数值稳定性验证实验报告

1、实验课程： 数值计算方法 专 业： 数学与应用数学 班 级： 08070141 学 号： 37 姓 名： 汪鹏飞 中北大学理学院实验1 赛德尔迭代法【实验目的】 熟悉用塞德尔迭代法解线性方程组【实验内容】 1.了解MATLAB语言的用法 2.用塞德尔迭代法解下列线性方程组【实验所使用的仪器设备与软件平台】计算机，MATLAB7.0【实验方法与步骤】1.先找出系数矩阵，将前面没有算过的分别和矩阵的相乘,然后将累加的和赋值给，即.算出,依次循环,算出所有的 。2.若前后两次之差的绝对值小于所给的误差限，则输出.否则重复以上过程，直到满足误差条件为止.【实验结果】(A是系数矩阵，b是右边向量，x是迭

2、代初值，ep是误差限)function y=seidel(A,b,x,ep)n=length(b);er=1;k=0;while er>=ep k=k+1; for i=1:1:n q=x(i); sum=0; for j=1:1:n if j=i sum=sum+A(i,j)*x(j); end end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); er=abs(q-x(i); endendfprintf('迭代次数k=%dn',k)disp(x')【结果分析与讨论】>> A=5 -1 -1 -1;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1

3、 -1 -1 10; b=-4 12 8 34; seidel(A,b,0 0 0 0,1e-3)迭代次数k=6 0.99897849430002 1.99958456867649 2.99953139743435 3.99980944604109实验课程： 数值计算方法 专 业： 数学与应用数学 班 级： 08070141 学 号： 37 姓 名： 汪鹏飞 中北大学理学院实验2 最小二乘法的拟合【实验目的】 熟悉最小二乘法的拟合方法【实验内容】 1.了解MATLAB语言的用法 2.给出数据x-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00y-0.22090.3295

4、0.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836希望用一次，二次多项式利用最小二乘法拟合这些数据，试写出正规方程组，并求出最小平方逼近多项式。【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0，【实验方法与步骤】 1.先算出 ，再算出 2.在正规方程组 中令， 3.令正规方程组的系数矩阵为A，当时，将的值赋给， 当j>m时，将的值赋给，再将矩阵A的其他元素写出来，于是正规矩阵可写成,最后用即可算出向量a,向量a的元素依次是常数项,一次项的系数,二次项的系数m次项的系数.4.由系数即可写出拟合的多项式曲线.【实验结果】（x，y为给定的对应值，

5、 m是要求的拟合次数)function a=zxecf(x,y,m)n=length(x);A(1,1)=n;for j=1:1:2*m l(j)=0; for i=1:1:n l(j)=l(j)+x(i)j; end if j<=m A(1,1+j)=l(j); else A(j+1-m,m+1)=l(j); endendfor j=1:1:m+1 b(j)=0; for i=1:1:n b(j)=b(j)+y(i)*x(i)(j-1); endendfor i=2:1:m+1 k=-1; for j=m+1:-1:1 k=k+1; A(i,j)=l(m+i-1-k); endenda

6、=Ab'【结果分析与讨论】>> x=-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00; y=-0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836; a1=zxecf(x,y,1)a1 = 2.01314444444444 2.25164666666667>> a2=zxecf(x,y,2)a2 = 2.00010043290043 2.25164666666667 0.03130562770563拟合的一次多项式是拟合的二次多项式是优缺点:该方法可

7、以通过改变m的值来将数据拟合成任意次数的多项式函数。实验课程： 数值计算方法 专 业： 数学与应用数学 班 级： 08070141 学 号： 37 姓 名： 汪鹏飞 中北大学理学院实验3 龙贝格算法求积分【实验目的】 熟悉龙贝格方法求积分【实验内容】 1.了解MATLAB语言的用法 2.用龙贝格方法求积分【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0【实验方法与步骤】 1.计算和，算出. 2.将区间分半，计算，算出和. 3.再将子区间分半，计算 ，算出,和. 4.再将子区间分半，计算 ,，算出, , 和. 5.再将子区间分半,算出, , 和 ,不断将子区间分半，重复以 上过程，

8、算出, , ，一直到相邻两个值之差的绝对值不超 过给定的误差为止，最后一次算出的R值即为所求。【实验结果】(a是下限，b是上限，eps是误差限)定义函数function y=intf(x)y=2*(exp(-x2)/(pi0.5);主程序function J=romberg(a,b,eps)er=1;k=3;h=b-a;T(1)=h*(intf(a)+intf(b)/2;h1=h/2;T(2)=T(1)/2+h1*intf(a+h1);S(1)=4/(4-1)*T(2)-1/(4-1)*T(1);h2=h1/2;T(4)=T(2)/2+h2*(intf(a+h2)+intf(a+3*h2);S

9、(2)=4/(4-1)*T(4)-1/(4-1)*T(2);C(1)=42/(42-1)*S(2)-1/(42-1)*S(1);h3=h2/2;T(8)=T(4)/2+h3*(intf(a+h3)+intf(a+3*h3)+intf(a+5*h3)+intf(a+7*h3);S(4)=4/(4-1)*T(8)-1/(4-1)*T(4);C(2)=42/(42-1)*S(4)-1/(42-1)*S(2);R(1)=43/(43-1)*C(2)-1/(43-1)*C(1);while er>=eps H=0; k=k+1; u=h/2k; x=a+u; i=0; while x<b H

10、=H+intf(x); i=i+1; x=a+u*(2*i+1); end T(2k)=T(2(k-1)/2+h*H/2k; S(2(k-1)=4/(4-1)*T(2k)-1/(4-1)*T(2(k-1); C(2(k-2)=42/(42-1)*S(2(k-1)-1/(42-1)*S(2(k-2); R(2(k-3)=43/(43-1)*C(2(k-2)-1/(43-1)*C(2(k-3); er=abs(R(2(k-3)-R(2(k-4);endI=R(2(k-3);fprintf('I=%10.8fn',I)【结果分析与讨论】>> romberg(0,1,1e-

11、4)I=0.84270079实验课程： 数值计算方法 专 业： 数学与应用数学 班 级： 08070141 学 号： 37 姓 名： 汪鹏飞 中北大学理学院 实验4 标准四阶R-K方法【实验目的】 熟悉四阶R-K方法【实验内容】1.了解MATLAB语言的用法 2.取步长，用标准四阶R-K方法解初值问题【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0【实验方法与步骤】 1.先将积分区除以步长确定分点个数. 2.利用标准四阶R-K公式，算出，;，. 3.利用算出下一个节点处的值. 4.重复以上步骤，算出每个分点处的值. 5.输出每个分点处y的值.【实验结果】 (是下限，b是上限，h是步长，y0是初值)定义函数function f=func(x,y)f=(3*y)/(1+x);主程序function q=LK(a,b,h,y0)n=(b-a)/h;fprintf('a=%6.4f,y0=%10.8fn',a,y0)for i=0:1:n-1 k1=h*func(a,y0); k2=h*func(a+h/2,y0+k1/2); k3=h*func(a+h/2,y0+k2/2); k4=h*func(a+h,y0+k3); y0=y0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); fprintf('a=%6.4f,y0=%10.8