二 、 洛必达洛必达(LHospital)法则法则2021年12月21日星期二180)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xF x,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且定理定理 4 00(洛必达法则洛必达法则) 2021年12月

12、21日星期二19( 在在 x , a 之间之间)无妨假设无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取,ax 则则)(, )(xFxf在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件: 西定理条件西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为 ),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且证证:2021年12月21日星期二20定理定理 1

13、中中ax 换为换为, ax, ax,xx之一之一,推论推论 2 若若)()(limxFxf满足定且型仍属)(, )(,00 xFxf理理1条件条件, 则则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则洛必达法则推论推论1 2021年12月21日星期二21解解:00型注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !122lim1x例例8 求求22256lim1220 xxxxx22222256(56)limlim

14、1220(1220)xxxxxxxxxx225lim212xxx18225lim212xxx2021年12月21日星期二22.sinarctanlim12xxx解解: 原式原式 limx00型1211xxx1cos12例例9 求求221lim11cosxxxx2021年12月21日星期二231) lim ( )lim ( )xaxaf xF x )()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为)( )lim( )xaf xF x定理定理 5.（证明略）（证明略）( )lim( )xafxF x(洛必达法则洛必达法则),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且2021年12月21日星

15、期二24说明说明: 定理中定理中ax 换为换为之一之一,条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立., ax, ax,xx,x2021年12月21日星期二25解解 222tan6seclimlimsec5sectanxxxxxxx2seclimtanxxx21limsinxx1解解 2002lnlimlnlim1xxxxxx031lim2xxx20lim()2xx02021年12月21日星期二26解解 11111 lnlim()limln1ln (1)xxxxxxx x 111lim1lnxxxxx11limln1xxxxx11limln1 1xx 122021年1

16、2月21日星期二27解解 11ln1111limlimexxxxxx而而 11limln1xxx由于指数函数在其定义域上是连续函数，由于指数函数在其定义域上是连续函数，故有故有11ln1111limlimexxxxxx11limln1exxx1ee解解 (2)(2)ln(2)22lim(2)lim exxxxxx而而 2ln(2)lim12xxx所以所以原式原式=0e=12212lim1(2)xxx=011lim1xx=12021年12月21日星期二28解解 1ln0lim(cot )xxx1lncotln0lim exxx而而 01limlncotlnxxx201( csc)cotlim1x

17、xxx0limcossinxxxx1 故有故有011limlncot1lnln0lim(cot )eexxxxxx.2021年12月21日星期二29,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在极限不存在)sin1 (limxxx1 若若说明说明:2021年12月21日星期二301. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理( )( )f bf a( )F xx( )( )f bf a( )F xx2. 微分

18、中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理2021年12月21日星期二313.洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型1gff g1111gfgffggfy 令令取对数取对数2021年12月21日星期二32习题习题31 1 2（2）3 5 6 （偶数题）（偶数题）7思考与练习思考与练习4412 34121. 填空题填空题1) 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件,

19、则中值则中值._2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间153430)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程方程2021年12月21日星期二33,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例 求求0limln .xxx0型解解: 原式原式10lnlimxxx1 101limxxx 00lim()xx(补充题补充题)2021年12月21日星期二34型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxco

20、ssin1lim2xxxsincoslim20通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例 求求(补充题补充题)2021年12月21日星期二35.lim0 xxx00 型解解: xxx0limxxxeln0lim0e1通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例 求求(补充题补充题)2021年12月21日星期二36.sintanlim20 xxxxx解解:注意到注意到xsin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x00型例例 求求（补充题）（补充题）说明说明:这到题告诉我们，这到题告诉我们，洛必达法则是求未定式极限洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，的一种有效方法， 但最好能与其他求极限的方法结合使用，但最好能与其他求极限的方法结合使用， 这样可以使运算简捷这样可以使运算简捷. 2021年12月21日星期二37法国数学家法国数学家,他是一位律师他是一位律师,数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好. 他兴趣广泛他兴趣广泛,博博览群书并善于思考览群书并善于思考,在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献. 他特别爱好数论他特别爱好数论