数学模型数学实验重庆大学三

1、开课学院、实验室：数统学院 实验时间 ： 2015年10月22日课程名称数学实验实验项目名 称收敛与混沌迭代实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师肖剑成 绩实验目的1了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析；2 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。实验内容1函数迭代序列计算练习； 2迭代序列动态行为的图形描述，探索其规律；3针对实际问题，试建立数学模型，并求

2、解。基础实验一、问题重述1迭代与分歧对于非线性函数f(x) = ax(1 -x)的迭代：（1）对于参数a分别取值于1, 4; 3, 4; 3.8284, 4，作出费根鲍图。（2）观察其2-周期的分裂现象，尽可能多地给出分裂出现的的参数取值。（3）观察其倍3-周期现象，并总结类似倍2-周期的规律。（4）观察其倍5-周期现象。注意：选取同一个迭代初值，去掉前面若干项；将参数a的取值间距尽量地减小，以便于发现和总结规律。二、实验过程 1建立函数M文件iter.m：function root=iter(x,a)for i=2:200001 x(i)=a*x(i-1)*(1-x(i-1);endroot

3、=x;（1） 写出程序Untitled1x=; x(1)=0.2;subplot(3,1,1);hold on;for a=1:0.01:4 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')endxlabel('a');ylabel('x'); title('a¡Ê1,4');x=; x(1)=0.2;subplot(3,1,2);hold on;for a=3:0.005:4 root=iter(x,a) ;p

4、lot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')endxlabel('a');ylabel('x'); title('a¡Ê3,4');x=; x(1)=0.2;subplot(3,1,3);hold on;for a=3.8284:0.001:4 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')endxlabel('a&#

5、39;);ylabel('x'); title('a¡Ê3.8284,4');运行后得到下图：（2）同理编程：x=; x(1)=0.2;hold on;for a=2.8:0.01:4 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(51:100),root(51:100),'.')end得到下图，通过放大可以看出当a=2.96，a=3.44,a=3.54时为2-周期分裂。（3）同理编程：x=; x(1)=0.2;hold on;for a=3.625:0.0005:3.65 root=iter(

6、x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')end得到下图，从图中可看出a=3.627是其3-周期分裂点。 （4）同理编辑：x=; x(1)=0.2;hold on;for a=3.736:0.0001:3.746 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')end得到下图，从图中可以看出a=3.738是其5-周期分裂点。应用实验（或综合实验）一、问题重述种群的数量（为方便起见

7、以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记 为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例）， hk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。二、问题分析A. 建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,t=0,1,），如。为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk(t)

8、计算，不考虑死亡率。B. 用向量表示t年初的种群数量，用bk和dk定义适当的矩阵L，用hk定义适当的向量h，将上述关系表成 的形式。C. 设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。又问设定的捕获量能持续几年。D. 种群各年龄的数量等于多少，种群数量x(t)才能不随时间t改变。E. 记D的结果为向量x*, 给x* 以小的扰动作为x(0)，观察随着t的增加x(t)是否趋于x*, 分析这个现象的原因。 三、数学模型的建立与求解 A.x1(t+1)=b1x1(t)+ b2x2(t)+ b3x3(t)+ b4x4(t)+b5x5(t);X2(t+1)=x1(t)-d1x1(t)_h

9、1;X3(t+1)=x2(t)-d2x2(t)-h2;X4(t+1)=x3(t)-d3x3(t)-h3;X5(t+1)=x4(t)-d4x4(t)-h4;B.x(t)=(x1(t);x2(t);x3(t);x4(t)；x5(t);L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;0 0 0 0 1-d5,h=0;h1;h2;h3;h4,故x(t+1)=Lx(t)-h.由题得b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100

10、。C.t=0时，x1(0)=x2(0)=x3(0)=x4(0)=x5(0)=1000.D.种群数量不变，即x(t+1)=x(t)，解这个方程组即可。移项后得Lx(t)-x(t)=h.假设当x(t)=x时种群数量不随t变化而变化。E. x*,为D中结果，施与微小扰动，分别按照x(0)=2001;1000;500;250;100和x(0)=1999;1000;500;250;100试验,带入进行迭代。四、实验结果及分析 C.编程：b1=0;b2=0;b5=0;b3=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100

11、;x=1000;1000;1000;1000;1000;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h=0;h1;h2;h3;h4;disp('t=1')x=L*x-hdisp('t=2')x=L*x-hdisp('t=3')x=L*x-h得到如下解：t=1 x = 6000 300 500 650 700t=2 x = 3600 3800 10 250 420t=3 x = 1020 2120 2460 -142 100即第三年出现负数，只能持续两年。

12、D.编程b1=0;b2=0;b5=0;b3=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h=0;h1;h2;h3;h4;A=L-eye(size(L);x=Ah得到如下结果：x = 1.0e+03 * 2.0000 1.0000 0.5000 0.2500 0.1000D.当x(0)=2001;1000;500;250;100时，编程b1=0;b2=0;b5=0;b3

13、=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h=0;h1;h2;h3;h4;x=2001;1000;500;250;100;for i=1:100 x=L*x-h;enddisp('t=100时')x得到结果t=100时x = 1.0e+10 * 6.0721 3.2741 1.7655 1.0880 0.6704随着t的增加x(t)不趋于x*。可以说与x*,有天壤之别。同理，当x(0)=2001;1000;500;250;100时，编程b1=0;b2=0;b5=0;b3=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h